관찰되지 않은 동적 효과 모델

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2018년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

동적 관측되지 않은 효과 모델은 패널 분석을 위한 계량계에 사용되는 통계적 모델이다.종속변수의 이전 값이 현재 값에 미치는 영향과 관측할 수 없는 설명 변수가 있는 것이 특징이다.

여기서 "동적"이란 종속변수의 과거사에 대한 의존성을 의미하며, 이는 보통 경제학의 "국가 의존도"를 모형화하는 데 사용된다.예를 들어, 올해 직장을 구하지 못하는 사람의 경우, 그녀의 현재의 일자리 부족이 잠재 고용주들에게 부정적인 신호가 될 것이기 때문에 내년에 일자리를 찾기가 더 어려울 것이다."관측되지 않은 효과"는 설명 변수 중 하나 또는 일부가 관찰할 수 없다는 것을 의미한다. 예를 들어, 아이스크림의 한 맛을 다른 맛보다 소비하는 것은 개인적인 선호도의 함수지만 선호도는 관찰할 수 없다.

연속 종속 변수

관측 중단 종속 변수

패널 데이터 ${\displaystyle {토비트}_{}}$ 모델에서 결과 Y ${\displaystyle i_{}}$, t ${\$이(가) 이전 결과 기록 ${\displaystyle Y_{}}$, 0${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\mathrm{Y}}_{}{}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$에 부분적으로$$ 의존하는 경우 이$$ 토비트 모델을 "동적"이라고 한다.^[1][2]예를 들어 올해 연봉이 높은 직장을 구하는 사람을 보면 올해 고임금 일자리를 갖고 있다는 사실이 잠재 고용주들에게 매우 긍정적인 신호가 될 것이기 때문에 내년에는 연봉이 높은 직장을 찾기가 더 쉬울 것이다.이러한 유형의 동적 효과의 본질은 결과의 상태 의존성이다.여기서 "관찰할 수 없는 효과"는 개인의 결과를 부분적으로 결정하지만 데이터에서 관측할 수 없는 요인을 가리킨다.예를 들어, 구직에서 사람의 능력은 매우 중요하지만, 연구자들에게는 관찰할 수 없다.관찰되지 않은 일반적인 효과 투비트 모델은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle Y_{i,t}=Y_{i,t}^{1}[Y_{i,t}>0];}$

${\displaystyle Y_{i,t}=z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i}+u_{i,t};}$

${\displaystyle c_{i}\mid y_{i,0},\ldots ,y_{i,t-1}\sim F(y_{i,0}x_{i}}});}$

${\displaystyle u_{i,t}\mid z_{i,t}y_{i,0}\ldots,y_{i,t-1}\sim N(0,1).}$

이 특정 모델에서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$- 1 ${\$은 동적 효과 부분이고$$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은 개별 i의 초기 결과와 일부 외생적 특징에 의해 분포가 결정되는 비관측 효과 부분이다.

이 설정에 따라${\displaystyle }${${\displaystyle y_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 조건으로 하는 우도 함수를 다음과 같이 지정할 수 있다$$.

${\displaystyle \prod _{i=1}^{N}\int f_{\teta }(c_{i}\mid y_{i,0},x_{i}}}\왼쪽[\prod _{t=1}^{{}}}}{{}}}}}}}{{{}^{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T}{\Bigl (}1[y_{i,t}=0][1-\Phi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}>0]{\frac {\varphi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}{\Phi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}}}{\biggr )}\오른쪽]\,dc_{i}}}$

초기 값${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle 0_{}{}_{}^{}}$} }${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$ - 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 경우 우도함수의 구성에서 이들을 처리하는 방법에는 두 가지가 있다. 즉, 이들을 상수로 취급하거나 분포를 부과하고 무조건 우도함수를 계산하는 것이다.$$그러나 우도함수의 초기값을 처리하기 위해 어떤 방법을 선택하든 최대우도추정(MLE)으로 모형을 추정할 때 우도함수 내부의 통합을 제거할 수는 없다.예상 최대값(EM) 알고리즘은 일반적으로 이 계산 문제에 대한 좋은 해결책이다.^[3]MLE의 일관된 점 추정치를 바탕으로 평균 부분효과(APE)^[4]를 그에 따라 계산할 수 있다.^[5]

이항 종속 변수

공식화

이항 종속 변수를 갖는 일반적인 동적 비관측 효과 모델은 다음과 같이 표현된다^[6].

${\displaystyle P(y_{it}=1\mid y_{i,t-1},\dots,y_{i,0},z_{i},c_{i}}=G(z_{it}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

여기서 c는_i 관측할 수 없는 설명 변수, z는_it c에_i 대한 외생적 조건인 설명 변수, G(∙)는 누적분포함수다.

모수 추정치

이러한 유형의 모델에서 경제학자들은 ρ에 특별한 관심을 가지고 있는데, ρ은 국가 의존도를 특징짓는 데 사용된다.예를 들어, y는_i,t 여성의 선택일 수 있고, z는_it i번째 개인의 나이, 교육 수준, 자녀 수 및 기타 요소들을 포함한다. c는_i 경제학자들이 관찰할 수 없는 어떤 개별적인 특정한 특성이 될 수 있다.^[7]기간 t의 노동 선택권은 습관 형성 등의 이유로 기간 t - 1의 선택에 달려야 한다는 것은 합리적인 추측이다.이러한 의존성은 변수 ρ으로 특징지어진다.

Δ와 Δ를 일관되게 추정하기 위한 여러 MLE 기반 접근법이 있다.가장 간단한 방법은 y를_i,0 비스토크스틱으로 취급하고 c가_i z와_i 독립적이라고 가정하는 것이다.그런 다음 c의_i 밀도에 대해 P(y_i,t , y , y_i,t-1 , … , y_i,0 , z_i,1i , c_i)를 통합함으로써 조건부 밀도 P(y_i,t , y , y_i,t-1 , ... , y_i,1i,0 , y , z_i)를 얻을 수 있다.${\displaystyle \underset{}{\overset{}{조건부}}}$ MLE의 목적 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다: : i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\$ 로그$$(P (y_i,t, y_i,t-1, y, …, y_i,1i,0i, z)).

y를_i,0 비스토스테틱으로 취급하는 것은 z에서 y의_i,0 독립성을_i 암묵적으로 가정한다.그러나 대부분의 현실에서 y는_i,0 c에_i 의존하고 c 또한_i z에_i 의존한다.위의 접근방식에 대한 개선은 (c_i, z_i)와_i,0 조건부 우도 P(y_i,t, y_i,t-1, y, …, y_t,1, c_i,0i, z_i)를 얻을 수 있다고 가정하는 것이다.이_ii 우도를 c 조건부 z의 밀도에 대해 통합함으로써 조건부 밀도 P(y_i,t , y , y_i,t-1 , … , y_i,1 , y z_i,0i)를 얻을 수 있다.조건부 MLE의^[8] 목적 함수는${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$is$$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\$ 로그(P (y_i,ti,t-1, y, …, y_i,1i,0, y, z)이다_i.

(Δ, ρ) 및 해당 분산의 추정치에 기초하여 계수의 값을 시험할^[9] 수 있고 평균 부분효과를 계산할 수 있다.^[10]

참조