엥겔베르트-슈미트 0-1 법칙

엥겔베르트-슈미트 0-1 법칙은 브라운 운동의 연속적이고 비감소 가산 함수와 관련된 사건에 대한 수학적 기준을 제공하는 정리로, 중간 값의 가능성 없이 0 또는 1의 확률을 갖습니다. 이 0-1 법칙은 확률적 미분 방정식에 대한 유한성과 점근적 행동의 질문 연구에 사용됩니다.^[1] (비너 과정은 정리의 진술에 사용된 브라운 운동의 수학적 형식화입니다.) 1981년에 발표된 이 0-1 법칙은 한스 위르겐 엥겔베르트와^[2] 확률론자 볼프강 슈미트의^[3] 이름을 따서 명명되었습니다. (숫자 이론가 볼프강 M과 혼동하지 마십시오.) 슈미트).

엥겔베르트-슈미트 0 대 1 법칙

Let ${\mathcal {F}}$ be a σ-algebra and let $F=({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}$ be an increasing family of sub-σ-algebras of ${\mathcal {F}}$ . Let $(W,F)$ be a Wiener process on the probability space $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ${\displaystyle (\Omega$ , ${\mathcal {F}}, P$ f $f$ 가 [ $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , ∞]로 들어가는 실수선의 보렐 측정 가능 함수라고 가정하자. 그렇다면 다음 세 가지 주장이 동등합니다.

(i) $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ ∫ $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ f( $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ d < $모든 t$ ≥에 $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ ∞ 0) > 0 $P{\Big(}\int_{0}^{t$ f(W_{ $s})\,\mathrm$ {d} s $<\infty {\text{모든$ } t\geq 0{\Big)}> 0}.

(ii) $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ ∫에 $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ ∞ 0 $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ f $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ $s))$ d < ≥ 0) = 1 {\displaystyle P{\Big(}\int_{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{모든 } t\geq 0{\Big)} = 1}.

(iii) 실수선의 모든 $콤팩트$ $부분집합$ K{\displaystyle K}에 $\int _{K}f(y)\,\mathrm {d} y<\infty \,$ ∫ $Kf$ ( $dy$ < ∞ {\ $displaystyle \int$ _{K} $f(y)\,\mathrm {$ d} y <\infty \,}

안정적인 공정으로의 확장

1997년 피오 안드레아 잔조토(Andrea Zanzotto)는 엥겔베르트-슈미트 0-1 법칙의 다음과 같은 확장을 증명했습니다. 위너 과정은 지수 $\alpha =2$ = 2 ${\displaystyle$ \alpha = 2}의 실수 값 안정 과정이기 때문에 특수한 경우로 엥겔베르트와 슈미트의 결과를 포함합니다.

Let $X$ be a $\mathbb {R}$ -valued stable process of index $\alpha \in (1,2]$ on the filtered probability space $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t}),P)$ . Suppose that $f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]$ $f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]$ $f:\mathbb {R$ \ $to [0,\infty ]}$ 는 $f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]$ 보렐 측정 가능 함수입니다. 그렇다면 다음 세 가지 주장이 동등합니다.

(i) $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ ∫ $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ f( $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ s $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ d < $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ t ≥에 $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ ∞ 0) > $0 {\displaystyle P{\Big(}\int_{0}^{t}$ f( $X_$ {s $})\,\mathrm$ {d} s $<\infty {\text{모든$ $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$ t\geq 0{\Big)}> 0}.

(ii) $모든$ $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ ∫에 $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ ≥ 0 $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ f(X $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ )) $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$ < ∞ 0) = 1 {\displaystyle P{\Big(}\int_{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{모든 } t\geq 0{\Big)} = 1}.

(iii) 실수선의 모든 $콤팩트$ $부분집합$ K{\displaystyle K}에 $\int _{K}f(y)\,\mathrm {d} y<\infty \,$ ∫ $Kf$ ( $dy$ < ∞ {\ $displaystyle \int$ _{K} $f(y)\,\mathrm {$ d} y <\infty \,}

잔조토의 결과에 대한 증명은 엥겔베르트-슈미트 0-1 법칙의 증명과 거의 같습니다. 증명의 핵심 객체는 공동으로 연속되는 것으로 알려진 인덱스 $\alpha \in (1,2]$ ∈(1, $2$ ${\displaystyle \alpha \in$ (1, 2]}의 안정적인 프로세스와 관련된 로컬 시간 프로세스입니다.

참고 항목

제로 원 법칙

참고문헌

^ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (2012). Brownian motion and stochastic calculus. Springer. p. 215.
^ 수학 계보 프로젝트의 한스 위르겐 엥겔베르트
^ 수학 계보 프로젝트의 볼프강 슈미트
^ Engelbert, H. J.; Schmidt, W. (1981). "On the behavior of certain functionals of the Wiener process and applications to stochastic differential equations". In Arató, M.; Vermes, D.; Balakrishnan, A. V. (eds.). Stochastic Differential Systems. Lectures Notes in Control and Information Sciences, vol. 36. Berlin; Heidelberg: Springer. pp. 47–55. doi:10.1007/BFb0006406.
^ Zanzotto, P. A. (1997). "On solutions of one-dimensional stochastic differential equations driven by stable Lévy motion" (PDF). Stochastic Processes and their Applications. 68: 209–228. doi:10.1214/aop/1023481008.
^ Bertoin, J. (1996). Lévy Processes, Theorems V.1, V.15. Cambridge University Press.

[1] Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (2012). Brownian motion and stochastic calculus. Springer. p. 215.

[2] 수학 계보 프로젝트의 한스 위르겐 엥겔베르트

[3] 수학 계보 프로젝트의 볼프강 슈미트

[4] Engelbert, H. J.; Schmidt, W. (1981). "On the behavior of certain functionals of the Wiener process and applications to stochastic differential equations". In Arató, M.; Vermes, D.; Balakrishnan, A. V. (eds.). Stochastic Differential Systems. Lectures Notes in Control and Information Sciences, vol. 36. Berlin; Heidelberg: Springer. pp. 47–55. doi:10.1007/BFb0006406.

[5] Zanzotto, P. A. (1997). "On solutions of one-dimensional stochastic differential equations driven by stable Lévy motion" (PDF). Stochastic Processes and their Applications. 68: 209–228. doi:10.1214/aop/1023481008.

[6] Bertoin, J. (1996). Lévy Processes, Theorems V.1, V.15. Cambridge University Press.

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