스큐 라인

직사각형 평행선. 세그먼트 AD를 통과하는 선과 세그먼트 BB를₁ 통과하는 선은 동일한 평면에 있지 않기 때문에 스큐 선이다.

3차원 기하학에서 꼬치선은 교차하지 않고 평행하지 않은 두 개의 선이다. 한 쌍의 꼬치 선에 대한 간단한 예로 일반 사면체의 반대쪽 가장자리를 통과하는 선 쌍이 있다. 둘 다 같은 평면에 놓여 있는 두 개의 선은 서로 교차하거나 평행해야 하므로 꼬치선은 3개 이상의 차원으로만 존재할 수 있다. 두 행은 동일 평면적이 아닌 경우에만 꼬임이다.

일반직

단위 입방체 내에서 4개의 점이 일률적으로 랜덤하게 선택된다면, 그들은 거의 확실히 한 쌍의 꼬치선을 정의할 것이다. 처음 세 점을 선택한 후, 네 번째 점이 처음 세 점을 가진 동일 평면인 경우에만 네 번째 점이 비스큐 선을 정의한다. 그러나 처음 세 지점을 통과하는 평면은 큐브의 측정값 0의 부분 집합을 형성하며, 네 번째 점이 이 평면에 있을 확률은 0이다. 그렇지 않으면 점으로 정의한 선이 꼬임이 된다.

마찬가지로, 3차원 공간에서는 어떤 두 개의 평행선이나 교차선의 아주 작은 동요가 거의 확실히 그들을 꼬치선으로 만들 것이다. 따라서 일반적인 위치에 있는 어떤 네 개의 점들은 항상 꼬치선을 형성한다.

이런 의미에서 꼬치선은 '이상적'의 경우로, 평행선이나 교차선은 특수한 경우로 볼 수 있다.

공식

왜도 검정

한 쌍의 꼬치 선에 있는 각 선이 그것이 통과하는 두 점에 의해 정의되는 경우, 이 네 점은 코플라(coplanar)가 아니므로 0이 아닌 부피의 4면체의 정점이 되어야 한다. 반대로, 0이 아닌 부피의 사면체를 정의하는 두 쌍의 점들도 한 쌍의 스큐 선을 정의한다. 따라서 두 쌍의 점들이 꼬치선을 정의하는지 여부를 검정하는 것은 4개의 꼭지점 단위로 4면체 체적에 대한 공식을 적용하는 것이다. 한 점을 점의 세 $가지$ 좌표 값인 1×3 벡터 a로 나타내며, 마찬가지로 다른 점에 대해서도 $b$ , $c$ , $d$ 를 나타내는 것으로, 사면체 체적 공식으로 0이 아닌 결과를 얻을 수 있는지 $확인함$ 으로써 $a$ 와 b를 통과하는 $선$ 이 $c$ 와 d를 통과하는 선에 기울어져 있는지 확인할 수 있다.

{\displaystyle V={\frac{1}{6}\왼쪽 \det \{\begin{matrix}\mathbf {b}\\\\mathbf {b}\\\mathbf {c}\d}\mathbf {d}\end{matrix}\rig}오른쪽.}}}}}}}}}}}}}}}}.

가장 가까운 점

두 선을 벡터로 표현:

{\text}{{d_{1}:}\mathbf {v_{1} =\mathbf {p_{1} +t_{1}\mathbf {d_1}{1}}}}}}}

{\text}{{d_2}}:\mathbf {v_{2}}:\mathbf {p_{2}}:\mathbf {d_{2}}: +t_{d}\mathbf {d_}}}}}}}}

$\mathbf {d_{1}}$ $\mathbf {d_{1}}$ ${\$ $\mathbf {d_{2}}$ $\mathbf {d_{2}}$ ${\$ 의 교차 제품은 선에 수직이다 $\mathbf {d_{2}}$ .

\mathbf {n} =\mathbf {d_{1} \mathbf \mathbf {d_{2}}

$\mathbf {n}$ ${\$ 을(를) 따라 선 2의 번역으로 형성된 평면은 $\mathbf {p_{2}}$ $\mathbf {p_{2}}$ ${\$ { $p_{$ $2$ }} $\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$ $}}$ 을(를) 포함하고 $\mathbf {n}$ $\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$ n $\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$ = $\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$ $\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$ $×$ n {\ $displaystyle \mathbf {d_{n}}}}}$ 에 수직이다 $\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$

따라서, 위에서 언급한 평면과 선 1의 교차점은 선 2에 가장 가까운 선 1의 점이기도 하다.

\mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}}

마찬가지로 라인 1에 가장 가까운 라인 2의 지점은 ( $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ 서 $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ 1 $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ = d $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ n ${\$ } $=\mathbf {d_{1}} \timees \mathbf {n}}$ )로 주어진다. $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$

\mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}}

거리

가장 가까운 지점 $\mathbf {c_{1}}$ $\mathbf {c_{1}}$ ${\$ 및 $\mathbf {c_{2}}$ $\mathbf {c_{2}}$ ${\$ 선 1과 선 2를 결합하는 가장 짧은 선 세그먼트를 형성한다 $\mathbf {c_{2}}$ .

d=\vert \mathbf {c_{1} -\mathbf {c_{2}} \vert .

두 스큐 라인에서 가장 가까운 점 사이의 거리는 다른 벡터를 사용하여 표시할 수도 있다.

\mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathda \mathbf {b} ;

\mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .

여기서 1×3 벡터 $x$ 는 선의 방향을 나타내는 $b$ 와 점의 위치를 결정하는 $\lambda$ 실수의 값 $\lambda$ $\lambda$ 을(를) 통해 라인의 임의 지점 $a$ 를 $통과$ 하는 선상의 임의 지점 y를 나타내며, d 방향 $d$ 에서 특정 지점 $c$ 를 통과하는 선상의 임의 지점 y를 나타낸다.

b와 d의 교차 생산물은 단위 벡터처럼 선에 수직이다.

\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \mathbf {d}{{ \mathbf {b} \mathbf {d}}}}}

그러면^[1] 선 사이의 거리는 다음과 같다.

d= \mathbf {n} \cdot(\mathbf {c} -\mathbf {a} ) .

(b × d가 0이면 선은 평행이며 이 방법은 사용할 수 없다.)

두 줄 이상

구성

스큐 라인의 구성은 모든 쌍이 스큐인 라인의 집합이다. 두 구성은 한 구성을 다른 구성으로 연속적으로 변환할 수 있는 경우 동위원소라고 하며, 변환 내내 모든 선 쌍이 기울어지지 않는다는 불변성을 유지한다. 두 라인의 어떤 두 개의 구성은 동위원소라고 쉽게 볼 수 있고, 3개 이상의 치수에서 동일한 수의 라인의 구성은 항상 동위원소이지만, 3개 차원에 3개 이상의 라인의 비동위원소 구성이 여러 개 존재한다(Viro & Viro 1990). n³ = 1에서 시작하는 R에서 n개의 선에 대한 비동시적 구성의 수는

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (시퀀스 A110887 in OEIS).

지배된 표면

중첩된 하이퍼볼로이드에서 스큐 선에 의한 투사 공간의 진동.

L선을 다른 선 M 스큐를 중심으로 회전하지만 그 선에 수직이 되지 않는다면 L에 의해 휩쓸려 나가는 회전 표면은 한 시트의 하이퍼볼로이드다. 예를 들어 그림에서 볼 수 있는 3개의 하이퍼볼로이드는 중심 흰색 수직선 M을 중심으로 L선을 회전시켜 이러한 방식으로 형성될 수 있다. 이 표면 안에 있는 L의 복사본은 레귤러스를 형성한다; 하이퍼볼로이드 또한 그것으로부터 L과 같은 거리에 있지만 반대편 레귤러를 형성하는 반대 각도로 M과 비스듬한 두 번째 라인의 집단을 포함하고 있다. 이 두 레귤레이션은 하이퍼볼로이드를 지배하는 표면으로 보여준다.

이 지배 표면의 아핀 변환은 일반적으로 L을 중심으로 회전시켜 생성된 원형 단면이 아닌 타원형 단면을 갖는 표면을 생성한다. 이러한 표면은 한 장의 하이퍼볼로이드라고도 불리며, 다시 두 개의 상호 꼬임 선군에 의해 지배된다. 세 번째 형태의 지배 표면은 쌍곡선 포물선이다. 한 장의 하이퍼볼로이드처럼 쌍곡선 포물선은 두 개의 꼬치 선을 가지고 있다. 두 패밀리의 각 선은 서로는 아니지만 공통 평면에 평행하다. R에³ 있는 세 개의 꼬치 선은 정확히 이들 유형 중 하나의 지배된 표면에 놓여 있다(Hilbert & Cohn-Vossen 1952).

갈루치의 정리

세 개의 꼬치선이 모두 세 개의 다른 꼬치선과 만나는 경우, 첫 번째 세트의 교차점은 두 번째 세트의 교차점과 만난다.^[2]^[3]

고차원의 스큐 플랫

고차원 공간에서는 치수 k의 평면을 k-플랫이라고 한다. 따라서 선은 1평형이라고도 할 수 있다.

d차원 공간에 대한 스큐 라인의 개념을 일반화하면 i-flat와 j-flat는i+ $j$ < $d$ 가 될 수 있다. 3-공간의 선과 마찬가지로, 스큐 플랫은 평행하지도 교차하지도 않는다.

부속 d-공간에서는 어떤 치수의 두 평면이 평행할 수 있다. 그러나 투사적 공간에서는 평행성이 존재하지 않는다. 두 평면은 교차하거나 기울어져야 한다. $내$ 가 i-플랫의 포인트가 되게 하고, $J$ 가 j-플랫의 포인트가 되게 한다. 투영 d-공간에서 $i$ + $j$ ≥ $d$ 일 경우 $I$ 와 $J$ 의 교차점은 (i+j-d)-플랫을 포함해야 한다. (0플랫은 점이다.)

어느 기하학에서나 $I$ 와 $J$ 가 k-플랫에서 교차하는 경우 $k$ ≥ $0$ 에 대해 I ∪ J의 $점들$ 이 a (i+j-k)-플랫을 결정한다.

참고 항목

메모들

^ Weisstein, Eric W. "Line-Line Distance". MathWorld.
^ H. S. M. Coxeter(1969) 기하학 소개, 2판 257페이지, 존 와일리 & 선스
^ G. 갈루치(1906) "Studio deella figua delle ette ette ette e sue appropolizioni alla teoria della configuioni", 렌디콘토 델'Accademia deella Scienza fisica e matemathe (3) 12: 49–79

참조

Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), Chelsea, pp. 13–17, ISBN 0-8284-1087-9.
Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), "Configurations of skew lines" (PDF), Leningrad Math. J. (in Russian), 1 (4): 1027–1050. 영문 개정판: arXiv:math.GT/0611374

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Skew Lines". MathWorld.

[1] Weisstein, Eric W. "Line-Line Distance". MathWorld.

[2] H. S. M. Coxeter(1969) 기하학 소개, 2판 257페이지, 존 와일리 & 선스

[3] G. 갈루치(1906) "Studio deella figua delle ette ette ette e sue appropolizioni alla teoria della configuioni", 렌디콘토 델'Accademia deella Scienza fisica e matemathe (3) 12: 49–79

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