타원 감마 함수

수학에서 타원 감마함수는 q감마함수의 일반화인데, 그 자체가 일반 감마함수의 q-아날로그인 것이다.잭슨(1905)이 연구한 함수와 밀접한 관련이 있으며, 삼중 감마함수의 관점에서 표현할 수 있다.그것은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Gamma (z;p,q)=\prod _{m=0}^{\n=0}^{n=0}^{n=0}{n}^{1-p^{m+1}q^{n+1}/z}{1-p^{n}q^{n}z}}}.}$

그것은 몇 가지 정체성을 준수한다.

${\displaystyle \감마(z;p,q)={\frac {1}{\감마(pq/z;p,q)}}},}$

${\displaystyle \감마(pz;p,q)=\theta(z;q)\감마(z;p,q)\,}$

그리고

${\displaystyle \감마(qz;p,q)=\theta(z;p)\감마(z;p,q)\,}$

여기서 θ은 q-theta 함수다.

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p=0$인 경우, 기본적으로 무한 q-Pochhammer 기호로 축소된다.

${\displaystyle \감마(z;0,q)={\frac {1}{(z;q)_{\inflt }}.}$

곱셈 공식

정의

${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(z;p,q):={\frac {(q;q)_{\infty }}{(p;p)_{\infty }}}(\theta (q;p))^{1-z}\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1-z}}{1-p^{m}q^{n+z}}}.}$

다음 공식은 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle q^{}}$ = q ${\$Felder & Varchenko(2003) harvtxt error: no target: CITREFFelderVarchenko2003(도움말)로 유지된다.

${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(nz;p,q){\tilde {\Gamma }}(1/n;p,r){\tilde {\Gamma }}(2/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}((n-1)/n;p,r)=\left({\frac {\theta (r;p)}{\theta (q;p)}}\right)^{nz-1}{\tilde {\Gamma }}(z;p,r){\tilde {\Gamma }}(z+1/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}(z+(n-1)/n;p,r).}$

참조

• Jackson, F. H. (1905), "The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, The Royal Society, 76 (508): 127–144, Bibcode:1905RSPSA..76..127J, doi:10.1098/rspa.1905.0011, ISSN 0950-1207, JSTOR 92601
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 96 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719
• Ruijsenaars, S. N. M. (1997), "First order analytic difference equations and integrable quantum systems", Journal of Mathematical Physics, 38 (2): 1069–1146, Bibcode:1997JMP....38.1069R, doi:10.1063/1.531809, ISSN 0022-2488, MR 1434226
• 타원 감마 함수에 대한 게르베