분산 매개변수 시스템

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제어이론에서 분산변수계(collated-parameter system과는 반대로)는 상태공간이 무한차원인 계통이다. 따라서 그러한 시스템은 무한 차원 시스템이라고도 알려져 있다. 대표적인 예로 부분 미분 방정식 또는 지연 미분 방정식으로 기술된 시스템을 들 수 있다.

선형 변동 시간 분산 매개변수 시스템

추상 진화 방정식

이산 시간

With U, X and Y Hilbert spaces and ${\displaystyle A\,}$ ∈ L(X), ${\displaystyle B\,}$ ∈ L(U, X), ${\displaystyle C\,}$ ∈ L(X, Y) and ${\displaystyle D\,}$ ∈ L(U, Y) the following difference equations determine a discrete-time linear time-invariant system:

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

$x{\displaystyle }$ ${\$상태) 값이 X인 시퀀스, $u{\displaystyle }$ ${\$\,}($$입력 또는 제어) 값이 U인 시퀀스 및 $y{\displaystyle }$ ${\$출력) 값이 Y인 시퀀스.

연속시간

연속 시간 사례는 이산 시간 사례와 유사하지만, 이제는 차이 방정식 대신 미분 방정식을 고려한다.

${\displaystyle \stackrel{}{}x}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle Bu}$ ( ${\displaystyle t}$) ${\$}($t)=$Ax(t)+$Bu(t$

${\displaystyle y}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u}$( t${\displaystyle }$) ${\$.

그러나 현재 추가된 복잡성은 부분 미분방정식과 지연 미분방정식과 같은 흥미로운 물리적 예를 이 추상적인 프레임워크에 포함시키려면 무한 연산자를 고려해야 한다는 것이다. 일반적으로 A는 상태 공간 X에 강하게 연속적인 세미그룹을 생성하는 것으로 가정한다. B, C, D를 경계 연산자로 가정하면, 이미 많은 흥미로운 물리적 예를 포함할 수 있지만,^[1] 다른 많은 흥미로운 물리적 예들을 포함하면 B와 C의 무한함을 강요하기도 한다.

예제: 부분 미분 방정식

> 0 ${\displaystyle t>0}$ 및 $\xi {\displaystyle }$ [${\displaystyle }$0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \xi \in [0,1]}$이(가) 주어지는$$ 부분 미분 방정식

${\displaystyle {\frac {\properties }{\precovery t}w(t,\xi )=-{\frac {\precovery }{\preci \w(t,\xi )+u(t),}$

${\displaystyle w (0,\xi )=w_{0}(\xi ),}$

${\displaystyle wh(t,0)=0,}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,}$

위에서 설명한 추상 진화 방정식 프레임워크에 다음과 같이 적합하다. 입력 공간 U와 출력 공간 Y는 모두 복잡한 숫자의 집합으로 선택된다. 상태 공간 X는 L²(0, 1)로 선택된다. 연산자 A는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Ax=-x',~~D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ 절대 연속 },x'\in L^{2}(0,1){\text{}, }x(0)=0\right\}.}$

A가 X에 강렬하게 연속적인 세미그룹을 생성한다는 것을^[2] 알 수 있다. 경계 연산자 B, C, D는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Bu=u, ~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi,~~D=0.}$

예제: 지연 미분 방정식

지연 미분 방정식

${\dot스타일 {\w}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),}$

$[\displaystyle y(t)=w(t),}$

위에서 설명한 추상 진화 방정식 프레임워크에 다음과 같이 적합하다. 입력 공간 U와 출력 공간 Y는 모두 복잡한 숫자의 집합으로 선택된다. 상태 공간 X는 L²(-162, 0)과 함께 복합 숫자의 곱으로 선택된다. 연산자 A는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},~~~D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ 및 }r=f(0)\right\}.}$

A가 X에 강렬하게 연속적인 세미그룹을 생성한다는 것을^[3] 알 수 있다. 경계 연산자 B, C, D는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix},~~C{pmatrix}r\f\end{pmatrix}=r,~~D=0.}$

전송 함수

유한차원 사례에서와 같이, 전달 함수는 라플라스 변환(연속 시간) 또는 Z 변환(분해 시간)을 통해 정의된다. 유한차원의 경우 전이함수가 적절한 이성함수인 반면, 상태공간의 무한차원성은 비이성함수(그러나 여전히 홀로모르픽)로 이어진다.

이산 시간

이산 시간에서 전송${\displaystyle }$함수는 $D{\displaystyle }$ +${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ k B ${\displaystyle z^{}}$k {\$displaystyle D$+\$sum _{k=0}^{\infort }CA^{k}Bz$^{k$}}}}}}}$에 의해 상태 공간 매개변수의 관점에서 주어지며$$, 원점을 중심으로 한 디스크에서 홀로모르픽이다.^[4] In case 1/z belongs to the resolvent set of A (which is the case on a possibly smaller disc centered at the origin) the transfer function equals ${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$. An interesting fact is that any function that is holomorphic in zero is the transfer function of some discrete-time system.

연속시간

만약 A가 강하게 연속적인 세미그룹을 생성하고 B, C, D가 경계 연산자라면, 전송^[5] 함수는${\displaystyle }D{\displaystyle }$ +${\displaystyle C}$ (${\displaystyle s}$I -${\displaystyle {}^{}A{}^{}}$) - 1 ${\displaystyle {}^{}}$ $(\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$에 의한 상태 공간 매개변수의 관점에서 주어지며, 실제 부분은 A에 의해 생성되는 세미그룹의 지수 성장 경계보다 크다. 더 일반적인 상황에서는 이 공식은 이치에 맞지 않을 수도 있지만, 이 공식의 적절한 일반화는 여전히 유효하다.^[6] 전송 함수에 대한 쉬운 식을 얻기 위해서는 위에 제시된 예에 따라 아래와 같은 상태 공간 공식을 사용하는 것보다 주어진 미분 방정식에서 라플라스 변환을 취하는 것이 종종 더 낫다.

부분 미분 방정식의 전달 함수 예

${\$의 초기 조건을 0으로 설정하고$$ 위에 주어진 부분 미분 방정식에서 얻은 대문자로 t에 대해 Laplace 변환을 나타냄

${\displaystyle sW,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }W,\xi )+U,}$

${\displaystyle W,0=0,}$

${\displaystyle Y=\int _{0}^{1}W,\xi )\,d\xi.}$

$이것$은 variable ${\displaystyle \xi }$을(를) 변수로$$, s를 매개 변수 및 초기 조건 0으로 하는 이종 선형 미분 방정식이다. The solution is ${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$. Substituting this in the equation for Y and integrating gives ${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$ so that the transfer function is ${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/}$${\displaystyle s^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

지연 미분 방정식의 전달 함수 예

부분 미분방정식의 예와 비슷하게 진행하면서 지연방정식의 예에 대한 전달함수는 1^[7]${\displaystyle }$/ (${\displaystyle }s{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle 1}$- e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle s^{}}$) ${\displaystyle$ 1$/(s-1-e^{-s})$ 입니다$.$

제어 가능성

무한 차원 사례에서, 유한 차원 사례의 경우, 통제 가능성의 일반적인 개념으로 붕괴되는 관리 가능성의 비균등 정의가 몇 개 있다. 가장 중요한 세 가지 관리 가능성 개념은 다음과 같다.

• 정확한 관리 가능성,
• 대략적인 관리 가능성,
• null 관리 가능성.

이산 시간에서의 제어 가능성

중요한 역할은 지도 ${\displaystyle {\phi n}_{}}$ ${\$에 의해 수행되며, 지도$$ ${\displaystyle {mapsn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 0n A ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$}}}n에 의해 주어진다.$}}A^{k}Bu_{k$ ${\displaystyle {\phi n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}u}$는 초기 조건이 0일 때 입력 순서 u를 적용하여 도달하는 상태라는 해석이다. 그 시스템은 불리고 있다.

• ${\displaystyle {\phi n}_{}}$ ${\$의 범위가 X인 경우 정확히 시간 n으로 제어 가능,
• ${\displaystyle {\phi n}_{}}$ ${\$의 범위가 X로 조밀하면$$ 시간 n으로 대략 제어할 수 있다.
• ${\displaystyle {\phi n}_{}}$ ${\$의 범위에 A의ⁿ 범위가 포함되는$$ 경우 null을 시간 n으로 제어할 수 있다.

연속 시간에서의 제어 가능성

In controllability of continuous-time systems the map ${\displaystyle \Phi _{t}}$ given by ${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$ plays the role that ${\displaystyle \Phi _{n}}$ plays in discrete-time. 그러나 이 운영자가 작용하는 제어 기능의 공간은 정의에 영향을 미친다. 통상적인 선택은 L(0², ∞;U), 간격(0, ∞)에 U 값 사각형 통합함수의 공간(0, ∞)이지만, L(0, ∞;U)과¹ 같은 다른 선택이 가능하다. $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 도메인을 선택한$$ 후 서로 다른 관리 가능성 개념을 정의할 수 있다. 그 시스템은 불리고^[8] 있다.

• ${\displaystyle {\phi }_{}}$ t ${\$의 범위가 X일 경우 정확히 시간 t에서 제어 가능,
• $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 범위가 X로 조밀하면$$ 시간 t에서 대략 제어할 수 있다.
• $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 범위에 ${\displaystyle {\mathrm{eA}}^{}}$ t ${\$의 범위가 포함된$$ 경우 null을 시간 t로 제어할 수 있다$.$

관측성

유한차원 사례에서와 같이 관측가능성은 관리가능성의 이중 개념이다. 무한 차원 사례에서는 유한 차원 사례에서 일치하는 여러 가지 관측 가능성의 개념이 있다. 가장 중요한 세 가지는 다음과 같다.

• 정확한 관측 가능성(연속 관측 가능성이라고도 함)
• 대략적인 관측 가능성,
• 최종 상태 관찰 가능.

이산 시간에서의 관측 가능성

중요한 역할은 지도 ${\displaystyle {\psi n}_{}}$ ${\$에 의해 수행되며, 지도$$ \${\displaystyle n_{}}$은 X를 모든 Y 값 시퀀스의 공간에 매핑하고$,{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle {}_n}$x ) k = ${\displaystyle {}^{}}$ x {\$displaystyle$(\$Psi$_${$n}$x)_{$k$}=CA^{$k}x}x}$x$$}$에 의해 주어진다. 해석은 ${\displaystyle {}_{}}$x {\$displaystyle \Psi _{n}$x}이(가) 초기 조건 x와 제어 0으로 잘린 출력이라는$$ 것이다. 그 시스템은 불리고 있다.

• 모든 x x X에 대해 for$$${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle }$k${\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$k ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle x}$ { { { {$\psi \psi _{n}x\geq k_{n}\ x\}}}}$과(와) 같은_n k > 0이 있는 경우 정확히 시간 n으로 관측할 수 있다.
• ${\displaystyle {\psi n}_{}}$ ${\$이(가) 주입식인 경우 대략 n 시간 내에 관측할 수 있다.
• 모든 x x X에 대해$$ $\Vert {\displaystyle }$ ‖ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$k${\displaystyle }$k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { { { { { $\psi \{n}x\geq k_{n}\A^{n}x\}}}}$이(가) 있는 최종_n 상태는 시간 n에 관측할 수 있다.

연속시간에서의 관측가능성

연속 시간 ${\displaystyle {시스템}_{}}$의 관측 가능성에서 지도 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ $\Psi _{t}$가 (${\displaystyle }$( t${\displaystyle {}_{}}$) (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ A ${\displaystyle s^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (\Psi _{t})(=)$s∈[0,t]의 $경우$ C${\rm{e}^{As}$x$},$ s의 경우 0}이(가) 개별 시간에 ${\displaystyle {nn}_{}}$ ${\$이(가) 수행하는$$ 역할을 한다. 그러나 현재 이 연산자가 매핑하는 함수의 공간은 정의에 영향을 미친다. 통상적인 선택은 L(0², ,, Y)이며, 간격(0, ∞, Y)에 있는 Y 값 정사각형 통합 함수의 공간(0, ∞, Y)이지만, L(0¹, ∞, Y)과 같은 다른 선택이 가능하다. $\psi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 공동 도메인을 선택한$$ 후 다른 관측 가능성 개념을 정의할 수 있다. 그 시스템은 불리고^[9] 있다.

• 모든 x x X에 대해${\displaystyle }$for$$ ‖ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ k k k ${\displaystyle k_{}}$ x x x ${\displaystyle x}$ { ${\displaystyle \{}$ {$\psyle \psi _{t}\geq k_{t}\ x\}}}$이(가) 있는 경우_t 정확히 시간 t에서 관측할 수 있다.
• $\psi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$가 주입식인$$ 경우 대략 시간 t에서 관측할 수 있다.
• 모든 x x X에 대해 $\Vert {\displaystyle }$ ‖ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ k ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ e ${\displaystyle x^{}}$ x ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {${\displaystyle }${ { {$\Psi _{t$}\$geq k_{t}\\\\$rm {$e}^{$At}$x\}}}.$가 있는 경우_t 최종 상태는 시간 t에서 관측할 수 있다.

관리 가능성과 관찰 가능성의 이중성

유한차원 사례에서와 같이 관리 가능성과 관찰 가능성은 이중 개념이다(적어도 $\phi$의$$도메인 {\$displaystyle \Phi}$과 $\psi$의 공동 도메인 ${\displaystyle \Psi}$의 경우 일반적인 L 선택이² 이루어진다). 다른 개념의 이중성에 따른 대응은 다음과 같다.^[10]

• 정확한 관리 가능성 £정확한 관찰 가능성,
• 대략적인 관리 가능성 £ 대략적인 관측 가능성,
• Null 관리 가능성 £ 최종 주의 관찰 가능성.

참고 항목

• 제어 이론
• 상태 공간(컨트롤)

메모들

참조

• Curtain, Ruth; Zwart, Hans (1995), An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems, Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer
• Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto (2000), Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Representation and Control of Infinite Dimensional Systems (second ed.), Birkhauser