일반직

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대수 기하학 및 계산 기하학에서 일반 위치는 점 집합 또는 기타 기하학적 객체에 대한 일반성의 개념이다.그것은 가능한 몇몇 더 특별한 사건이나 우연의 사건과는 반대로, 일반적인 사건 상황을 의미하며, 이를 특수직위라고 한다.정확한 의미는 설정마다 다르다.

예를 들어, 일반적으로 평면의 두 선은 한 점에서 교차한다(이 선들은 평행하거나 일치하지 않는다.하나는 또한 "한 점에서 두 개의 일반 선이 교차한다"고 말하는데, 이것은 일반 점의 개념에 의해 공식화된다.마찬가지로 평면에 있는 세 개의 일반 점은 시준되지 않고, 세 개의 점이 시준(두 개가 일치하면 더욱 강력함)이면 이것은 퇴행되는 경우다.

이러한 개념은 수학과 그 적용에서 중요하다. 예를 들어, 퇴보하는 경우 일반적인 정리를 진술하거나 그 정밀한 진술을 할 때, 그리고 컴퓨터 프로그램을 작성할 때(일반적인 복잡성 참조) 예외적인 처리가 필요할 수 있기 때문이다.

일반 선형 위치

d차원 아핀 공간의 점 집합(d차원 유클리드 공간은 일반적인 예)은 k = 2, 3, ..., d + 1의 a (k - 2)차원 평면에 k가 놓여 있지 않으면 일반 선형 위치(또는 그냥 일반 위치)에 있다.이 조건들은 상당한 중복성을 포함하는데, 그 조건이 어떤₀ 값 k에 대해 유지된다면 2 ≤ k ≤ k로₀ 모든 k에 대해 유지되어야 하기 때문이다.따라서 d-차원 아핀 공간에 d + 1개 이상의 점을 포함하는 세트가 일반 위치에 있으려면 하이퍼플레인이 d 포인트 이상을 포함하지 않는 것으로 충분하다. 즉, 점들이 필요한 것보다 더 많은 선형 관계를 만족하지 못한다.^[1]

일반 선형 위치의 d + 1 포인트 집합은 또한 부속적으로 독립적이라고 하며(이것은 벡터의 선형 독립성의 아핀 아날로그 또는 최대 등급의 보다 정밀하게), 부속 d-공간에서 일반 선형 위치의 d + 1 포인트는 부속 기준이다.자세한 내용은 첨부 변환을 참조하십시오.

마찬가지로 n차원 벡터 공간의 n 벡터는 투영 공간(차원 n - 1)에서 정의한 점이 일반 선형 위치에 있는 경우에만 선형 독립적이다.

점 집합이 일반적인 선형 위치에 있지 않으면 변질된 경우 또는 변질된 구성이라고 하는데, 이는 항상 고정할 필요가 없는 선형 관계를 만족함을 의미한다.

기본적인 적용은 평면에서 5개의 점이 원뿔을 결정한다는 것이다. 원뿔은 점들이 일반적인 선형 위치(공칭은 3개 없음)에 있는 한 말이다.

더 일반적으로

이 정의는 더 일반화될 수 있다: 일정한 등급의 대수적 관계(예: 원뿔 부분)에 관한 일반적 위치에 있는 점을 말할 수 있다.대수 기하학에서 이러한 종류의 조건은 자주 접하게 되는데, 그 점에서 점을 통과하는 곡선에 독립적 조건을 부과해야 한다.

예를 들어 5점이 원뿔을 결정하지만 일반적으로 6점이 원뿔에 놓여 있지 않기 때문에 원뿔에 관한 일반적인 위치에 있기 위해서는 원뿔에 6점이 놓여 있지 않아야 한다.

일반 위치는 2각형 맵에 따라 보존된다. 영상 포인트가 관계를 만족하는 경우 2각형 맵에 따라 이 관계를 원래 포인트로 되돌릴 수 있다.유의하게, 베로네즈 지도는 2각형이다; 베로네즈 지도 아래의 지점은 그 시점에서 d 다항식을 평가하는 것에 해당하기 때문에, 이것은 일반적인 위치의 지점이 그것들을 통과하는 품종들에 독립적인 선형 조건을 부과한다는 개념을 공식화한다.

일반적 위치의 기본 조건은 점수는 필요 이상으로 낮은 수준의 하위 변수에 떨어지지 않는 것이다. 평면에서는 점 2개가 일치해서는 안 되며, 점 3개가 선에 떨어지지 않아야 하며, 점 6개가 원뿔에 떨어지지 않아야 하며, 점 10개가 세제곱에 떨어지지 않아야 하며, 마찬가지로 높은 정도에 해당된다.

그러나 이것은 충분하지 않다.9개의 점이 입방체를 결정하지만, 큐빅과 관련하여 특별한 9개의 점, 즉 2개의 큐빅의 교차점이 있다.$3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 3}$= $(\displaystyle$ 3$\time 3=9}$ 포인트$$(베주트의 정리)인 두 큐빅의 교차점은 일반적인 위치의 9개 포인트가 독특한 입방체 안에 들어 있는 반면, 두 큐빅에 포함되어 있다면, 실제로는 1-모수 선형계(1-모수)의 큐빅에 들어 있다는 점에서 특별하며, 그 방정식은 proj이다.두 큐빅에 대한 방정식의 ective 선형 결합.따라서 그러한 점 집합은 그것들을 포함하는 큐빅에 예상보다 하나의 조건을 더 적게 부과하고, 따라서 8개의 점을 포함하는 큐빅이 반드시 9번째를 포함하는 케이리-바차라흐 정리라는 추가적인 제약조건을 충족시킨다.유사한 진술은 더 높은 정도를 유지한다.

평면이나 대수곡선의 점들에 대해서는 일반 위치의 개념은 정규 분기의 개념에 의해 대수적으로 정밀하게 만들어지며, 관련 선다발(형식적으로, 반전 가능한 피복)의 상위 피복 코호몰로지 집단의 소멸에 의해 측정된다.용어가 반영하듯이, 이것은 직관적인 기하학적 그림보다 상당히 기술적인데, 이는 교차로 번호의 공식적 정의가 정교한 대수학을 요구하는 방법과 유사하다.이 정의는 점 집합이 아니라 초거대(코디멘션 1 하위분리)에 더 높은 차원으로 일반화하며, 표면의 리만-로치 정리에서 논한 바와 같이 일반분할기는 초복분할기와 대비된다.

일반적인 위치의 모든 점이 훨씬 강한 조건인 프로젝트적으로 동등하지는 않다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, 라인의 k 구별되는 모든 점이 일반 위치에 있지만, 투사적 변환은 3-변환에 불과하며, 4-점이라는 불변수가 교차비가 된다.

다른 기하학적 구조

다른 기하학적 구조는 기하학적 제약에 대한 다른 개념을 허용한다.예를 들어 원은 유클리드 기하학에서는 이치에 맞는 개념이지만, 원은 타원과는 구별할 수 없는 부속 선형 기하학이나 투영 기하학에서는 이치에 맞지 않는 개념이다.마찬가지로, 포물선은 아핀 기하학에서는 개념이지만 투영 기하학에서는 개념이지, 포물선은 원뿔의 한 종류일 뿐이다.대수 기하학에서 압도적으로 사용되는 기하학은 투영 기하학이며, 부속 기하학은 유의하지만 훨씬 덜 쓰임을 발견한다.

따라서 유클리드 기하학에서는 비협착점 3개가 원을 결정하지만(그들이 정의하는 삼각형의 원형으로써) 일반적으로 4개 지점은 그렇지 않기 때문에(그들은 순환 사분면측정감시에만 그렇게 한다) "원 위에 4개 지점이 놓여 있지 않다"는 개념은 일리가 있다.반면에 투영 기하학에서 원은 원뿔과 구별되지 않으며, 5개의 점이 원뿔을 결정하므로 " 원에 관한 일반적 위치"라는 투영적 개념은 없다.

일반형

일반직은 점의 구성, 또는 보다 일반적으로 다른 하위직(일반직의 선, 따라서 동시직 3개 없음 등)의 속성이다.일반적 위치는 부변수로 내재하는 것에 의존하는 외적 개념이다.비공식적으로 하위 구분은 다른 부분보다 더 단순하게 설명할 수 없는 경우에 일반적인 위치에 있다.일반적 위치의 본질적 아날로그는 일반적 유형이며, 다른 것들보다 단순한 다항식으로는 설명할 수 없는 다양성에 해당한다.이것은 고다이라 차원의 개념에 의해 공식화되며, 이 측정에 의해 투영 공간은 똑같이 특별한 차원이 있지만, 가장 특별한 차원이며, 이는 음의 고다이라 차원을 갖는 것을 의미한다.대수 곡선의 경우 결과 분류는 투영선, 토러스, 상위 속 표면(${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle g\geq$ 2$})$이며, 특히 대수 표면의 엔리케스-코다이라 분류와 유사한 분류가 더 높은 차원에서 발생한다.

기타 컨텍스트

교차로 이론에서는 대수 기하학에서나 기하학 위상 모두에서 횡단성의 유사한 개념이 사용된다: 일반적으로 횡단적으로 교차하는 하위분리들, 즉 접선이나 다른 고차 교차로보다는 다분성 1을 의미한다.

평면 내 Delaunay 삼각 측정에 대한 일반 위치

비행기에서 보로노이 테셀레이션과 들로나이 삼각측량을 논의할 때, 같은 원 위에 4개도 눕지 않고 3개도 겹치지 않는 경우에만 비행기의 일련의 점들이 일반적인 위치에 있다고 한다.볼록한 선체의 하단 절반에 델라우나이 삼각측량을 관련시키는 일반적인 리프팅 변환(즉, 각 지점 p에 p )은 평면뷰와의 연결을 보여준다.네 점이 원 위에 놓여 있거나, 그 중 세 점은 들어올린 상대들이 일반적인 선형 위치에 있지 않을 때 정확히 일치한다.

요약: 구성 공간

매우 추상적인 용어로 일반적 위치는 구성 공간의 일반적 특성에 대한 논의다. 이 맥락에서 일반적 위치는 구성 공간의 일반적 지점에 있거나 자리스키 열린 집합에 동등하게 고정된 속성을 의미한다.

이 개념은 일반적, 즉 구성 공간의 거의 모든 곳에서 또는 무작위로 선택한 점들이 거의 확실히 (확률 1) 일반적 위치에 있다는 것을 의미하는 측정 이론적 개념과 일치한다.

메모들

참조

• Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry, Holden-Day