방향보존기능

이산수학에서 방향보존함수(또는 매핑)는 정수 격자와 같은 이산공간의 함수로서 (비공식적으로) 인접한 두 점 사이에서 너무 급격하게 변화하지 않는다.연속함수의 이산 아날로그라고 볼 수 있다.

이 개념은 우선 이이무라에 의해 정의되었다.^[1]^[2]후에 양, ^[3]천, 덩,^[4] 헤링, 반데라란, 탈만, 양 등이 ^[5]그 변형을 정의하였다.

기본개념

$f:X\to \mathbb {R} ^{n}$ 는 함수 $f:X\to \mathbb {R} ^{n}$ f : $f:X\to \mathbb {R} ^{n}$ → R $f:X\to \mathbb {R} ^{n}$ {\ $displaystyle$ f $:X\to \mathb{R}$ ^{ $n}}$ 에 초점을 맞추는데 $f:X\to \mathbb {R} ^{n}$ 여기서 도메인 X는 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ch(X)는 X의 볼록 선체를 나타낸다.

"주변 변화"와 "인접 지점"을 정확히 어떻게 정의하느냐에 따라 방향 보존 속성의 변형이 많다."주변 변화"와 관련하여 크게 두 가지 변형이 있다.

방향 보존(DP)은 x와 y가 인접해 있는 경우 $i\in [n]$ $i\in [n]$ $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ $∈[$ $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ $i\in [n]$ ]에 $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ f $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ ( $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ x $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ ) $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ f $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ ( y $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ ⋅ 0 {\ $displaystyle f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq$ 0 $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ 다시 말하면, 함수 f의 모든 구성요소는 인접 지점 사이에 기호를 전환해서는 안 된다는 것을 의미한다.
총방향보존(GDP)이란 x와 y가 인접해 $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ f $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ ) $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ ) $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ $(\displaystyle f(x)\cdot f(y)\geq 0}$ 을 의미한다 $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ 즉, 함수 f(벡터로서)의 방향이 인접한 지점들 사이에서 90도 이상 변하지 않는다.DP는 GDP를 의미하지만 그 반대는 아니라는 점에 유의한다.

"인접 지점"에 대해서는 다음과 같은 여러 가지 변형이 있다.

하이퍼큐빅은 x와 y가 측면 길이 1의 일부 축-병렬 하이퍼큐브에 포함된 경우 인접해 있음을 의미한다.
단순화란 도메인의 일부 삼각측량에서 x와 y가 동일한 단순화의 정점이라면 인접해 있다는 것을 의미한다.일반적으로 단순 인접성은 하이퍼큐브 인접성보다 훨씬 강하다. 따라서, 하이퍼큐브 DP는 단순 DP보다 훨씬 더 강하다.

구체적인 정의는 아래에 제시되어 있다.아래의 모든 예는 $n=2$ = $n=2$ $n=2$ 치수와 $n=2$ X = { (2,6), (2,7), (3,6), (3,7) }에 대한 것이다.

속성 및 예제

하이퍼큐브 방향-보존

A cell is a subset of $\mathbb {R} ^{n}$ that can be expressed by $k+[0,1]^{n}$ for some $k\in \mathbb {Z} ^{n}$ . For example, the square $[2,3]\times [6,7]$ is a cell.

$\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}$ 의 두 점을 모두 포함하는 셀이 있으면 연결된 셀이라고 한다 $\mathbb {R} ^{n}$ .

하이퍼큐브 방향 보존 특성은 세포가 연결된 지점(동일한 하이퍼큐브 셀의 지점)에서 기능이 너무 급격하게 변화하지 않도록 요구한다.

f^a	6	7
2	(2,1)	(1,1)
3	(0,1)	(0,0)

모든 i $i\in [n]$ [ $i\in [n]$ ]에 대해 X에서 임의 쌍의 셀 연결 지점 x,y에 대해 [ $i\in [n]$ $i\in [n]$ ${\displaystyle i\in[n]$ : $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ ( $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ ) $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ f i ( $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ ) $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ 0 $(\displaystyle f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\cdatateq$ 0 $f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0$ 국지적 방향보존(LDP)이라는 용어가 대신 사용되는 경우가 많다.^[1]오른쪽의^a f함수는 DP이다.

일부 authors[4]:Def.1는,cell-connected점 x,y의 X에서 집단이, 모든 나는[n]{\displaystyle i\in[n]}:(fi())− ∈을 위해)나는)⋅(fi(y)− yi)≥ 0{\displaystyle(f_{나는}())-x_{나는})\cdot(f_{나는}(y)-y_{나는})\geq 0}일 경우. A기능 f())은 HDP은 두번째 변종에 의해, iff 기능 g.을 요구하는 변형을 사용하()):=f())-x첫 번째 변종에 의한 HDP이다.

f^b	6	7
2	(2,1)	(1,1)
3	(1,-1)	(0,0)

f는 X에서 x,y, $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ ( $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ f $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ ( $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ 의 세포 연결 지점 쌍에 대해 hGDP라고 하는데, 그 역은 모두 hGDP이다 $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ ^[3]^{: Def.2.2}f함수는^b HGDP인데, 표에 있는 두 벡터마다의 스칼라 산물이 음이 아니기 때문이다.그러나 두 번째 구성 요소 스위치는 (2,6)와 (3,6) 사이에 기호를 표시하기 때문에 HDP는 아니다 $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ ( $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ , $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ 6 ) $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ , $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ 6 $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ ) $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ = - $f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0$ < $>{\displaystyle f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0}.$

Some authors^[5] use a variant requiring that, for any pair of cell-connected points x,y in X, $(f(x)-x)\cdot (f(y)-y)\geq 0$ . A function f(x) is HGDP by the second variant, iff the function g(x):=f(x)-x is HGDP by the first variant.

단순 방향-보존

심플렉스(simplex)는 모든 정점들이 정수 좌표를 가지고 있고, 모두 같은 셀에 놓여 있으면 정수라고 불린다(따라서 정점들 간의 좌표 차이는 최대 1이다).

$\mathbb {R} ^{n}$ n ${\$ 의 일부 부분집합에 대한 삼각측정을 모든 단순함이 적분된 경우 적분이라고 한다 $\mathbb {R} ^{n}$ .

삼각측량을 주어 두 점을 모두 포함하는 삼각측량의 심플렉스(simplex)가 있으면 두 점을 단순하게 연결한다고 한다.

적분 삼각측량에서는 모든 단순하게 연결된 지점도 세포에 연결되어 있지만, 그 반대는 사실이 아니라는 점에 유의한다.예를 들어, 셀 [ 2, $[2,3]\times [6,7]$ $[2,3]\times [6,7]$ $[2,3]\times [6,7]$ [ 6, $[2,3]\times [6,7]$ $[2,3]\times [6,7]$ 을(를) 고려하십시오 $[2,3]\times [6,7]$ $셀을 두 개의 삼각형$ 인 {(2,6 $),$ (2,7), (3,7), (2,6), (3,6), (3,7 $)$ 로 분할하는 적분 삼각형을 고려하십시오.포인트(2,7)와 (3,6)는 세포 연결이지만 단순하게 연결되지는 않는다.

단순한 방향-보존 특성은 입력 영역의 고정 적분 삼각측량을 가정한다.그들은 단순하게 연결된 지점들(삼각형의 동일한 심플렉스 내의 지점들)에서 기능이 너무 급격하게 변화하지 않도록 요구한다.이것은 일반적으로 고농축 방향 보존보다 훨씬 약한 요구 사항이다.

f is called simplicial direction preserving (SDP) if, for some integral triangulation of X, for any pair of simplicially-connected points x,y in X, for all $i\in [n]$ : $(f_{i}(x)-x_{i})\cdot (f_{i}(y)-y_{i})\geq 0$ .^[4]^{: Def.4}

f^c	6	7
2	(2,1)	(1,1)
3	(1,-2)	(0,0)

f는 X에 x,y $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ ( $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ ) $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ x f( $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ 0 $displaystyle f(x)\cdot f(y)\geq$ 0 $}$ 의 $어떤$ 쌍에 대해서도 ch(X)의 적분 삼각형이 존재하는 경우 단순하게 총 방향 보존(SGDP) 또는 단순하게 국부 총 방향 보존(SLGDP)이라고 한다 $f(x)\cdot f(y)\geq 0$ ^[6]^[7]^[8]

모든 HGDP 함수는 SGDP이지만 HGDP는 훨씬 더 강력하다. SGDP w.r.t. ch(X)의 가능한 모든 적분 삼각측정에 해당하는 반면, SGDP는 단일 삼각측량과 관련이 있다.^[3]^{: Def.2.3}예를 들어, 오른쪽의 함수^c f는 각 삼각형에서 벡터 두 개의 스칼라 생산물이 음이 아니므로, 셀을 두 개의 삼각형 {(2,6), (2,7), (3,7)}, (2,7), (2,6), (3,7)로 분할하는 삼각형에 의한 SGDP이다.그러나 $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ ( $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ 6 ) $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ ( $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ ) $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ = $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ - $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ < $f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0$ ${\displaystyle f^{c}(3,6)\cdot$ f $^{c}(2,7)=-1<0$ 이기 때문에 HGDP가 아니다.

참조

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