오일러의 기준

수 이론에서 오일러의 기준은 정수가 프라임인 2차 잔류물 모듈로인지 여부를 판단하는 공식이다.바로 그거야

p는 이상한 전성기가 되고 a는 p에 정수 복사기가 되게 하라.그러면^[1]^[2]^[3]

a^{\tfrac {p-1}{2}}\equiv {\begin{cases}\;\;\,1{\pmod {p}}&{\text{ if there is an integer }}x{\text{ such that }}a\equiv x^{2}{\pmod {p}},\\-1{\pmod {p}}&{\text{ if there is no such integer.}}}\end{case}

오일러의 기준은 다음과 같은 범례 기호를 사용하여 간결하게 재구성할 수 있다.^[4]

\left({\frac {a}{p}}\equiv a^{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}.

이 기준은 레온하르트 오일러의 1748년 논문에 처음 등장했다.^[5]^[6]

증명

그 증거는 잔여물 등급이 소수인 필드가 필드라는 사실을 이용한다.자세한 내용은 기사 기본 필드를 참조하십시오.

계수가 프라임이기 때문에 라그랑주의 정리가 적용된다: 도 $k$ 의 다항식은 최대 $k근$ 까지만 가질 수 있다.특히 $x 2$ ≡ $a (mod$ $p)$ 는 $a당$ 최대 2개의 솔루션을 가지고 있다.이 즉시 0외에 적어도.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-pa 있음을 시사한다.− x1가능한 값 하나만 다른 같은 잔류물을 이루어질 수 있Rser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output 1/2독특한 2차 잔류물 모듈러 p:각 p의 − .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}p.

실제로 $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ ( $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ - x $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ ) $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ ( $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ p $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ ) $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ . ${\displaystyle (p-x)^{2}\equiv$ x $^{2}{\pmod {p}.}$ $(p-x)^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ 왜냐하면 $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ ( $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ - x $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ ) $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ ≡ $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ - $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ 2 $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ p + $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ x $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ x $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ ( $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ p $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ ) $(p-x)^{2}\equiv p^{2}-{2}{x}{p}+x^{2}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ . ${\displaystyle (p-x)^{2}\equiv$ p $^{2}-{x}{p}+x^{2$ }{p}+x^{2} $}}\equiv x^{2}{\pmod {p}}.$ $}$ So, the ${\tfrac {p-1}{2}}$ distinct quadratic residues are: ${\displaystyle 1^{2},2^{2},...,({\tfrac {p-1}{2}})^{2}{\pmod {p}}.$ $}$

$a$ 는 $p$ 에 대한 coprime으로서 페르마의 작은 정리는 다음과 같이 말하고 있다.

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p},

라고 쓸 수 있는.

\left(a^{\tfrac {p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\tfrac {p-1}{2}}+1\right)\equiv 0{\pmod {p}.

정수 modgers $p$ 는 필드를 형성하므로, 각 $a$ 에 대해 이들 요인 중 하나 또는 다른 하나는 0이어야 한다.

만약 $a$ 가 2차적 $잔류물$ 이라면² $,$ , $x$

a^{\tfrac {p-1}{2}}\equiv {p-1}{{2}^{\tfrac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}.

따라서 모든 2차적 잔류물(mod $p$ )은 첫 번째 인자를 0으로 만든다.

라그랑주의 정리를 다시 적용하면 첫 번째 인자를 0으로 만드는 $a$ 의 p - $1$ / $2$ 값 이상은 있을 수 없다는 점에 주목한다.그러나 처음에 언급했듯이, 최소 $p$ - $1$ / $2$ 의 구별되는 2차적 잔류물( $mod$ p)이 있다(0보다 작음).따라서 그것들은 정확히 첫 번째 인자를 영(0)으로 만드는 잔여 등급이다.나머지 $p$ - $1$ / $2$ 의 잔류물 등급인 비리시드는 두 번째 인자를 0으로 만들어야 하며, 그렇지 않으면 페르마의 작은 정리를 만족시키지 못할 것이다.이것은 오일러의 기준이다.

대체증거

이 증거는 어떤 일치 $kx\equiv l\!\!\!{\pmod {p}}$ $kx\equiv l\!\!\!{\pmod {p}}$ $kx\equiv l\!\!\!{\pmod {p}}$ $kx\equiv l\!\!\!{\pmod {p}}$ ( $kx\equiv l\!\!\!{\pmod {p}}$ $){\$ l $\!$ 라는 사실만을 사용한다. $\!{\pmod{p$ }}}은 $($ 는 $)$ 고유한 솔루션(modulo $p$ {\ $displaystyle$ p $p$ x ${\displaystyle$ x $}$ 을(를) 가지고 $kx\equiv l\!\!\!{\pmod {p}}$ 있다. 단 $x$ , $p$ ${\$ $displaystyle$ $p$ $}$ 는 $k$ ${\\displaystystyle$ $k}$ 을(으 $p$ $k$ 로 나누지 않으며 $x$ 되지 $p$ 않기 때문에 이는 $k$ $x$ ${\\\\displaystyp$ )가 모두 $x$ 유지되기 때문이다. $kx$ - if we have $kx_{1}\equiv kx_{2}{\pmod {p}}$ , then $p k(x_{1}-x_{2})$ , hence $p (x_{1}-x_{2})$ , but $x_{1}$ and ${\displayst$ $yle x_{2}}$ aren't congruent modulo $p$ .) It follows from this fact that all nonzero remainders modulo $p$ the square of which isn't congruent to $a$ can be grouped into unordered pairs $(x,y)$ according to the rule that the product of the membe $각$ 쌍의 rs는 $a$ modulo $a$ $p$ $p$ 과(이 사실에 $p$ 의해 $모든$ y $y$ 에 대해 이러한 $y$ x ${\$ displaysty x $x$ 를 $찾을$ 수 있고, 그 반대의 $x$ 도 $y^{2}$ 수 $,$ y 2 {\ $displaystystyley$ y $^{2}}$ 이 $y^{2}$ ${\type a$ }에 적합하지 않으면 서로 다를 수 있다. $}$ ). If $a$ is a quadratic nonresidue, this is simply a regrouping of all $p-1$ nonzero residues into $(p-1)/2$ pairs, hence we conclude that ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot ...$ $\cdot (p-1)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}\\!$ $\!{\pmod{p$ $a$ 이 $a$ (가) 2차 잔류물인 $경우$ , r{\ $displaystyle r}$ 와 $r$ $-r$ - $-r$ {\ $displaystyle -r$ $}$ 중 $-r$ 정확히 2개가 남아 있지 않아 $r^{2}\equiv a\!\!\!{\pmod {p}}$ $r^{2}\equiv a\!\!\!{\pmod {p}}$ $r^{2}\equiv a\!\!\!{\pmod {p}}$ p ) ${\$ $\!{\pmod{p$ 만약 우리가 그 두 개의 빠진 잔여물을 함께 짝지으면 그들의 $-a$ 은 $-a$ - $a$ 가 아니라 $-a$ - ${\displaystyle$ $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ $}$ 가 될 것이다 $a$ 이 경우, $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ ⋅. $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ . . . $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ ( $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ 1 ) - 1 $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ - $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ - 1 ( $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ ) ${\$ cdylean 1 $\cdot 2\$ cdylease p ) . $\cdot (p-1)\equiv -a^{\frac {p-1}{2}}\!$ $\!{\pmod{p$ 요약하면, 이 두 경우를 고려하면 ≢ 0 $a\not \equiv 0\!\!\!{\pmod {p}}$ $a\not \equiv 0\!\!\!{\pmod {p}}$ ) ${\$ $\!{\pmod{p$ }}{{\pmod}{p $}}$ $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ ( $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ - $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ 1 ) $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ - $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ ( $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ ) $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ - $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ ( $1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}$ p $){\$ 1\ $cdot$ 2\ $cdot...$ $\cdot (p-1)\equiv -\left({\frac {a}{p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!$ $\!\{\pmod{p$ $a=1$ 공식에 a = 1 {\ $displaystyle a=1}($ 분명히 사각형인 것임)을 대입하여 윌슨의 정리, 오일러의 기준, 그리고 (오일러의 기준의 양면을 스퀴어) 페르마의 작은 정리를 한꺼번에 얻어내야 한다 $.$

예

예 1: a가 잔류물인 소수점 찾기

a = 17으로 한다.17의 p는 2차적 잔류물인가?

위의 공식을 수동으로 prime p's를 테스트할 수 있다.

한 가지 경우, p = 3 시험에서는^{(3 − 1)/2} 17 = 17¹ = 2 ≡ -1 (mod 3)이 있으므로 17은 2차 잔류물 모듈로 3이 아니다.

또 다른 경우, p = 13 시험에서는 17^{(13 − 1)/2} = 17⁶ = 1 (모드 13)이 있으므로 17은 2차 잔류물 모듈로 13이다.확인으로서, 17 ≡ 4 (mod 13) 및² 2 = 4에 주목한다.

우리는 다양한 모듈식 산술과 레전드르 기호 특성을 사용하여 이러한 계산을 더 빨리 할 수 있다.

값을 계속 계산하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

(17/p) = p의 경우 +1 = {13, 19, ...} (17은 이 값들의 2차 잔류물 모듈)

(17/p) = p = {3, 5, 7, 11, 23, ...} (17은 이 값들의 2차 잔류물이 아니다.)

예 2: Primary modulus p가 주어진 잔류물 찾기

제곱 모듈로 17(정규 잔류물 모듈로 17)은?

이를 다음과 같이 수동으로 계산할 수 있다.

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25 ≡ 8 (모드 17)

6² = 36≡ 2 (모드 17)

7² = 49 ≡ 15 (모드 17)

8² = 64 ≡ 13 (모드 17).

그래서 2차 잔류물 모듈로 17의 세트는 {1,2,4,8,9,13,15,16}이다.9에서 16까지의 값은 모두 이전에 제곱한 값(예: 9≡ -8 (mod 17)의 음수이므로 9≡(-8) ²= 64²≡ 13 (mod 17)의 제곱은 계산할 필요가 없다는 점에 유의한다.

우리는 위의 공식을 사용하여 2차 잔류물을 찾거나 확인할 수 있다.2가 2차 잔류물 모듈로 17인지 시험하기 위해 2^{(17 − 1)/2} = 2⁸ ≡ 1 (모드 17)을 계산하므로 2차 잔류물이다.3이 2차 잔류물 모듈로 17인지 시험하기 위해 3^{(17 − 1)/2} = 3⁸ ≡ 16 ≡ -1 (모드 17)을 계산하므로 2차 잔류물이 아니다.

오일러의 기준은 이차적 상호주의 법칙과 관련이 있다.

적용들

실제로 유클리드 알고리즘의 확장 변형을 사용하여 자코비 기호 $\left({\frac {a}{n}}\right)$ ) ${\$ 를 계산하는 것이 더 효율적이다 $\left({\frac {a}{n}}\right)$ $만일$ n ${\displaystylen}$ 이 $n$ (가) 홀수 프라임이라면 이는 레전드레 기호와 동일하며, ${\displaystystytytytytytytytythylease$ a $}$ 가 $a$ 2 modulease state a}의 $modulease$ modulease modulease modu $(\displaystyle$ n $n$

한편, 자코비 기호에 $a^{\frac {n-1}{2}}$ n $a^{\frac {n-1}{2}}$ - $a^{\frac {n-1}{2}}$ $a^{\frac {n-1}{2}}$ ${\$ a $^{\frac{n-1}{2$ }}개의 등가성은 모든 홀수 소수점 동안 유지되지만, 복합 숫자에 대해서는 반드시 유지되지는 않으므로, 둘을 계산하고 비교하는 것은 소수점 시험, 특히 솔로웨이-스트라센 원시성 시험으로 사용할 수 있다.주어진 ${\displaystyle a$ }에 대해 조합이 보유하는 복합 번호를 오일러-자코비 유사 횟수라고 하여 $a$ $a$ 의 기초가 된다 $a$

메모들

^ 가우스, DA, 예술. 106
^ Dense, Joseph B.; Dence, Thomas P. (1999). "Theorem 6.4, Chap 6. Residues". Elements of the Theory of Numbers. Harcourt Academic Press. p. 197. ISBN 9780122091308.
^ 레오나드 유진 딕슨, "숫자 이론의 역사", 1, p 205, 첼시 출판 1952
^ 하디 & 라이트, thm. 83
^ 레머마이어, 페이지 4는 오일러 아카이브에 E134와 E262의 두 논문을 인용한다.
^ L 오일러, Novi commentarii Academiciarium Imperialis Petropolitanae, 8, 1760-1, 74, Opusis Anton. 1, 1772, 121; Comm.아리쓰, 1,274, 487

참조

디스퀴지스 산수화는 가우스의 키케로니아어 라틴어에서 영어와 독일어로 번역되었다.독일판에는 이차적 상호주의의 모든 증거, 가우스 합계의 징표 결정, 이차적 상호주의에 대한 조사, 미발표 주석 등 그의 모든 논문이 포함되어 있다.

Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9 {{citation}}: first2=일반 이름 포함(도움말)

Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 {{citation}}: first2=일반 이름 포함(도움말)

Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5

Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66957-4

외부 링크

오일러 아카이브

[1] 가우스, DA, 예술. 106

[2] Dense, Joseph B.; Dence, Thomas P. (1999). "Theorem 6.4, Chap 6. Residues". Elements of the Theory of Numbers. Harcourt Academic Press. p. 197. ISBN 9780122091308.

[3] 레오나드 유진 딕슨, "숫자 이론의 역사", 1, p 205, 첼시 출판 1952

[4] 하디 & 라이트, thm. 83

[5] 레머마이어, 페이지 4는 오일러 아카이브에 E134와 E262의 두 논문을 인용한다.

[6] L 오일러, Novi commentarii Academiciarium Imperialis Petropolitanae, 8, 1760-1, 74, Opusis Anton. 1, 1772, 121; Comm.아리쓰, 1,274, 487

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Search

오일러의 기준

네임스페이스

더

목차

증명

대체증거

예

적용들

메모들

참조

외부 링크