차등포함

수학에서 미분포함수는 형태의 일반적인 미분방정식의 개념을 일반화한 것이다.

{\frac {dx}{dt}(t)\in F(t,x(t),

여기서 F는 다중값 맵이다. 즉, F(t, x)는 $\scriptstyle {\mathbb {R} }^{d}$ $\scriptstyle {\mathbb {R} }^{d}$ ${\$ 의 단일 점이 아니라 집합이다 $\scriptstyle {\mathbb {R} }^{d}$ 차동적 포함은 차동적 변동 불평등, 예상 동적 시스템, 모로의 스위프 프로세스, 선형 및 비선형 보완성 역동성 등 여러 상황에서 발생한다.ical 시스템, 불연속 일반 미분 방정식, 동적 시스템 전환 및 퍼지 집합 산술.^[1]

예를 들어 쿨롱 마찰에 대한 기본 규칙은 마찰력이 미끄러짐의 방향과 반대 방향으로 진폭 μN을 갖는 것인데 여기서 N은 정상 힘이고 μ는 상수(마찰 계수)이다.그러나 슬립이 0일 경우 마찰력은 μN보다 작거나 같은 크기의 정확한 평면에서 어떤 힘이 될 수 있다.따라서 마찰력을 위치와 속도의 함수로 쓰면 설정값 함수로 이어진다.

이론

존재이론은 일반적으로 F(t, x)가 x의 상위 혈전함수이며 t 단위로 측정할 수 있으며, F(t, x)는 모든 t와 x에 대해 설정된 닫힌 볼록함수라고 가정한다. 초기값 문제에 대한 해결책의 존재

{\frac {dx}{dt}(t)\in F(t,x(t),\quad x(t_{0})=x_{0}}}}}

충분히 작은 시간 간격 [t₀, t₀ + ε]에 대해 0 > 0이 그 뒤를 따른다.Global existence can be shown provided F does not allow "blow-up" ( $\scriptstyle \Vert x(t)\Vert \,\to \,\infty$ as $\scriptstyle t\,\to \,t^{*}$ for a finite $\scriptstyle t^{*}$ ).

비콘벡스 F(t, x)를 사용한 미분포함수의 존재이론은 연구의 활성 영역이다.

해결책의 고유성은 보통 다른 조건을 필요로 한다.예를 들어 $F(t,x)$ $F(t,x)$ , x $F(t,x)$ ) $F(t,x)$ 이(가) 단측 Lipschitz 조건을 만족한다고 $F(t,x)$ 가정합시다.

(x_{1}-x_{2})^{T}(F(t,x_{1}-F(t,x_{2})\leq C\vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}

모든 x와₁ x에₂ 대해 약간의 C에 대해.그러면 초기값 문제

{\frac {dx}{dt}(t)\in F(t,x(t),\quad x(t_{0})=x_{0}}}}}

독특한 해결책을 가지고 있다.

이는 민티와 하름 브레지스가 개발한 최대 단조 연산자 이론과 밀접한 관련이 있다.

$필리포프$ 의 이론은 d ${\frac {dx}{dt}}(t)$ ${\frac {dx}{dt}}(t)$ ( t ${\frac {dx}{dt}}(t)$ ) ${\displaystyle {\dx}{dt$ $}}}}}$ 에 불연속성을 허용할 뿐 주( $)$ 에서 불연속성을 $허용$ 하지 $x(t)$ 않는다 $.$ 섀츠만과 $x(t)$ 모로(현재 승인된 이름을 부여한)는 x $x(t)$ ( t $x(t)$ ) $x(t)$ 에 대해 위에서부터 제한을 받아 포함을 평가하는 미분포함수(MDI)를 측정한다는 개념을 확장했다 $x(t)$ ^[2]^[3]

적용들

기계적 시스템의 쿨롬 마찰과 전원 전자 장치의 이상적인 스위치와 같은 불연속 일반 미분 방정식을 이해하고 적절하게 해석하기 위해 미분 포함물을 사용할 수 있다.A에 의해 중요한 공헌이 이루어졌다.F. 필리포프, 불연속 방정식의 정규화를 연구했다.또한 N.N. Krasovski가 차등 게임 이론에서 정규화 기법을 사용하였다.

차이를 비교 자료 또한non-smooth의 동적 시스템의 전기 회로 이상적인 구성 요소 방정식을 사용해 전환하는 아날로그 연구에 사용되는 재단(해군 잠수 및 인명 구조 학교)analysis,[4]에서 발견된다(예는 다이오드 숯이 되다의 급격하게 전진과 좌절은 기하 급수적인 전도 지역에 대해 idealized, 곧장 수직 파선을 사용하여.행위에리스틱)^[5] 및 건조 마찰 또는 충격 현상의 역학 관계가 있는 시스템의 스틱-트렁크 진동과 같은 특정 비파괴 기계 시스템에 대한 연구.^[6]INRIA의 Siconos와 같이 NSDS 시스템을 해결하는 소프트웨어가 존재한다.

참고 항목

강성: "Sharp 턴" 기능을 위한 ODE/DAE에 영향을 미치며 수치 수렴에 영향을 미침

참조

^ Brogliato, Bernard; Tanwani, Aneel (2020). "Dynamical Systems Coupled with Monotone Set-Valued Operators: Formalisms, Applications, Well-Posedness, and Stability". SIAM Review, vol.62, no 1, pp.3-129, available at hal.inria.fr/hal-02379498.
^ David E. Stewart (2011). Dynamics with Inequalities: Impacts and Hard Constraints. SIAM. p. 125. ISBN 978-1-61197-070-8.
^ Bernard Brogliato (2016). Nonsmooth Mechanics. Models, Dynamics and Control. Springer international Publishing Switzerland, 3rd ed. ISBN 978-3-319-28664-8.
^ Markus Kunze (2000). Non-Smooth Dynamical Systems. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6.
^ Vincent Acary; Olivier Bonnefon; Bernard Brogliato (2010). Nonsmooth Modeling and Simulation for Switched Circuits. Springer Science & Business Media. pp. 3–4. ISBN 978-90-481-9681-4.
^ Remco I. Leine; Hendrik Nijmeijer (2013). Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems. Springer Science & Business Media. p. V (preface). ISBN 978-3-540-44398-8.

Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984). Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory. Grundl. der Math. Wiss. Vol. 264. Berlin: Springer. ISBN 9783540131052.
Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Set-Valued Analysis. Birkhäuser. ISBN 978-0817648473.
Deimling, Klaus (1992). Multivalued Differential Equations. Walter de Gruyter. ISBN 978-3110132120.
Andres, J.; Górniewicz, Lech (2003). Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems. Springer. ISBN 978-9048163182.
Filippov, A.F. (1988). Differential equations with discontinuous right-hand sides. Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 90-277-2699-X.

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[Kunze2000-4] Markus Kunze (2000). Non-Smooth Dynamical Systems. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6.

[AcaryBonnefon2010-5] Vincent Acary; Olivier Bonnefon; Bernard Brogliato (2010). Nonsmooth Modeling and Simulation for Switched Circuits. Springer Science & Business Media. pp. 3–4. ISBN 978-90-481-9681-4.

[LeineNijmeijer2013-6] Remco I. Leine; Hendrik Nijmeijer (2013). Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems. Springer Science & Business Media. p. V (preface). ISBN 978-3-540-44398-8.

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