선-선 교차점

유클리드 기하학에서 선과 선의 교차점은 빈 집합, 점 또는 선이 될 수 있다.이러한 경우를 구분하고 교차점을 찾는 것은 예를 들어 컴퓨터 그래픽, 동작 계획 및 충돌 감지에서 사용된다.

3차원 유클리드 기하학에서는 두 선이 같은 평면에 있지 않으면 스큐선이라고 하며 교차점이 없다.만약 그것들이 같은 평면에 있다면, 세 가지 가능성이 있다: 만약 그것들이 일치한다면, 그들은 공통점이 있다. (명칭 그들 중 하나의 점들은) 그들은 공통점이 있다; 그것들이 구별되지만 같은 경사를 가지고 있다면, 그들은 평행하고 공통점이 없다; 그렇지 않으면 그들은 단일 교차점을 가지고 있다.

비유클리드 기하학의 구별되는 특징은 두 선 사이의 가능한 교차점의 수와 위치, 주어진 선과의 교차점(병렬선)이 없는 가능한 선들의 수이다.

공식

두 선이 교차하는 데 필요한 조건은 두 선이 동일한 평면(즉, 기울어진 선이 아님)에 있다는 것이다.이 조건의 만족도는 한 선의 두 점에 정점이 있고 다른 선의 두 점에 정점이 있는 사면체(사면체)가 0의 체적을 갖는다는 의미에서 퇴보하는 것과 같다.이 조건의 대수적 형식은 Skew lines § 왜도 검정을 참조하십시오.

각 선에 2점 부여

First we consider the intersection of two lines ${\displaystyle L_{1}}$ and ${\displaystyle L_{2}}$ in 2-dimensional space, with line ${\displaystyle L_{1}}$ being defined by two distinct points ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ and ${\displaystyle (x_{2}$$,y_{2}}$및 $L선{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}:{2$}}:$ 두 개의 구별되는 점$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 3,${\displaystyle {}_{}}$y${\displaystyle {}_{}{3\mathrm{}}_{}}$ )$${\$displaystyle$ ($x_{3},y_{3}}}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 4,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ 4${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystystyle (x_{4},y_{4}}}})$에 의해 정의된다$.$^[1]

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$선$과 ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle L_{2$}}의$$ $교차점{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$은 결정 인자를 사용하여 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle P_{x}={\frac {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&, y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{3}&, 1\\x_{4}&, 1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&, 1\\x_{2}&, 1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&, 1\\y_{2}&, 1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&, 1\\x_{4}&, 1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&, 1\\y_{4}&, 1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!\qquad P_{y}={\frac{\begin{vmatrix}{\reason{vmatrix}x_{1}x_{1}_{1}\\\x_{2}\end{vmatrix}y}&#{{vmatrix}y_{1}\1\nd{vmatrix}\\\\nd{vmatrix}x_{3}\3}>{{vmatrix}x}}\x_{{{3}}}}}}}}}}}}}}}}}&y_{3}\\x_{4}&, y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&, 1\\y_{4}&, 1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&, 1\\x_{2}&, 1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&, 1\\y_{2}&, 1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&, 1\\x_{4}&, 1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&, 1\\y_{4}&, 1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!}$

결정 요인은 다음과 같이 기재할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(P_{x},P_{y})={\Biggl (}&{\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(x_{3}-x_{4})-(x_{1}-x_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{D}},\\&{\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{D}}{\Biggr )}\end{aligned}}}$

분모가 다음과 같은 경우:

${\displaystyle D=(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4}-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}$

두 선이 평행하거나 일치할 때 분모는 0이다.선이 거의 평행하면 컴퓨터 솔루션은 위에서 설명한 솔루션을 구현하는 데 숫자적인 문제를 겪을 수 있다. 즉, 이 조건을 인식하려면 실제 적용에서 대략적인 시험이 필요할 수 있다.대안적인 접근방식은 선분할 중 하나가 수평이 되도록 선분할을 회전시켜 두 번째 선에서 회전된 파라메트릭 형태의 솔루션을 쉽게 구할 수 있다.특례(평행선/동일선, 겹침/과적 간격)에 대한 면밀한 논의가 필요하다.

각 선 세그먼트에서 두 점 지정

위의 교차점은 점 사이의 선 세그먼트가 아니라 점으로 정의되는 무한히 긴 선을 위한 것이며, 두 선 세그먼트 중 하나에 포함되지 않은 교차점을 생성할 수 있다는 점에 유의하십시오.선 세그먼트에 대한 교차점의 위치를 찾기 위해 L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 $L$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$선은 1도 베지어 파라미터로 정의할$$ 수 있다.

${\displaystyle L_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{bmatrix}},\qquad L_{2}={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{bmatrix}+u{\nd{bmatrix}x_{4}-x_{3}\y_{4}-y_{3}\end{bmatrix}}}}}}}$

(t와 u는 실제 숫자임)선의 교차점은 t 또는 u의 다음 값 중 하나와 함께 발견된다.

${\displaystyle t={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{3}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{3}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}={\frac {(x_{1}-x_{3})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{3})(x_{3}-x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}}$

그리고

${\displaystyle u={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{3}&x_{1}-x_{2}\\y_{1}-y_{3}&y_{1}-y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}={\frac {(x_{1}-x_{3})(y_{1}-y_{2})-(y_{1}-y_{3})(x_{1}-x_{2})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}},}$

다음 항목 포함:

${\displaystyle (P_{x},P_{y})=(x_{1}+t(x_{2}-x_{1}),\;y_{1}+t(y_{2}-y_{1}))\quad {\text{or}}\quad (P_{x},P_{y})=(x_{3}+u(x_{4}-x_{3}),\;y_{3}+u(y_{4}-y_{3}))}$

0.0 ≤ t ≤ 1.0과 0.0 u u u 1.0이면 교차점이 생긴다.교차로 지점은 0.0 t t ≤ 1.0이면 첫 번째 선 세그먼트, 0.0 u u ≤ 1.0이면 두 번째 선 세그먼트 안에 들어간다.이러한 불평등은 분할할 필요 없이 시험할 수 있으며, 정확한 점을 계산하기 전에 어떤 선분할 교차점의 존재 여부를 신속하게 결정할 수 있다.^[2]

두 개의 선 방정식 지정

두 비수직선의 교차점에 $대한{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ $및$ y ${\displaystyle y}$ 좌표는$$ 다음과 같은 대체와 재배열을 사용하여 쉽게 찾을 수 있다.

$두{\displaystyle }$ 라인에 y${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle y=ax+c}$ 및 $y$ = ${\displaystyle b}$ $x{\displaystyle }$${\displaystyle }$+ d ${\displaystyle y=bx+d}$이(가) 있다고 가정합시다. $여기$서 ${\displaystyle a}$ 및 b$$ ${\$$displaystystyle$$b$}은 선의 기울기(경사)이며$$ c$${\$d$$)$는 선의$$ y-절이다.두 선이 교차하는 지점(있는 경우)에서 y ${\displaystyle y}$ 좌표가$$ 모두 동일하므로 다음과 같은 동일성이 있다.

$(\displaystyle ax+c=bx+d)}$

$x{\displaystyle }$ 값$${\$displaystyle x$}을(를) 추출하기 위해 이 식을 다시 정렬할 수 있다$.$

${\displaystyle ax-bx=d-c,}$

그래서,

${\displaystyle x={\frac {d-c}{a-b}}.}$

y 좌표를 찾으려면 x의 값을 두 개의 선 방정식 중 하나로 대체하면 된다. 예를 들어, 첫 번째 방정식:

${\displaystyle y=a{\frac {d-c}{a-b}+c.}$

따라서 교차점은

${\displaystyle P\왼쪽({\frac {d-c}{a-b},a{\frac {d-c}{a-b}+c\오른쪽).}$

a = b일 경우 두 선이 평행하다는 점에 유의하십시오.c ≠ d도 선이 다르고 교차점이 없으면 두 선이 동일하다.

균일한 좌표 사용

균일한 좌표를 사용하면 암묵적으로 정의된 두 선의 교차점을 꽤 쉽게 결정할 수 있다.In 2D, every point can be defined as a projection of a 3D point, given as the ordered triple ${\displaystyle (x,y,w)}$. The mapping from 3D to 2D coordinates is ${\displaystyle (x',y')=(x/w,y/w)}$. We can convert 2D points to homogeneous coordinates by defining them as ${\displaystyle (x,y}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (x,y,1)}$.

${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1$$}$로 정의된 2차원 공간에서 두 개의 무한 선의 교차점을 찾기를 원한다고 가정해 보십시오.$}=0}$ 및$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ b ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2$}$}=0}$. We can represent these two lines in line coordinates as ${\displaystyle U_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})}$ and ${\displaystyle U_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})}$,

두 줄의$$ 교차점 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ P$'}$은(는) 간단히 다음과 같이 주어진다.^[3]

${\displaystyle P'=(a_{p},b_{p},c_{p})=U_{1}\time U_{2}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{2}c_{1}-a_{1}c_{1}c_{1},a_{1}b_{2}-a_{2}-a_{2}-a_{2}b_{1}, {1}, {1}, {1}.$

$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c_{p}=0}$인 경우 선이$$ 교차하지 않는다.

두 줄 이상

두 선의 교차점은 추가 선을 포함하도록 일반화할 수 있다.n라인 교차로 문제의 존재와 표현은 다음과 같다.

2차원으로

2차원에서, 두 개 이상의 선은 거의 확실히 단일 지점에서 교차하지 않는다.만약 그들이 하는 경우 그 교차점을 찾기 위해,[는 명확히 설명 1를 명확히 설명 2][)y]T=b나는,{\displaystyle{\begin{bmatrix}a_{i1}&, a_{i2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&, y\end{bmatrix}}^{\mathsf{T}로}=b_{나는},은i-th 방정식(나는 1, …,n원)를 쓰}과 matri에 그 공식을 쌓아 올리는지 판단하십시오.)형태로서

${\displaystyle Aw=b,}$

여기서 n × 2 행렬 A의 i번째 행은${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (a_{i1},a_{i2},$w는 2 × 1 벡터(x, y)이고_i,^T 열 벡터 b의 i번째 요소는 b이다.A에 독립된 열이 있으면 그 등급은 2이다.그런 다음 증강 행렬[A b]의 순위도 2인 경우에만 행렬 방정식의 해법이 존재하며 따라서 n개의 선들의 교차점이 존재한다.교차로 점(있는 경우)은 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle w=A^{g}b=\왼쪽(A^{\mathsf{{T}A\right)^{-1}A^{\mathsf{T}b,}$

여기서 a ${\displaystyle g^{}}$ ${\$는 무어-펜로스가 A {\displaystyle $A}$의 일반화된 역이다$($A가 전체 컬럼 순위를 가지기 때문에 표시되는 형식이 있음).또는 어떤 두 개의 독립 방정식을 공동으로 풀어서 해결책을 찾을 수 있다.그러나 A의 등급이 1에 불과할 경우, 증강 행렬의 등급이 2일 경우 해결책이 없지만, 등급이 1일 경우 모든 선이 일치한다.

3차원으로

위의 접근방식은 쉽게 3차원으로 확장할 수 있다.3개 이상의 차원에서는 두 개의 선이라도 거의 교차하지 않는다. 교차하지 않는 평행하지 않은 선 쌍을 꼬치선이라고 한다.그러나 교차로가 존재한다면 다음과 같이 찾을 수 있다.

3차원 선을 각각의 형태의 방정식[는 명확히 설명 1를 명확히 설명 2는 명확히 설명 3][)yz]T=b.{\displaystyle{\begin{bmatrix}a_{i1}& 2개의 비행기,의 교차점, a_{i2}&, a_{i3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&, y&, z\end{bmatrix}}^{\mathsf{T}}=b_로 표시됩니다.{나는}.$}$ 따라서 n개의 선 세트는 3차원 좌표 벡터 w = (x, y, z)에서 2n 방정식으로 나타낼 수 있다.^T

${\displaystyle Aw=b,}$

여기서 현재 A는 2n × 3이고 b는 2n × 1이다. A가 전체 열 순위를 가지고 있고 증강 행렬[A b]이 없는 경우에만 전과 같이 고유한 교차점이 있으며, 존재하는 경우 고유 교차점이 주어진다.

${\displaystyle w=\왼쪽(A^{\mathsf{T}A\right)^{-1}A^{\mathsf{T}b.}$

선을 기울일 가장 가까운 점

둘 이상의 차원에서는 일반적으로 최소 제곱의 의미로 둘 이상의 선에 상호 가장 가까운 점을 찾을 수 있다.

2차원으로

2차원 사례에서 첫째, 선상에 선 ${\displaystyle i_{}}$를 점으로 $나타내며{\displaystyle {}_{}}$, 선상에 p$$i ${\$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ i ${\$ 그 선에 수직인 단위 정상 벡터.즉, x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}개의$$ 점이$$ $1번$ 라인의 $점$이라면 ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$1 = ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle p_{1}=x_{1}}}}$을(를) 두십시오$$.

${\displaystyle {\hat{n}_{1}:={\\bmatrix}0&-1\\\1&0\end{bmatrix}{\frac {x_{2}-x_{1}:{1}{\x}}}}}}}}}$

선을 따라 90도 회전하는 단위 벡터 입니다.

점 x에서 선까지의 거리$({\displaystyle p}$, ${\displaystyle n\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\displaystyle(p,{\hat{n}})$는 다음과 같이 지정된다$$.

${\displaystyle d(x,(p,n))= (x-p)\cdot {\hat {n}} =\left (x-p)^{\top }{\hat {n}}\right =\left {\hat {n}}^{\top }(x-p)\right ={\sqrt {(x-p)^{\top }{\hat {n}}{\hat {n}}^{\top }(x-p)}}.}$

그래서 점으로부터 x, 선까지의 제곱 거리는

${\displaystyle d(x,(p,n))^{2}=(x-p)^{}\top }\left \hat{n}}{\hat{n}^{\top }\right)(x-p)}$

여러 선에 대한 거리 제곱의 합은 비용함수:

${\displaystyle E(x)=\sum _{i}^{\top }{n}_{i}{\hat{n}_{n}^{n}^{\top }\i}(x-p_{i}).}$

다시 정렬할 수 있음:

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{i}x^{\top }{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }x-x^{\top }{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}-p_{i}^{\top }{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }x+p_{i}^{\top }{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}\\&=x^{\top }\left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }\right)x-2x^{\top }\left(\sum _{i}{\h{n}_{n}}{\hat{n}_{n}^{\top }p_{i}\오른쪽)+\sum _{i}p_{i}^{\hat {n}{n}}{n}}{\hat {n}}^{n}}{n}}^{\p_{i}}.\end{정렬}}}$

최소값을 찾기 위해 x에 대해 분화하여 결과를 0 벡터와 동일하게 설정한다.

${\displaystyle {\frac {\partial E(x)}{\partial x}}=0=2\left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }\right)x-2\left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}\right)}$

그렇게

${\displaystyle \left(\sum _{n}}_{n}_{i}}{n}^{\top }\i}^{n}}\sum _{n}}}{n}}}{n}}}^{\hat {n}}{p_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그래서,

${\displaystyle x=\좌(\sum _{n}_{n}_{n}_{n}^{n}^{\top }\right)^{-1}\좌(\sum _{n}}_{n}}}}{n}}^{\top }p_{i}\오른쪽).}$

2차원 이상에서

While ${\displaystyle {\hat {n}}_{i}}$ is not well-defined in more than two dimensions, this can be generalized to any number of dimensions by noting that ${\displaystyle {\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }}$ is simply the (symmetric) matrix with all eigenvalues unity except for a zerp ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 사이의 거리에 세미놈을 제공하는 선을 따라가는 방향의 고유값과$$ 선까지의 거리를 주는 또 다른 지점.임의의 치수에서 ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ i ${\$이(가) i번째 선을 따라 있는 단위 벡터인 경우

${\displaystyle {\stackrel{}{n}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$^{\$displaystyle{n}_{i}}{\hat{n}_{$i}^{\top$}}}$은(는) $I{\displaystyle }$- ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ^ ${\displaystyle i_{}^{\stackrel{}{}}}$ $^{\$}_${\hat{v}}_${i$}^{\op}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

내가 정체성 매트릭스인 곳, 등등^[4]

${\displaystyle x=\left(\sum _{i}I-{\hat {v}}_{i}{\hat {v}}_{i}^{\top }\right)^{-1}\left(\sum _{i}\left(I-{\hat {v}}_{i}{\hat {v}}_{i}^{\top }\right)p_{i}\right).}$

일반 파생

선 집합의 교차점을 찾기 위해 선에 대한 최소 거리로 점을 계산한다.각 선은 ${\displaystyle {원점}_{}}$ $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 단위 방향 벡터 ${\displaystyle n_{}}$ i ${\$에 의해 정의된다$.$점 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에서 선 중 하나에 이르는$$ 거리의 제곱은 피타고라스에서 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle d_{i}^{2}=\left\ p-a_{i}\right\ ^{2}-\left[\left(p-a_{i}\right)^{\mathsf {T}}*n_{i}\right]^{2}=\left(p-a_{i}\right)^{\mathsf {T}}*\left(p-a_{i}\right)-\left[\left(p-a_{i}\right)^{\mathsf {T}}*n_{i}\right]^{2}}$

여기서 :${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {p_{}}^{}}$- a${\displaystyle {{}_{}}^{}}$) ${\displaystyle T^{\mathsf{}}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}{n}_{}}$ i$${\$displaystyle {\ref(p-a_{i}\right)^{\mathsf{$T}*$n_{$i$\}\}\}{\displaystyle }$는 ($p$${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ $){\$$displaystyle$ $\backslash \{$$a}$_${$$i}\$$ri$$}의 투영법이다.$모든 선에 대한 제곱까지의 거리의 합은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{i}d_{i}^{2}=\sum _{i}\left[{\left(p-a_{i}\right)^{\mathsf {T}}}*\left(p-a_{i}\right)-{\left[\left(p-a_{i}\right)^{\mathsf {T}}*n_{i}\right]^{2}}\right]}$

$이{\displaystyle }$ 식을 최소화하기 위해 p ${\displaystyle p}$에 대해 구별한다$.$

${\displaystyle \sum \{i}\왼쪽[2*\ft(p-a_{i}\오른쪽)-2*\right[{\\reft(p-a_{i}\right)}^{\mathsf{T}*n_{i}}}=0}$

${\displaystyle \sum _{i}\좌(p-a_{i}\우)=\sum _{i}\좌(n_n}*n_{i}^{n}^{\mathsf{T}\우)\좌(p-a_{i}\우)}$

결과:

${\displaystyle \left[\sum _{n_{i}}*{n_{i}*{n_}*{n}\i}^{n}\mathsf {T}\right]*p=\sum_{i}}{n_{i}}^{\mathsf{T}*{a_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$여기$서 I ${\displaystyle I}$은(는) ID 행렬이다.$이것$은 $매트릭스{\displaystyle }$${\displaystyle S}$${\displaystyle {}^{}}$∗ p = C ${\displaystyle S*p=C$ 솔루션 p${\displaystyle }$= ${\displaystyle S{}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ p$={S^}}*C$ 여기서 $S{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$는 S ${\displaystysty S}$의 유사 반전이다$.$

참고 항목

• 선 세그먼트 교차점
• 투영 공간의 선 교차점
• 두 평행선 사이의 거리
• 점에서 선까지의 거리
• 선-평면 교차점
• 평행 가설
• 삼각측량(컴퓨터 비전)
• 교차로(유클리드 기하학) § 두 개의 선 세그먼트

참조

외부 링크

• 선과 세그먼트 사이의 거리(가장 가까운 접근 지점 포함), 2차, 3차원에 적용 가능.