가장 가까운 접근 거리

두 물체의 가장 가까운 접근 거리는 물체가 외부적으로 접했을 때 중심 사이의 거리다. 물체는 기하학적 모양이나 경계가 잘 정의된 물리적 입자일 수 있다. 가장 가까운 접근 거리를 접촉 거리라고 부르기도 한다.

가장 단순한 대상인 구체에게 가장 가까운 접근 거리는 단순히 반지름의 합이다. 비구형 물체의 경우 가장 가까운 접근 거리는 물체 방향의 함수로서 그 계산이 어려울 수 있다. 지속적인 관심의 중요한 문제인 경입자의 최대 포장 밀도는 가장 가까운 접근 거리에 따라 달라진다.^[1]

입자의 상호작용은 일반적으로 분리에 따라 달라지며, 가장 가까운 접근의 거리는 응축 물질 시스템의 동작을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.

제외량

이러한 설명에서 제외된 입자의 부피(하나의 존재로 인해 다른 입자의 중심에 제외된 부피)는 핵심 매개변수로서,^[2][3] 제외된 부피를 계산하기 위해서는 가장 가까운 접근 거리가 필요하다. 동일한 구에 대해 제외된 부피는 하나의 구 면적의 4배에 불과하다. 다른 비등방성 객체의 경우, 제외된 부피는 방향에 따라 달라지며, 그 계산은 놀랄 만큼 어려울 수 있다.^[4] 구체 다음에 나오는 가장 단순한 모양은 타원과 타원형이다; 이것들은 상당한 관심을 받았으나,^[5] 제외된 체적은 알려져 있지 않다. Vieillard Barron은 두 개의 타원에 중복 기준을 제공할 수 있었다. 그의 결과는 하드 입자 시스템의 컴퓨터 시뮬레이션과 몬테카를로 시뮬레이션을 사용한 포장 문제에 유용했다.

제외된 부피를 분석적으로 표현할 수 있는 비등방성 형태는 스피어실린더로, 이 문제의 해결책은 온사거의 고전적인 작품이다.^[6] 이 문제는 캡형 실린더의 중심선인 두 선 세그먼트 사이의 거리를 고려하여 해결되었다. 다른 모양에 대한 결과는 쉽게 구할 수 없다. 가장 가까운 접근 거리의 방향 의존성은 놀라운 결과를 가져온다. 교호작용이 내방성만 있는 경입자 체계는 순서가 될 수 있다. 하드 스페로실린더는 방향적으로 정렬된 니메틱일 뿐만 아니라 위치적으로 정렬된 스몰텍틱 단계를 형성한다.^[7] 여기서, 그 시스템은 다른 곳에서 무질서와 엔트로피를 얻기 위해 어떤 (방향적이고 심지어 위치적인) 장애를 포기한다.

2개의 타원형 케이스

Vieillard Barron은 먼저 이 문제를 조사했고, 가장 가까운 접근 거리의 결과를 얻지는 못했지만, 두 개의 타원에 대한 중복 기준을 도출했다. 그의 최종 결과는 단단한 입자의 위상 거동에 대한 연구와 몬테카를로 시뮬레이션을 사용한 패킹 문제에 유용했다. 중복 기준이 개발되었지만,^[8][9] 가장 가까운 접근 거리 및 접촉 지점 위치에 대한 분석 솔루션은 최근에야 사용할 수 있게 되었다.^[10][11] 계산에 대한 자세한 내용은 참고문헌에 수록되어 있다.^[12] Fortran 90 서브루틴은 Ref에 제공된다.^[13]

절차는 세 단계로 구성된다.

1. Transformation of the two tangent ellipses ${\displaystyle E_{1}}$ and ${\displaystyle E_{2}}$, whose centers are joined by the vector ${\displaystyle d}$, into a circle ${\displaystyle C_{1}'}$ and an ellipse ${\displaystyle E_{2}'}$, whose centers are joined by the vector ${\displaystyle d^{}}$${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ d$\text{'}\}.$ $변환{\displaystyle {}_{}^{}}$ 후에도 C ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 원과$$ 타원 $E{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 원은 접선 상태를$$ 유지한다.
2. $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 및$$ $E{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 가장 가까운 접근$$ $거리{\displaystyle {}^{}}$ d ${\displaystyle {\prime }^{}}${\$displaystyle$ d$'}$을(를) 분석적으로$$ 결정한다. 4분위 방정식의 적절한 해법이 필요하다. 정규 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 계산된다$$.
3. 벡터 $d{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $d}$ 및 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$displaystyle $d'}$의 역변환에 의한$$ E $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ {\$displaystyle E_{2$}}의 가장 가까운 접근$$ $거리{\displaystyle }$ d ${\$$displaystystyle n'$의 위치 결정$.$

입력:

• 세미x의 길이는 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$2${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$
• 단위 벡터 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 두 타원의 주요 축을 따라$$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle k_{2}}:$
• 두 타원의 중심을 연결하는$$ 장치 벡터 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ d$}.$

출력:

• 타원 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 $E$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 외부 접선일 때 중심 사이의$$ $거리{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$
• $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$

타원형 2개의 경우

각각 주어진 모양과 방향을 가진 두 개의 타원형을 고려하십시오. 그 중심은 주어진 방향의 선에 있다. 타원체가 외부적으로 점으로 접촉할 때 중심 사이의 거리를 결정하고자 한다. 이 가장 가까운 접근 거리는 타원체의 모양과 방향의 함수다. 거리에 대한 해결은 6차 다항식의 해법이 필요하므로 이 문제에 대한 분석적 해결책은 없다. 여기서는 숫자로 구현할 수 있는 2D에서 타원의 가장 가까운 접근 거리에 대한 분석 결과에 기초하여 이 거리를 결정하기 위한 알고리즘이 개발된다. 자세한 내용은 간행물에 수록되어 있다.^[14][15] 서브루틴은 두 가지 형식으로 제공된다. 포트란90과 C.^[17]

알고리즘은 세 단계로 구성된다.

1. 두 타원체의 중심을 잇는 선을 포함하는 평면을 구성하고, 이 평면과 타원체의 교차점에 의해 형성된 타원 방정식을 찾는다.
2. 타원의 가장 가까운 접근 거리 결정: 타원의 중심들이 외부적으로 점 접촉했을 때 타원의 중심들 사이의 거리.
3. 타원의 가장 가까운 접근 거리가 최대가 될 때까지 평면을 회전한다. 타원체의 가장 가까운 접근 거리는 이 최대 거리다.

참고 항목

• 압시스
• 영향 매개변수

참조