고유값 알고리즘

수치 분석에서 가장 중요한 문제 중 하나는 행렬의 고유값을 찾기 위한 효율적이고 안정적인 알고리즘을 설계하는 것이다.이러한 고유값 알고리즘은 고유 벡터를 찾을 수도 있다.

고유값 및 고유 벡터

실제 또는 복잡한 숫자의 n × n 제곱 행렬 A가 주어진 경우, 고유값 λ과 관련 일반화된 고유 벡터 v는 관계를^[1] 준수하는 쌍이다.

$왼쪽(A-\lambda I\오른쪽)^{k}{\mathbf {v} }=0,}$

여기서 v는 nonzero n × 1 열 벡터, I는 n × n ID 매트릭스, k는 양의 정수, positive과 v는 모두 A가 실제일 때에도 복잡하게 허용된다.k = 1일 때 벡터를 단순히 고유벡터라고 하고, 쌍을 고유페어라고 한다.이 경우, Av = vv.A의 모든 고유값 λ은 일반적인^{[note 1]} 고유 벡터를 가지고 있는데, k가 일반화된 고유벡터 v에 대해 (A - λI)^k v = 0인 최소 정수라면, (A - λI)^k−1 v는 일반 고유벡터인 것이다.k 값은 항상 n보다 작거나 같은 값으로 취할 수 있다.특히 (A - λI)ⁿ v = λ과 연관된 모든 일반화된 고유 벡터 v에 대해 0이다.

A의 각 고유값 λ에 대해 커널 ker(A - λI)는 λ과 연관된 모든 고유 벡터(0과 함께)로 구성되며, 벡터 공간 ker(A - λI)ⁿ는 모든 일반화된 고유 벡터로 구성되며, 일반화된 eigenspace라고 불린다.λ의 기하학적 다중성은 그 eigenspace의 치수다.λ의 대수적 다중성은 그 일반화된 eigenspace의 치수다.후자의 용어는 방정식으로 정당화된다.

${\displaystyle p_{A}\왼쪽(z\오른쪽)=\\det \left(zI-A\오른쪽)=\prod _{i=1}^{k}(z-\lambda _{i}^{\alpha _{i},}$

여기서 det는 결정함수, λ은_i 모두 A의 구별되는 고유값이고 α는_i 해당 대수적 승수다.함수 p_A(z)는 A의 특성 다항식이다.그래서 대수적 다항성은 특성 다항식의 0으로서 고유값의 다중성이다.어떤 고유 벡터도 일반화된 고유 벡터이기 때문에 기하학적 다중성은 대수적 다중성보다 작거나 같다.대수적 승수는 특성 다항식의 정도인 n까지 합한다.그_A 뿌리가 정확히 A의 고유값이기 때문에 p(z) = 0 등식을 특성 방정식이라고 한다.그 Cayley–Hamilton 정리까지, A그 자체 그 결과, 매트릭스 ∏의 나는 ≠는 열을 j(A− λ 난)α 나는{\textstyle \prod_{i\neq j}(A-\lambda_{나는}나는)^{\alpha_{나는}}}해야 하는 고유 값 λj의 0또는 일반적인 값, 그들이에 의해 전멸된다(− λ 같은 방정식:pA(A)-0.[주 2]에게 효도했다. jI)${\displaystyle {{\alpha }_{}}^{}}$ ${\displaystyle {j_{}}^{}}$ ${\$ 실제로 기둥 공간은 λ의_j 일반화된 에겐스페이스다.

구별되는 고유값의 일반화된 고유 벡터의 집합은 선형적으로 독립적이므로, C의ⁿ 모든 기초는 일반화된 고유 벡터로 구성될 수 있다.특히 이 기준 {v_i}ⁿ
_i=1을(를) 선택하고 구성하여 다음과 같이 할 수 있다.

• v와_i v가_j 동일한 고유값을 갖는 경우, i와 j 사이의 각 k에 대해 v와_k v가 동일한 고유값을 갖는 경우,
• v가_i 일반적인 고유 벡터가 아닌 경우, 그리고 λ이_i 그 고유값인 경우, (A_i - vI_i)v = v_i−1(특히 v는₁ 일반 고유벡터여야 한다.)

만약 이러한 기본 벡터를 행렬 V = [v₁ v₂ ⋯ v_n]의 열 벡터로 배치한다면, V를 사용하여 A를 요르단 정상 형태로 변환할 수 있다.

${\displaystyle V^{-1}AV={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\beta _{1}&0&\ldots &0\\0&\lambda _{2}&\beta _{2}&\ldots &0\\0&0&\lambda _{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &\lambda _{n}\end{bmatrix}},}$

여기서 λ은_i 고유값이고, (A - λ_i+1)v_i+1 = v_i, β_i = 0인 경우에는 β_i = 1이다.

보다 일반적으로 W가 어떤 반전성 행렬이고, and이 일반화된 고유 벡터 v를 가진 A의 고유값이라면, (WAW⁻¹ - λI)^k Wv^−k = 0이다.따라서 λ은 일반화된 고유벡터 Wv를^−k 가진 WAW의⁻¹ 고유값이다.즉, 유사한 행렬은 동일한 고유값을 갖는다.

정규, 은둔자 및 실제 대칭 행렬

복합행렬 M의 보조행렬 M은^* M: M = M의 결합체의 전치현이다. 보조행렬 A는 그것의 보조행렬인 AA^* = AA와^* 교감하면 정상행렬이라고 불린다.그것은 그것의 부름과 같다면 은둔자라고 불린다.A^* = A. 모든 은둔자 행렬은 정상이다.A가 실제 원소만 가지고 있다면 조정은 전치일 뿐이고, A는 대칭인 경우에만 은둔자일 뿐이다.열 벡터에 적용할 때, 조정기를 사용하여 Cⁿ: w w v = w v^*.^{[note 3]} Normal, Emitherian 및 실제 대칭 행렬에는 다음과 같은 몇 가지 유용한 속성이 있다.

• 정상 행렬의 모든 일반화된 고유 벡터는 일반 고유 벡터다.
• 모든 정규 행렬은 대각 행렬과 유사하다. 왜냐하면 조던의 정규 형태는 대각 행렬이기 때문이다.
• 정규 행렬의 고유값 고유값의 고유 벡터는 직교한다.
• 정규 행렬의 null 공간과 영상(또는 열 공간)은 서로 직교한다.
• 모든 정규 행렬 A에 대해 C는ⁿ A의 고유 벡터로 구성된 정사각형 기초를 가지고 있다.고유 벡터의 해당 행렬은 단일하다.
• 0이 아닌 고유 벡터 v의 경우 (λ - λ)v = (A^* - A)v = (A - A)v = (A - A)v = 0이기 때문에 은둔자 행렬의 고유값은 실제 값이다.
• A가 진짜인 경우, A가 대칭인 경우에만 A의 고유 벡터로 구성된 R에ⁿ 대한 직교 기준이 있다.

실제 또는 복잡한 행렬이 은둔자가 되지 않고 모든 실제 고유값을 갖는 것은 가능하다.예를 들어, 실제 삼각형 행렬은 대각선을 따라 고유값을 가지지만 일반적으로 대칭은 아니다.

조건번호

숫자 계산의 모든 문제는 일부 입력 x에 대한 일부 함수 f의 평가로 볼 수 있다.문제의 조건 번호 κ(f, x)은 함수 출력의 상대적 오류 대 입력의 상대적 오류의 비율이며, 함수 및 입력 모두에 따라 달라진다.조건 번호는 계산 중에 오차가 커지는 방법을 설명한다.그것의 베이스-10 로그는 입력에 존재하는 것보다 결과에 존재하는 정확도의 자릿수가 얼마나 적은지 알려준다.조건 번호는 최상의 시나리오다.어떻게 해결되든 문제 속에 내재된 불안정성을 반영한다.우연한 경우를 제외하고 어떤 알고리즘도 조건 번호로 지시된 것보다 더 정확한 결과를 산출할 수 없다.그러나 제대로 설계되지 않은 알고리즘은 훨씬 더 나쁜 결과를 초래할 수 있다.예를 들어, 아래에 언급된 것처럼, 일반 행렬에 대한 고유값을 찾는 문제는 항상 잘 갖춰져 있다.그러나 다항식의 뿌리를 찾는 문제는 매우 불리한 조건일 수 있다.따라서 특성 다항식의 뿌리를 찾아 작용하는 고유값 알고리즘은 문제가 아닐 때에도 조건이 좋지 않을 수 있다.

A가 변위할 수 없는 선형 방정식 Av = b를 푸는 문제에 대해 조건 번호 ,(A⁻¹, b)은 A에⁻¹ 의해 주어지며, 여기서 C의ⁿ 정상 유클리드 규범에 종속된 연산자 규범이다_op.이 숫자는 b와 독립적이며 A와 동일하기⁻¹ 때문에 보통 A 행렬의 조건 번호 κ(A)로 불린다.이 값 κ(A)은 A의 가장 큰 고유값과 가장 작은 값의 비율의 절대값이기도 하다.A가 단일하면 A = A = 1이므로⁻¹ κ(A) = 1. 일반 행렬의 경우 연산자 규범을 계산하기 어려운 경우가 많다.이러한 이유로, 다른 행렬 규범들은 일반적으로 조건 번호를 추정하는데 사용된다.

고유치 문제의 경우, Bauer와 Fike는 λ이 eigenvector 매트릭스 V와 함께 대각선으로 가능한 n × n 매트릭스 A에 대한 고유치인 경우, λ 계산의 절대 오차는 ((V)의 곱과 A의 절대 오차에 의해 제한된다는 것을 증명했다.^[2]그 결과 λ을 발견하기 위한 조건 번호는 κ(,, A) = v(V) = V V._op A가 정상이면 v(λ, A) = 1. 따라서 모든 정상 행렬에 대한 고유값 문제는 잘 조건화되어 있다.

고유값 λ에 해당하는 정상 행렬 A의 고유공간을 찾는 문제에 대한 조건 번호는 λ과 A의 다른 고유값 사이의 최소 거리에 반비례하는 것으로 나타났다.^[3]특히 정상 행렬의 아이겐스페이스 문제는 격리된 고유값에 대해 잘 조건화되어 있다.고유값이 격리되지 않은 경우, 가장 좋은 것은 인근 고유값의 모든 고유 벡터의 범위를 식별하는 것이다.

알고리즘

모노믹 다항식은 동반행렬의 특징적인 다항식이다.따라서 고유값을 찾기 위한 일반 알고리즘은 다항식의 뿌리를 찾기 위해 사용될 수도 있다.아벨-루피니 정리는 4보다 큰 치수에 대한 어떤 알고리즘도 무한해야 하며, 또는 기초 산술 연산 및 분율 힘보다 더 복잡한 함수를 포함해야 한다는 것을 보여준다.이러한 이유로 한정된 수의 스텝에서 고유값을 정확하게 계산하는 알고리즘은 소수의 특별한 행렬에 대해서만 존재한다.일반 행렬의 경우 알고리즘은 반복적이며, 각 반복을 통해 더 나은 대략적인 해결책을 도출한다.

어떤 알고리즘은 모든 고유값을 생성하며, 다른 알고리즘은 몇 개 또는 한 개만 생성한다.그러나 후자의 알고리즘도 모든 고유값을 찾는 데 사용할 수 있다.일단 매트릭스 A의 고유값 λ이 확인되면, 다음 번에는 알고리즘을 다른 솔루션으로 유도하거나, 더 이상 λ이 솔루션으로 존재하지 않는 것으로 문제를 줄이는 데 사용할 수 있다.

리디렉션은 대개 A를 일정한 μI에 대해 A - μI로 대체함으로써 이루어진다.A - μI에 대해 발견된 고유값은 A에 대한 고유값을 얻으려면 μ를 다시 추가해야 한다.예를 들어, 전력 반복의 경우 μ = μ. 전력 반복은 절대값에서 가장 큰 고유값을 찾기 때문에 λ이 근사적인 고유값일 경우에도 전력 반복은 이를 두 번째로 발견할 가능성이 낮다.반대로 역반복 기반 방법은 가장 낮은 고유값을 찾으므로 μ는 λ에서 훨씬 멀리 떨어져서 선택되고 바라건대 다른 고유값에 더 가깝게 선택된다.

A가 스스로 운반하는 매트릭스 A - ofI의 컬럼 공간에 A를 제한함으로써 감소를 달성할 수 있다.A - λI는 단수이므로 열 공간의 치수가 적다.그런 다음 고유값 알고리즘을 제한된 행렬에 적용할 수 있다.이 과정은 모든 고유값이 발견될 때까지 반복될 수 있다.

고유값 알고리즘이 고유 벡터를 생성하지 않는 경우 공통적으로 μ가 고유값에 가까운 근사치로 설정된 역반복 기반 알고리즘을 사용한다.이것은 μ에 가장 가까운 고유값의 고유 벡터로 빠르게 수렴될 것이다.작은 행렬의 경우 다른 고유값 λ'에 대한 A - λ'I 제품의 열 공간을 살펴보는 것이 대안이다.

정상 행렬의 단위 고유 벡터 성분의 규범에 대한 공식은 1966년 로버트 톰슨에 의해 발견되었고 다른 몇몇 사람들에 의해 독립적으로 재발견되었다.^{[4][5][6][7][8]} If A is an ${\textstyle n\times n}$ normal matrix with eigenvalues λ_i(A) and corresponding unit eigenvectors v_i whose component entries are v_i,j, let A_j be the ${\textstyle n-1\times n-1}$ matrix obtained by removing the i-th row and column from A, and let λ_k(A_j) be its k-th eigenvalue.그러면

$${\displaystyle v_{i,j} ^{2}\prod _{k=1,k\neq i}^{n}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))=\prod _{k=1}^{n-1}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{j}))}$$

$p{\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$가 $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ j$${\$displaystyle A_{j$의 특징적인 다항식인 경우$$ 공식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$${\displaystyle v_{i,j} ^{2}={\frac {p_{j}(\lambda _{i}(A))}{p'(\lambda _{i}(A)))}}}$$

파생상품 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle \lambda _{i}(A)}$에서 0이 아니라고$$ 가정한다$.$

헤센베르크와 3각형 행렬

삼각형 행렬의 고유값은 대각선 원소이기 때문에 일반 행렬의 경우 고유값을 보존하면서 행렬을 삼각형 형태로 변환하는 가우스 제거와 같은 유한한 방법이 없다.그러나 삼각형에 가까운 어떤 것에 도달하는 것은 가능하다.상부 헤센버그 행렬은 대각선 아래 모든 입력이 0인 정사각형 행렬이다.하한 헤센베르크 행렬은 초대각선 위의 모든 입력이 0인 행렬이다.상하의 헤센베르크 행렬은 삼지각이다.Hessenberg와 3각형 행렬은 0 항목으로 문제의 복잡성을 줄이기 때문에 많은 고유값 알고리즘의 출발점이다.일반 행렬을 동일한 고유값을 갖는 헤센베르크 행렬로 변환하기 위해 일반적으로 몇 가지 방법이 사용된다.만약 원래의 행렬이 대칭이거나 에르미타인이라면, 그 결과로 생긴 행렬은 삼두각형이 될 것이다.

고유값만 필요한 경우에는 변환된 행렬이 동일한 고유값을 가지므로 유사성 행렬을 계산할 필요가 없다.고유 벡터도 필요할 경우 헤센베르크 행렬의 고유 벡터를 원래 행렬의 고유 벡터로 다시 변환하기 위해 유사 매트릭스가 필요할 수 있다.

대칭 3지각 고유값 문제의 경우 모든 고유값(유전 벡터 미포함)은 특성 다항식에 대한 이분법을 사용하여 O(n log(n)) 시간에 수치로 계산할 수 있다.^[10]

반복 알고리즘

반복 알고리즘은 고유값으로 수렴되는 시퀀스를 생성하여 고유값 문제를 해결한다.또한 일부 알고리즘은 고유 벡터로 수렴되는 벡터의 시퀀스를 생성하기도 한다.가장 일반적으로 고유값 시퀀스는 삼각형 또는 대각선 형태로 수렴되는 유사한 행렬의 시퀀스로 표현되므로 고유값을 쉽게 읽을 수 있다.고유 벡터 시퀀스는 해당 유사성 행렬로 표현된다.

직접계산

일반 행렬의 고유값을 직접 계산하는 간단한 알고리즘은 없지만, 고유값을 직접 계산할 수 있는 행렬의 특수한 등급은 수없이 많다.여기에는 다음이 포함된다.

삼각 행렬

삼각형 행렬의 결정요인은 대각선 입력의 산물이므로 T가 삼각형이면 $\underset{}{det}$ ($\lambda$ $I$- T$$)$$= $\underset{}{}$ i ($\underset{}{}$∏$$- $T_{}$ $i_{}$ $){\text$ style $\det(\lambda I-T)=\prod _$$i}(\lambda -T_{i}).$따라서 T의 고유값은 대각선 입력값이다.

인자형 다항식

p가 어떤 다항식이고 p(A) = 0이면 A의 고유값도 같은 방정식을 만족한다.만약 p가 알려진 인자를 가지고 있다면, A의 고유값은 그 뿌리 사이에 있다.

예를 들어, 투영은 P² = P를 만족하는 제곱 행렬 P이다.해당 스칼라 다항 방정식의 뿌리인 λ² = λ은 0과 1이다.따라서 모든 투영에는 고유값에 대한 0과 1이 있다.고유값으로서의 0의 곱셈은 P의 무효인 반면, 1의 곱셈은 P의 등급이다.

또 다른 예는 일부 스칼라 α에 대해 A² = αI를² 만족하는 행렬 A이다.고유값은 ±α여야 한다.투영 연산자

${\displaystyle P_{+}={\frac {1}{1}{2}}\왼쪽(I+{\frac {A}{\alpha }}\오른쪽)}$

${\displaystyle P_{-}={\frac {1}{2}}\왼쪽(I-{\frac {A}{\alpha }}\오른쪽)}$

만족시키다

${\displaystyle AP_{+}=\alpha P_{+}\quad AP_{-}=-\alpha P_{-}}}$

그리고

${\displaystyle P_{+}P_{+}=P_{+}}={-}{-}P_{-}}=P_{-}}\quad P_{+}={-}P_{-}{-}P_{-}}=0.}$

P와₊ P의₋ 열 공간은 각각 +α와 -α에 해당하는 A의 에겐스페이스다.

2×2 행렬

치수 2 ~ 4의 경우, 고유값을 찾는 데 사용할 수 있는 활성산소와 관련된 공식들이 존재한다.2×2 행렬과 3×3 행렬의 일반적인 관행과 4×4 행렬의 경우, 루트 공식의 복잡성이 증가함에 따라 이 접근방식이 덜 매력적이게 된다.

2×2 행렬의 경우

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix},}$

특성 다항식은

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{bmatrix}}=\lambda ^{2}\,-\,\left(a+d\right)\lambda \,+\,\left(ad-bc\right)=\lambda ^{2}\,-\,\lambda \,{\rm {tr}}(A)\,+\,\det(A).}$

따라서 고유값은 2차 공식을 사용하여 확인할 수 있다.

${\displaystyle \lambda ={\frac {{\rm {tr}(A)\pm {{\sqrt {{tr}^{2}(A)-4\det(A)}{2}}{2}}}.}$

$\mathrm{g}$ $\mathrm{a}$ ($A$)$$= t $\sqrt{{\mathrm{r}}^{}}$ $\sqrt{2^{\mathrm{}}}$($\sqrt{}$A$\sqrt{}$) - $\sqrt{4}$ $\sqrt{det}$($\sqrt{A}$ )$textstyle {\rm {gap}\좌측(A\right)={\sqrt {{tr}^{2}(A)-4\det(A)}}}}}}}$을(를) 두 고유값 사이의 거리로$$ 정의하면 계산이 간단하다.

${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {a-d}{{\rm {gap}}(A)}}\right),\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {\pm c}{{\rm {gap}}(A)}}}$

c와 d의 공식이 유사하다.이로부터 고유값을 분리할 경우 계산이 잘 조건화된다.

아이겐벡터는 케이리-해밀턴의 정리를 이용하여 찾을 수 있다.λ₁, λ이₂ 고유치라면 (A - λI₁)(A - λI₂) = (A - λI₂)(A - λI₁) = 0이므로 (A - λI₂)의 열은 (A - λI₁)에 의해 소멸되고 그 반대도 된다.어느 행렬도 0이 아니라고 가정할 때 각 행렬의 열에는 다른 고유값에 대한 고유 벡터가 포함되어야 한다.(한 행렬이 0이면 A는 정격의 배수이고 0이 아닌 벡터는 고유 벡터인 경우)

예를 들어, 다음과 같이 하자.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&3\\-2&-3\end{bmatrix},}$

그러면 tr(A) = 4 - 3 = 1이고 det(A) = 4(-3) - 3(-2) = -6이므로 특성 방정식은

${\displaystyle 0=\displayda ^{2}-\disda -6=(\displayda -3)(\displayda +2),}$

고유값은 3과 -2이다.지금

$(\디스플레이 스타일I={\begin{bmatrix}1&3\\-2&-6\end{bmatrix},\qquad A+2I={\begin{bmatrix}6&3\\-2&-1\end{bmatrix}.}$

두 행렬에서 열은 서로 배수가 되므로 어느 한 열을 사용할 수 있다.따라서 (1, -2)는 고유값 -2와 연관된 고유 벡터로, (3, -1)는 고유값 3과 연관된 고유 벡터로, A로 곱하여 확인할 수 있다.

3×3 행렬

대칭 3×3 행렬 A의 특성 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \det \left(\alpha I-A\right)=\alpha ^{3}-\alpha ^{2}{\rm {tr}}(A)-\alpha {\frac {1}{2}}\left({\rm {tr}}(A^{2})-{\rm {tr}}^{2}(A)\right)-\det(A)=0.}$

이 방정식은 Cardano나 Lagrange의 방법을 사용하여 해결할 수 있지만, A로 어핀을 변경하면 표현이 상당히 단순해지고, 직접 삼각법으로 이어진다.A = pB + qI이면 A와 B는 동일한 고유 벡터를 가지며, α = pβ + q가 A의 고유값인 경우에만 β가 B의 고유값이다.Letting ${\textstyle q={\rm {tr}}(A)/3}$ and ${\textstyle p=\left({\rm {tr}}\left((A-qI)^{2}\right)/6\right)^{1/2}}$, gives

$\det \left(\beta I-B\right)=\beta ^{3}-3\beta -\det(B)=0.}$

대체 β = 2cos cos과 ID cos 3 cos = 4cos³ θ - 3cos θ을 사용한 일부 단순화는 등식을 cos 3 3 = det(B) / 2로 줄인다.

${\displaystyle \beta =2{\cos }\왼쪽({\frac {1}{1}{3}}{\arccos }{3}}}\frac {2k\pi }{3}\right)+{\frac {3}}\quad k=0,1,2.}$

det(B)가 복잡하거나 절대값이 2보다 크면 k의 세 가지 값 모두에 대해 동일한 분기를 따라 아크코신을 취해야 한다.이 문제는 A가 실제적이고 대칭적이어서 다음과 같은 간단한 알고리즘이 생성될 때 발생하지 않는다.^[15]

% 실제 대칭 3x3 행렬 A를 주어진 경우, (p1 == 0) %가 대각선인 경우, acos와 cos가 라디안 p1 = A(1,2)^2 + A(1,3)^2의 각도에서 작동한다는 고유값 % 참고.Eig1)A(1,1)eig2)A(2,2)eig3)A(3,3) 다른 모든 대각선 값 p2의q)trace(A)/3%trace(A)의 합)(A(1,1)-q)^2+(A(2,2)-q)^2+(A(3,3)-q)^2+2*p1p)sqrt(p2/6)B)(1/p)*(A-qI)%는 단위 행렬 r)det(B)정확한 산술에서 대칭 행렬)<>에/2%;)r<>=1%였지만 계산 실수를 범하다.또는 can leave it slightly outside this range.  if (r <= -1)   phi = pi / 3  elseif (r >= 1)  phi = 0  else  phi = acos(r) / 3  end  % the eigenvalues satisfy eig3 <= eig2 <= eig1  eig1 = q + 2 * p * cos(phi)  eig3 = q + 2 * p * cos(phi + (2*pi/3))  eig2 = 3 * q - eig1 - eig3 % since trace(A) = eig1 + eig2 + eig3 end

다시 한 번, A의 고유 벡터는 케이리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton 정리)에 의지해 얻을 수 있다.α₁, α₂, α가₃ A의 구별되는 고유값이라면 (A - αI₁)(A - αI₂)(A - αI₃) = 0. 따라서 이들 두 행렬 중 어느 한 행렬의 곱의 열에는 세 번째 고유값에 대한 고유 벡터가 포함될 것이다.However, if α₃ = α₁, then (A − α₁I)²(A − α₂I) = 0 and (A − α₂I)(A − α₁I)² = 0. Thus the generalized eigenspace of α₁ is spanned by the columns of A − α₂I while the ordinary eigenspace is spanned by the columns of (A − α₁I)(A − α₂I).α의₂ 일반적 Eigenspace는 (A - αI₁)의 열로 확장된다.²

예를 들어 보자.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&6\\2&6\2&5\\\-2&1&-4\end{bmatrix}}.}$

특성 방정식은

${\displaystyle 0=\data ^{3}-\data ^{2}-\data +1=(\displayda -1)^{2}(\displayda +1),}$

고유 값 1(다중성 2) 및 -1을 포함.계산 중,

${\displaystyle A-I={\begin{bmatrix}2&&6\\\2&1&5\\\-2&1&-5\end{bmatrix}},\qquad A+I={\begin{bmatrix}4&6\2&6\2&3&5\\\-2&1&-3\end{bmatrix}}}$

그리고

${\displaystyle (A-I)^{2}={\begin{bmatrix}-4&0&-8\\-4&0&-8\\4&0&8\end{bmatrix}},\qquad (A-I)(A+I)={\begin{bmatrix}0&4&4\\0&2&2\\0&-2&-2\end{bmatrix}}}$

Thus (−4, −4, 4) is an eigenvector for −1, and (4, 2, −2) is an eigenvector for 1. (2, 3, −1) and (6, 5, −3) are both generalized eigenvectors associated with 1, either one of which could be combined with (−4, −4, 4) and (4, 2, −2) to form a basis of generalized eigenvectors of A.일단 발견되면, 필요한 경우 고유 벡터를 정규화할 수 있다.

정상 3×3 행렬의 고유 벡터

3×3 $매트릭스{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이(가) 정상이면$$ 교차 제품을 사용하여 고유 벡터를 찾을 수 있다.$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가$)$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle A}$$}$의 고유값인 경우$$, $A{\displaystyle }$- ${\displaystyle \lambda }$ I ${\displaystyle A-\lambda$ I$}$의 null 공간이 수직인 경우$$, A -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystylean A-\lambda I}$의 독립된 두 열의 교차 제품이 null 공간에 있게 된다$$.즉, $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$과 연관된 고유 벡터가 될 것이다$.$ 이 경우 기둥 공간은 2차원이기 때문에 1차원 공간이어야 하므로 다른 고유 벡터는 그것과 평행하게 된다.

$A{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A-\lambda I}$이(가) 두 개의 독립된 열을 포함하지 않지만$$ 0이 아닌 경우에도 교차 제품을 사용할 수 있다.이 경우 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은 다중성 2의 고유값이므로$$ 기둥 공간에 수직인 벡터는 모두 고유 벡터가 된다.Suppose ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is a non-zero column of ${\displaystyle A-\lambda I}$. Choose an arbitrary vector ${\displaystyle \mathbf {u} }$ not parallel to ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Then ${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {u} }$ and ${\$$displaystyle(\mathbf {v} \mathbf {u} )\mathbf {v}}$은(는) $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$수직이 되므로$$ λ$$${\displaystyle }$ ${\displaysty \mathda }$의 고유 벡터가 된다$.$

$이$는 A ${\displaystyle A}$이(가) 정상적이지$$ 않은 경우, null 공간과 열 공간은 이러한 행렬에 대해 수직이 될 필요가 없으므로 작동하지 않는다.

참고 항목

• 고유값 알고리즘 목록

메모들

참조

추가 읽기

• Bojanczyk, Adam W.; Adam Lutoborski (Jan 1991). "Computation of the Euler angles of a symmetric 3X3 matrix". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 12 (1): 41–48. doi:10.1137/0612005.