지연 미분 방정식

수학에서 지연미분방정식(DDE)은 특정 시간에 미지분함수의 파생형이 이전 시간의 함수 값 측면에서 주어지는 미분방정식의 일종이다. DDE는 또한 시간 지연 시스템, 후유증 또는 사망 시간이 있는 시스템, 유전 시스템, 변위 방정식 또는 미분차 방정식이라고도 불린다. 이들은 유한 치수 상태 벡터를 갖는 일반 미분 방정식(OSE)과 반대로 무한 치수인 부분 미분 방정식(PDE)과 같은 기능 상태를 가진 시스템 등급에 속한다. DDE의 인기에 대한 가능한 설명은 다음과 같다.^[1]

후유증은 적용 문제다. 역동적인 성과에 대한 기대감 증가와 함께 엔지니어가 실제 과정처럼 행동하기 위해 자신의 모델이 필요하다는 것은 잘 알려져 있다. 많은 과정에는 내면의 역학관계에 따른 후유증 현상이 포함된다. 또한, 피드백 제어 루프에 현재 관여하고 있는 액추에이터, 센서, 통신 네트워크는 그러한 지연을 도입한다. 마지막으로, 실제 지연 외에도, 시간 지연은 매우 높은 주문 모델을 단순화하기 위해 자주 사용된다. 그 후, DDE에 대한 관심은 모든 과학 분야, 특히 제어 공학 분야에서 계속 증가하고 있다.
지연 시스템은 여전히 많은 고전적 제어기에 내성이 있다. 가장 단순한 접근방식은 그것들을 어떤 유한차원 근사치로 대체하는 것이라고 생각할 수 있다. 불행하게도 DDE로 적절하게 표현되는 효과를 무시하는 것은 일반적인 대안이 아니다. 최상의 상황(일정한 지연 및 알려진 지연)에서는 제어 설계에서 동일한 정도의 복잡성을 초래한다. 최악의 경우(예를 들어, 시간 변동 지연) 안정성과 진동 면에서 잠재적으로 재앙적이다.
자발적으로 지연을 도입하면 제어 시스템에 이익이 될 수 있다.^[2]
DDE는 복잡함에도 불구하고 종종 부분 미분 방정식(PDE)의 매우 복잡한 영역에서 단순한 무한 차원 모델로 나타난다.

$\mathb {R}$ ^{ $n}$ 에 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 시간 지연 $미분$ 방정식의 일반적인 형태는 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 과 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 같다 $.$

{\dplaystyle {\frac {d}{dt}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}

여기서

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

=

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

{

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

(

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

)

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

:

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

{\displaystyle x_{t}=\{x(\tau }):\tau \leq

t

\}}}

은 과거 용액의 궤적을 나타낸다

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

. In this equation,

f

is a functional operator from

\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})

to

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.

}

예

연속지연 ${\dplaystyle {\frac {d}{dt}x(t)=f\left(t,x(t),\int_{-\infit }^{0}x(t+\tau )\,d\mu(\tau )\right)}$
이산지연 ${\dplaystyle {\frac {d}{dt}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\properties,x(t-\tau _{m})}}$ $\tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.$ $\tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.$ > $\tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.$ > $\tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.$ $\tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.$ $\tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.$ $\tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.$ ${\displaystyle \tau$ \tau $_{1}}\tau _{m}\geq 0.}$
개별 지연이 있는 선형 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1}+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})$ $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 서 $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ${\$ n $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$
판토그래프 방정식 ${\frac {d}{dt}x(t)=ax(t)+bx(\bda t),$ 여기서 a, b, λ은 상수와 0 < λ < 1이다. 이 방정식과 좀 더 일반적인 형태는 열차의 팬터그래프의 이름을 따서 명명되었다.^[3]^[4]

DDE 해결

DDE는 대부분 단계적 방법이라는 원리로 단계적 방법으로 해결된다. 예를 들어, DDE를 단일 지연으로 간주하십시오.

{\dplaystyle {\frac {d}{dt}x(t)=f(x(t),x(t-\tau )}

with given initial condition $\phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}$ . Then the solution on the interval $[0,\tau ]$ is given by $\psi (t)$ which is the solution to the inhomogeneous initial value problem

{\frac {d}{dt}\propert (t)=f(\phi)(t-\tau )

\psi (0)=\phi (0)

(

\psi (0)=\phi (0)

)

\psi (0)=\phi (0)

=

\psi (0)=\phi (0)

(

\psi (0)=\phi (0)

)

\psi (0)=\phi (0)

포함

\psi (0)=\phi (0)

이 값은 이전 간격의 용액을 비균형 항으로 사용하여 연속적인 간격 동안 지속될 수 있다. 실제로 초기 가치 문제는 숫자적으로 해결되는 경우가 많다.

예

$f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ ( $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ ( t $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ ) $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ , x ( $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ - $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ ) $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ = $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ ( t $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ - $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ ) = $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ ( $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ - τ $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ ) ${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau )},$ $\phi (t)=1$ ( $\phi (t)=1$ ) $\phi (t)=1$ = $\phi (t)=1$ ${\displaystyle \phi(t)=1$ 그러면 초기 값 문제는 통합으로 해결할 수 있다.

x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{d}{d}{dt}}x\,ds=1+a\int _{s=0^{t}\pi(s-\tau )\ds,ds,

i.e., $x(t)=at+1$ , where the initial condition is given by $x(0)=\phi (0)=1$ . Similarly, for the interval $t\in [\tau ,2\tau ]$ we integrate and fit the initial condition,

{\begin{aligned}x(t)=x(\tau )+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds&=(a\tau +1)+a\int _{s=\tau }^{t}\left(a(s-\tau )+1\right)ds\\&=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }\left(as+1\right)ds,\end{aligned}}

예: ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ ( t ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ ) ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ = ( ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ + 1 ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ ) ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ + a ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ ( ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ - ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ ) + ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ ( t - ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ ) ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ ( ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$ ) . ${\textstyle x(t)=(a\tau +$ 1)+ $a(t-\tau)+$ a(t-\tau $)\{1}{a(t-\tau )+1\오른쪽.$ $}$

ODE로 감소

어떤 경우에는 미분 방정식을 지연 미분 방정식처럼 보이는 형식으로 나타낼 수 있다.

예제 1 방정식 고려 ${\dplaystyle {\frac}{dt}x(t)=f\왼쪽(t,x(t),\int_{-\inflt }^{0}x(t+\tau )e^{\da \tau \}\,d\tau \right)}$ 소개를 하겠습니다 y(t)= ∫ − ∞ 0(t+τ)eλ τ d({\displaystyle y(t)=\int_{-\infty}(t+\tau)e^{\lambda \tau}\,d\tau}에 시스템의 ODEs. ${\dplaystyle {\frac}{dt}{dt}x(t)=f(t,x,y),\frac {d}{dt}y(t)=x-\frda y.}$
예제 2방정식 ${\displaystyle{\frac{d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _ᆮ^ᆯx(t+\tau)\cos(\alpha \tau +\beta)\,d\tau \right)}.$ 에 해당합니다 ${\displaystyle{\frac{d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad}y(t)=\cos(\beta)x+\alpha z,\quad{\frac{d}{dt}}z(t)=\sin(\beta)x-\alpha y,}{\frac{d}{dt}.$ 어디에 ${\displaystyle y=\int_{-\infty}(t+\tau)\cos(\alpha \tau +\beta)\,d\tau,\quad z=\int _ᆮ^ᆯx(t+\tau)\sin(\alpha \tau +\beta)\,d\tau.}.$

특성 방정식

ODEs과 비슷하게 선형 DDEs의 많은 특성과 특성 방정식을 이용하여 분석된다.[5] 특성 방정식은 선형적인 DDE와 이산 지연 관련.

{\displaystyle {\frac {d}{dt}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1}+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})

이다

\det(-\lambda I+A_{0}일 경우 +A_{1}e^{-\tau_{1}\lambda}+\dotsb+A_{m}e^{-\tau_{m}\lambda})=0.

그 특성 방정식의 근원은 λ 특성 뿌리 또는 eigenvalues과 솔루션 세트는 종종 그 주파수로 불리고 있다. 그 특성 방정식의 통해 때문에 모든 캡처 사용을 위해서 DDE, ODE 경우, eigenvalues의 무한 수, 스펙트럼 분석 관계가 좀 더 만드는 것과는 달리 가지고 있다. 스펙트럼은 그러나 이 분석에서 착취당할 수 있는 몇가지 속성을 가지고 있다. 비록 eigenvalues이 무한히 많다 예를 들어,, 수직선의 복잡한 평면의 오른쪽으로 eigenvalues의 한정된 몇가지 있다.[표창 필요한]

이 특성 방정식은 비선형 고유문제로서 스펙트럼을 숫자로 계산하는 방법이 많다.^[6] 특수한 상황에서는 특성 방정식을 명시적으로 해결할 수 있다. 예를 들어 다음 DDE를 고려하십시오.

{\frac {d}{dt}x(t)=-x(t-1).

특성 방정식은

-\displaystyle -\displayda -e^{-\disda }=0.}

복합 λ에 대한 이 방정식의 해법은 무한히 많다. 그것들은 에 의해 주어진다.

\lambda =W_{k}(-1),

여기서 W는_k 램버트 W 함수의 k번째 분기다.

적용들

당뇨병의^[7] 역학
역학^[8]^[9]
인구역학^[10]^[11]
고전전기역학^[12]

참고 항목

기능미분방정식

참조

^ Richard, Jean-Pierre (2003). "Time Delay Systems: An overview of some recent advances and open problems". Automatica. 39 (10): 1667–1694. doi:10.1016/S0005-1098(03)00167-5.
^ Lavaei, Javad; Sojoudi, Somayeh; Murray, Richard M. (2010). "Simple delay-based implementation of continuous-time controllers". Proceedings of the 2010 American Control Conference: 5781–5788. doi:10.1109/ACC.2010.5530439.
^ Griebel, Thomas (2017-01-01). "The pantograph equation in quantum calculus". Masters Theses.
^ Ockendon, John Richard; Tayler, A. B.; Temple, George Frederick James (1971-05-04). "The dynamics of a current collection system for an electric locomotive". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 322 (1551): 447–468. doi:10.1098/rspa.1971.0078.
^ Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Stability and Stabilization of Time-Delay Systems. Advances in Design and Control. Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 3–32. doi:10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
^ Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Stability and Stabilization of Time-Delay Systems. Advances in Design and Control. Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 33–56. doi:10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
^ Makroglou, Athena; Li, Jiaxu; Kuang, Yang (2006-03-01). "Mathematical models and software tools for the glucose-insulin regulatory system and diabetes: an overview". Applied Numerical Mathematics. Selected Papers, The Third International Conference on the Numerical Solutions of Volterra and Delay Equations. 56 (3): 559–573. doi:10.1016/j.apnum.2005.04.023. ISSN 0168-9274.
^ Salpeter, Edwin E.; Salpeter, Shelley R. (1998-02-15). "Mathematical Model for the Epidemiology of Tuberculosis, with Estimates of the Reproductive Number and Infection-Delay Function". American Journal of Epidemiology. 147 (4): 398–406. doi:10.1093/oxfordjournals.aje.a009463. ISSN 0002-9262.
^ Kajiwara, Tsuyoshi; Sasaki, Toru; Takeuchi, Yasuhiro (2012-08-01). "Construction of Lyapunov functionals for delay differential equations in virology and epidemiology". Nonlinear Analysis: Real World Applications. 13 (4): 1802–1826. doi:10.1016/j.nonrwa.2011.12.011. ISSN 1468-1218.
^ Gopalsamy, K. (1992). Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics. Mathematics and Its Applications. Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0792315940.
^ Kuang, Y. (1993). Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. Mathematics in Science and Engineering. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0080960029.
^ López, Álvaro G. (2020-09-01). "On an electrodynamic origin of quantum fluctuations". Nonlinear Dynamics. 102 (1): 621–634. arXiv:2001.07392. doi:10.1007/s11071-020-05928-5. ISSN 1573-269X.

추가 읽기

Bellen, Alfredo; Zennaro, Marino (2003). Numerical Methods for Delay Differential Equations. Numerical Mathematics and Scientific Computation. Oxford, UK: Oxford University Press. ISBN 978-0198506546.
Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Differential-Difference Equations (PDF). Mathematics in Science and Engineering. New York, NY: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
Briat, Corentin (2015). Linear Parameter-Varying and Time-Delay Systems: Analysis, Observation, Filtering & Control. Advances in Delays and Dynamics. Heidelberg, DE: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
Driver, Rodney D. (1977). Ordinary and Delay Differential Equations. Applied Mathematical Sciences. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0387902319.
Erneux, Thomas (2009). Applied Delay Differential Equations. Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences. New York, NY: Springer Science+Business Media. ISBN 978-0387743714.

외부 링크

Skip Thompson (ed.). "Delay-Differential Equations". Scholarpedia.

[1] Richard, Jean-Pierre (2003). "Time Delay Systems: An overview of some recent advances and open problems". Automatica. 39 (10): 1667–1694. doi:10.1016/S0005-1098(03)00167-5.

[2] Lavaei, Javad; Sojoudi, Somayeh; Murray, Richard M. (2010). "Simple delay-based implementation of continuous-time controllers". Proceedings of the 2010 American Control Conference: 5781–5788. doi:10.1109/ACC.2010.5530439.

[3] Griebel, Thomas (2017-01-01). "The pantograph equation in quantum calculus". Masters Theses.

[4] Ockendon, John Richard; Tayler, A. B.; Temple, George Frederick James (1971-05-04). "The dynamics of a current collection system for an electric locomotive". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 322 (1551): 447–468. doi:10.1098/rspa.1971.0078.

[5] Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Stability and Stabilization of Time-Delay Systems. Advances in Design and Control. Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 3–32. doi:10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.

[6] Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Stability and Stabilization of Time-Delay Systems. Advances in Design and Control. Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 33–56. doi:10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.

[7] Makroglou, Athena; Li, Jiaxu; Kuang, Yang (2006-03-01). "Mathematical models and software tools for the glucose-insulin regulatory system and diabetes: an overview". Applied Numerical Mathematics. Selected Papers, The Third International Conference on the Numerical Solutions of Volterra and Delay Equations. 56 (3): 559–573. doi:10.1016/j.apnum.2005.04.023. ISSN 0168-9274.

[8] Salpeter, Edwin E.; Salpeter, Shelley R. (1998-02-15). "Mathematical Model for the Epidemiology of Tuberculosis, with Estimates of the Reproductive Number and Infection-Delay Function". American Journal of Epidemiology. 147 (4): 398–406. doi:10.1093/oxfordjournals.aje.a009463. ISSN 0002-9262.

[9] Kajiwara, Tsuyoshi; Sasaki, Toru; Takeuchi, Yasuhiro (2012-08-01). "Construction of Lyapunov functionals for delay differential equations in virology and epidemiology". Nonlinear Analysis: Real World Applications. 13 (4): 1802–1826. doi:10.1016/j.nonrwa.2011.12.011. ISSN 1468-1218.

[10] Gopalsamy, K. (1992). Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics. Mathematics and Its Applications. Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0792315940.

[11] Kuang, Y. (1993). Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. Mathematics in Science and Engineering. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0080960029.

[12] López, Álvaro G. (2020-09-01). "On an electrodynamic origin of quantum fluctuations". Nonlinear Dynamics. 102 (1): 621–634. arXiv:2001.07392. doi:10.1007/s11071-020-05928-5. ISSN 1573-269X.

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