아이겐벡터 중심성

그래프 이론에서 고유 벡터 중심성(eigenvector centrality 또는 pregence core^[1])은 네트워크에서 노드의 영향을 측정하는 척도다. 상대 점수는 점수가 높은 노드에 대한 연결은 점수가 낮은 노드에 대한 동일한 연결보다 해당 노드의 점수에 더 많은 기여를 한다는 개념에 기초하여 네트워크의 모든 노드에 할당된다. 고유 벡터 점수가 높다는 것은 노드 자체가 높은 점수를 갖는 많은 노드에 노드가 연결되어 있다는 것을 의미한다.^{[2] [3]}

구글의 페이지랭크와 캣츠 중심성은 고유 벡터 중심성의 변형이다.^[4]

인접 행렬을 사용하여 고유 벡터 중심성 찾기

For a given graph ${\displaystyle G:=(V,E)}$ with ${\displaystyle V }$ vertices let ${\displaystyle A=(a_{v,t})}$ be the adjacency matrix, i.e. ${\displaystyle a_{v,t}=1}$ if vertex ${\displaystyle v}$ is linked to vertex ${\displaystyle t}$, and $$${\displaystyle v_{}}$ ,${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a_{v,t}=0}$ 이외의 경우$$. 정점 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 상대적 중심점수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$$v}$는 다음과 같이 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle x_{v}={\frac {1}{\lambda }}}\sum _{t\in M(v)_{t}={\frac {1}{\lambda }}}}}={t\in V}a_{v,t}x_{t}}}}}}}sum.$

여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle (v}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle M(v)}$은 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 인접 집합이고$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은 상수임$$. 작은 재배열로 이것은 고유벡터 방정식으로 벡터 표기법으로 다시 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\lambda \mathbf {x} }$

일반적으로 0이 아닌 고유 벡터 용액이 존재하는$$ 여러 가지 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 있을 것이다. 그러나 고유 벡터의 모든 항목이 음성이 아니라는 추가 요건은 (페론-프로베니우스 정리에 의해) 가장 큰 고유값만이 원하는 중심성 측정에 귀결된다는 것을 암시한다.^[5] 그런 다음 관련 고유 벡터의 v ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$v^{\$text{th}}$ 구성$$ 요소는 네트워크에서$$ 정점 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 상대적 중심성 점수를 제공한다. 고유 벡터는 공통 인자까지만 정의되므로 정점의 중심 비율만 잘 정의된다. 절대 점수를 정의하려면 고유 벡터를 정규화해야 한다. 예를 들어, 모든 정점에 대한 합이 1 또는 정점 수 n이 되도록 해야 한다. 전력 반복은 이 지배적인 고유 벡터를 찾는 데 사용될 수 있는 많은 고유값 알고리즘 중 하나이다.^[4] 또한, 이것은 일반화 될 수 있어 A의 입력은 확률적 매트릭스처럼 연결 강도를 나타내는 실제 숫자가 될 수 있다.

정규화된 고유 벡터 중심점수

구글의 페이지랭크는 표준화된 고유벡터 중심성, 즉 평준화된 위신을 무작위 점프 가정과 결합한 것이다.^[1] 노드 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 PageLank는 이를 가리키는 다른 노드의 PageLank에 반복적으로 의존한다$$. 정규화된 인접 행렬 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은(는) 다음과 같이 정의된다.

여기서 $o{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ (${\displaystyle u}$ ) ${\displaystyle od(u)}$은(는) 노드 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$의 아웃도 또는 벡터 형식:

${\displaystyle \mathbf{N}}$= ${\displaystyle d\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{i}}$ ${\displaystyle \mathbf{a}}$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathbf{A}}$ ${\displaystyle e\mathbf{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ ${\$

여기서 $e{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {e}$은$($는) 하나의 벡터이고 $d{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{i}}$ ${\displaystyle \mathbf{a}}$ ${\displaystyle \mathbf{g}(}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {diag}(\mathbf${$x$$})$은 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ x ${\$$displaysty \mathbf$$${n$}$의 대각 행렬이다$.$

정규화된 고유 벡터 프레스티지 점수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle p(v)=\sum _{{u}{N^{T}(v,u)\cdot p(u)}}}$

또는 벡터 형태로,

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {N} ^{T}\mathbf {p} .}$

적용들

고유 벡터 중심성은 노드가 네트워크에 미치는 영향의 척도다. 노드가 많은 노드(또한 고유 벡터 중심성이 높음)^[6]로 가리킬 경우, 그 노드는 고유벡터 중심성이 높을 것이다.

고유 벡터 중심성의 가장 초기 사용은 1895년 체스 토너먼트 채점에 관한 논문에서 에드먼드 랜도에 의해 사용되었다.^[7][8]

더 최근에, 많은 분야의 연구자들은 다양한 영역에서 고유 벡터 중심성의 응용 프로그램, 발현 및 확장을 분석하였다.

• 고유 벡터 중심성은 순위 시스템에 대한 특정 자연 공리를 만족하는 유일한 척도다.^[9][10]
• 신경과학에서 모델 신경망에서 뉴런의 고유벡터 중심성은 상대 발화율과 상관관계가 있는 것으로 밝혀졌다.^[6]
• Eigenvector 중심성과 관련 개념은 DeGroot 학습 모델에서와 같이 사회학과 경제학에서 의견 영향력을 모형화하는 데 사용되었다.
• 고유 벡터 중심성의 정의는 멀티플렉스 또는 다계층 네트워크로 확장되었다.^[11]
• 필리핀의 자료를 이용한 연구에서, 연구원들은 정치 후보자들의 가족들이 어떻게 지역 간 결혼 네트워크에서 불균형적으로 높은 고유 벡터 중심성을 가지고 있는지를 보여주었다.^[12]
• 고유벡터 중심성은 사회관계망에서의 협력을 포함한 경제적 결과 연구에 광범위하게 적용되어 왔다.^[13] 경제적 공공재 문제에서 개인의 고유 벡터 중심성은 그 개인의 선호도가 효율적인 사회적 결과에 얼마나 영향을 미치는지로 해석할 수 있다.^[14]

참고 항목

• 중심성

참조