토비트 모델

통계에서 토비트 모형은 종속 변수의 관측된 범위가 어떤 방식으로든 관측 중단되는 회귀 모형의 한 종류다.^[1] 이 용어는 아서 골드버거가 1958년 내구재에 대한 가계 지출 관측을 위한 제로 인플레이션 데이터 문제를 완화하기 위해 이 모델을 개발한 제임스 토빈을 지칭해 만든 용어다.^[2][a][3][b] 토빈의 방법은 잘린 샘플과 무작위로 선택된 다른 샘플을 다루도록 쉽게 확장될 수 있기 때문에,^[c] 일부 저자들은 이러한 경우를 포함하는 토비트 모델의 더 넓은 정의를 채택한다.^[4]

토빈의 생각은 잠재의존 변수가 결정된 임계치 이상인지 이하인지에 따라 각 관측치에 대해 불평등한 표본 추출 확률을 반영하도록 우도함수를 수정하는 것이었다.^[5] 토빈의 원래 사례에서처럼 아래에서 0으로 검열된 표본의 경우, 각 비한계 관측치에 대한 표본 추출 확률은 단순히 적절한 밀도 함수의 높이일 뿐이다. 한계 관측치의 경우 누적 분포, 즉 적절한 밀도 함수의 0 이하 적분이다. 따라서 토비트우도함수는 밀도와 누적분포함수의 혼합물이다.^[6]

우도함수

다음은 유형 I 토빗에 대한 우도 및 로그 우도함수 입니다. 잠재 변수 y ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ≤ y$$y ${\displaystyle y_{}}$ y l$${\$displaystyle y_${j$}^{*}}\leq y_{$L}}}일$$ 때 ${\displaystyle {아래}_{}}$로부터 검열되는 토빗이다$.$우도함수를 작성하면서 먼저 $지표함수{\displaystyle }$ I ${\displaystyle I}$을 정의한다$.$

${\displaystyle I(y)={\begin{case}0&{\text}{{{}y.}}y.leq y_{L},\\1&{\text{{{}y}.\end{case}}}$

$다음$으로 , ${\displaystyle \Phi}$을(를) 표준 정규 누적 분포 함수로 하고$$ $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$을(를) 표준 정규 확률 밀도 함수로 한다. 관측치가 N개인 데이터 집합의 경우 유형 I 토빗에 대한 우도 함수는

${\displaystyle {\beta,\sigma )}=\prod _{j=1}^{{{n}\{\frac {1}{\sigma }}}}\varphi \left({\frac {y_-X_{j}\}}\{j}\}\{sigma \rigma \rigma \rigma \rigma)\rigma){rigma)^{{{rigma){{{{{{I(y_{j})\좌측(1-\Phi \좌측({\frac {X_{j}\베타 -y_{{})L}{{\sigma }}\오른쪽)^{1-I(y_{j})}}$

그리고 로그 가능성은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )&=\sum _{j=1}^{n}I(y_{j})\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+(1-I(y_{j}))\log \left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}{{\sigma }}\오른쪽)\\&=\sum _{y_{j}}}y_{{}}}}{{L}\log \left({\frac {1}{\sigma }}}}}\varphi \left({\frac {y_-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)+\sum _{y_{j}=y_{{{}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{L}\log \left(\Phi \left)({\frac {y_-X_{j}\beta }{\sigma }}{\sigma }\오른쪽)\end{aigned}}}}}}$

리파라메트리징

위에서 설명한 로그 우도는 전체적으로 오목하지 않으므로 최대우도 추정을 복잡하게 한다. 올슨은 간단한 $재파라메트리지션{\displaystyle }$ β =${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta =\delta /\gamma }$ 및$$ $\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{\gamma }}^{}}$- 2 ${\$ 변환 로그 우도를 제안했다.

${\displaystyle \log{\mathcal{L}}(\delta ,\gamma )=\sum _{y_{j}}y_{{{}}}{{{}}}}}{{}}}L}}\왼쪽\{\log \gamma +\log \왼쪽[\varphi \left(\gamma y_{j}-X}\delta \right)\right\}+\sum _{y_{j}=y_{barphi}L}\log \왼쪽[\]Phi \left(\gamma y_{L}-X_{j}\delta \right)\right]}$

변환된 매개변수의 관점에서 전체적으로 오목한 것이다.^[7]

잘린(토비트 II) 모델의 경우, Orme는 로그 우도는 전체적으로 오목하지 않지만 위의 변환 아래 정지된 지점에서 오목하다는 것을 보여주었다.^[8][9]

일관성

관계 매개변수 ${\displaystyle \beta }$을(를) ${\displaystyle x_{}}$ i ${\$에 대해 $관측$된 y ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle y_{i}$를 회귀 분석하여 추정할$$ 경우, 결과 일반 최소 제곱법 추정기가 일관성이 없다$.$ 기울기 계수의 하향 편향 추정치와 절편물의 상향 편향 추정치를 산출한다. 아메미야 다케시(1973년)는 토빈이 이 모델에 대해 제시한 최대우도 추정치가 일치한다는 것을 증명했다.^[10]

해석

$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ 계수는$$ 선형 회귀 모형에서처럼 ${\displaystyle y_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에$$대한$$ ${\displaystyle x_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 효과로 해석해서는 안 된다. 이는 일반적인 오류다. 그 대신 (1) 한계 이상의 ${\displaystyle y_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 변화와 (2) 한계 이상일 확률에 의해 가중되며, 위의 경우 y$$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 기대값으로 가중되는 것으로 해석해야 한다.^[11]

토비트 모델의 변화

토비트 모델의 변형은 관측 중단이 발생하는 장소와 시기를 변경하여 생산될 수 있다. 아메미야(1985, 페이지 384)는 이러한 변동을 5가지 범주(토비트 유형 I – 토비트 유형 V)로 분류하는데, 여기서 토비트 유형 I는 위에서 설명한 첫 번째 모델을 의미한다. Schnedler(2005)는 이러한 토비트 모델 및 기타 변형에 대한 일관된 우도 추정기를 얻기 위한 일반 공식을 제공한다.^[12]

제1종

tobit 모델은 독립 변수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle y_{i}^{*}}$을(를) 관측할 수 있는$$ 동안에는 잠재 변수 $y{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${{\$$displaystyle x_{i}}}$을(를) 항상 관측할 수 없기$$ 때문에 관측 중단 회귀 모형의 특수한 경우다. 토비트 모델의 일반적인 변동은 0과 ${\displaystyle {다른}_{}}$ $값{\displaystyle {}_{}}$ y L$${\$displaystyle y_{$L}에서 관측 중단된다.

${\displaystyle y_{i}={\begin}y_{i}^{*}{*}}{{i}^{*}}}}}Y_{L}}\y_{L}&\text{{{}}}}}}}{{{y_}}}}}}}\text}}\end{case}}}$

$또{\displaystyle {}_{}}$ 다른 예는 y ${\displaystyle U_{}}$ ${\$ 이상의 값을 관측 중단하는 것이다$.$

${\displaystyle y_{i}={\begin}y_{i}^{*}&{\text{{{}}{}}{}y_{i}^{}}}}<y_{U}\y_{{}}}}}}}}U}&{\text{}if }y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{case}}}$

그러나 y ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 위와 아래에서 동시에 검열될$$ 때 다른 모델이 나타난다.

${\displaystyle y_{i}={\displaysty}y_{i}^{*}&{\text{}}}}}}}}}}}}}{{\text}}}}}}}}}L}<y_{i}^{*}}<y_{U}}}\y_{L}&{\text{{if{}y_{{}^{*}}\leq y_{L}\y_{{{}}}}}\text{{{}}}}}}}}}}}\cext{{{{}}}}}})U}&{\text{}if }y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{case}}}$

나머지 모델은 제1종과 같이 일반화할 수 있지만 0에서 아래로부터 경계로 표시된다.

타입 II

타입 II 토비트 모델은 두 번째 잠재 변수를 도입한다.^[13]

${\displaystyle y_{2i}={\preas}y_{2i}^{*}}{{{1i}^{}}}}{{{}y_{1i}^{}}}}{\text{{{{}}}}}}}{{{}}}}}\text{{}}} 0}}.\end{case}}}$

Type I tobit에서 잠재 변수는 참여 과정과 관심 결과를 모두 흡수한다. 타입 II 토빗은 관측 가능한 데이터를 조건으로 참가 과정(선택)과 관심의 결과가 독립적일 수 있도록 한다.

Heckman 선택 모델은 Type II tobit에 속하는데,^[14] 이것은 제임스 Heckman의 이름을 따서 Heckit이라고 부르기도 한다.^[15]

타입 III

타입 III는 두 번째로 관측된 종속 변수를 도입한다.

${\displaystyle y_{1i}={\preas}y_{1i}^{*}}{{1}{{1i}^{}}}}}}{{{{1}i}^{{\text{}}}}}}}}}}}}{{{{{}}}}}}}{{\text}0&#{{{{}}}}0&}}}}}}}}}}}.\end{case}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\preas}y_{2i}^{*}}{{{1i}^{}}}}{{{}y_{1i}^{}}}}{\text{{{{}}}}}}}{{{}}}}}\text{{}}} 0}}.\end{case}}}$

Heckman 모델은 이 타입에 속한다.

IV형

유형 IV는 세 번째로 관측된 종속변수와 세 번째 잠재변수를 도입한다.

${\displaystyle y_{1i}={\preas}y_{1i}^{*}}{{1}{{1i}^{}}}}}}{{{{1}i}^{{\text{}}}}}}}}}}}}{{{{{}}}}}}}{{\text}0&#{{{{}}}}0&}}}}}}}}}}}.\end{case}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\preas}y_{2i}^{*}}{{{1i}^{}}}}{{{}y_{1i}^{}}}}{\text{{{{}}}}}}}{{{}}}}}\text{{}}} 0}}.\end{case}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\displaysty}y_{3i}^{**}{1}{1i}^{}}{{{1i}^{}}\y_{0&}\text{{{{}}}}}}}}}\end{case}}}$

V타입

타입 II와 마찬가지로 타입 V에서는 y ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 기호만 관찰된다$$.

${\displaystyle y_{2i}={\preas}y_{2i}^{*}}{{{1i}^{}}}}{{{}y_{1i}^{}}}}{\text{{{{}}}}}}}{{{}}}}}\text{{}}} 0}}.\end{case}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\displaysty}y_{3i}^{*}}{{1i}^{}}}{{{1i}^{}}}}{{{\text}{{{{}}}}}}0&{{{}}}}}}}}0&gt;{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}0&gt;\end{case}}}$

비모수 버전

만약 기저 잠재 변수 ${\displaystyle {yi}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$이(^[16]가) 정규 분포를 따르지$$ 않는다면, 관측 가능한 변수 ${\displaystyle y_{}}$ i ${\$를 분석하는 순간 대신 정량량을 사용해야 한다$.$ 파월의 CLAD 추정기는 이를 달성할 수 있는 가능한 방법을 제공한다.

적용들

예를 들어, 토비트 모델은 보조금 수령에 영향을 미치는 요인 추정에 적용되었으며, 여기에는 이러한 보조금을 신청할 수 있는 하위 국가 정부로 분배되는 재정 이전을 포함한다. 이 경우, 보조금 수령자는 마이너스 금액을 받을 수 없으며, 따라서 데이터는 좌측 관측 중단된다. 예를 들어 달버그와 요한슨(2002)은 ^[17]115개 자치구의 표본(이 중 42개가 보조금을 받았다)을 분석한다. 두부아·팻토어(2011년)^[18]는 토비트 모델을 활용해 폴란드 하위 국가 정부를 적용해 유럽연합(EU) 기금 수령에서 다양한 요인의 역할을 조사한다. 그러나 데이터는 0보다 높은 지점에서 잘못 지정될 위험이 있는 좌측 관측 중단될 수 있다. 두 연구 모두 프로빗과 다른 모델을 적용하여 건전성을 확인한다. 일부 상품에 대한 지출이 0인 관측을 수용하기 위해 수요 분석에도 토비트 모델이 적용되었다. 토비트 모델의 관련 적용에서, 비선형 토비트 퇴행 모델 시스템은 균질화, 이형화 및 일반화된 이형화 변형을 가진 브랜드 수요 시스템을 공동으로 추정하기 위해 사용되어 왔다.^[19]

참고 항목

• 잘린 정규 장애물 모델
• 제한 종속 변수
• 정류기(신경망)
• 잘린 회귀 모형
• 동적 관측 중단 효과 모델 § 관측 중단 종속 변수
• 프로빗 모델, 토빗이라는 이름은 그들의 창조자인 토빈과 그들의 프로빗 모델과 유사점을 모두 조롱한 것이다.

메모들

참조

추가 읽기

• Amemiya, Takeshi (1985). "Tobit Models". Advanced Econometrics. Oxford: Basil Blackwell. pp. 360–411. ISBN 0-631-13345-3.
• Breen, Richard (1996). "The Tobit Model for Censored Data". Regression Models : Censored, Samples Selected, or Truncated Data. Thousand Oaks: Sage. pp. 12–33. ISBN 0-8039-5710-6.
• Gouriéroux, Christian (2000). "The Tobit Model". Econometrics of Qualitative Dependent Variables. New York: Cambridge University Press. pp. 170–207. ISBN 0-521-58985-1.
• King, Gary (1989). "Models with Nonrandom Selection". Unifying Political Methodology : the Likehood Theory of Statistical Inference. Cambridge University Press. pp. 208–230. ISBN 0-521-36697-6.
• Maddala, G. S. (1983). "Censored and Truncated Regression Models". Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. New York: Cambridge University Press. pp. 149–196. ISBN 0-521-24143-X.