분리 정리

수학의 한 분야인 대수적 위상에서, 분리 정리는 상대적 호몰로리에 관한 정리이며, 에일렌베르크-스테인로드 공리의 하나이다.$위상학적{\displaystyle }$ 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과(와) $하위{\displaystyle }$$$공간 A {\$displaystyle$ A$$$}$과$($$와$) U {\displaystyle $U}$도 A {\$displaystyle A}$의 하위 공간이라는$$ 점을$$ 감안할 때$,$ 정리는 특정한 상황에서 우리가 (흥분) 할 수 있다고 말한다.${\displaystyle 두}$ 공간의 U$$ ${\displaystyle$ U$\}({\displaystyle X}$${\displaystyle }$${\displaystyle \setminus }$${\displaystyle U}$${\displaystyle }$, A ${\displaystyle \setminus }$ U${\displaystyle }$) ${\displaystyle(X\setminus U,$ A$\setminus$ U$)}$과$({\displaystyle X}$ ,A$)$ 사이의$$ 상대적 호몰로지가 이형성이$$ 되도록 U ${\displaystystyle(X,A$).

이것은 때때로 적절하게 선택된 하위 공간을 계산한 후 계산하기 쉬운 무언가를 얻듯이, 단일 호몰로지 그룹의 계산을 돕는다.

정리

성명서

If ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq X}$ are as above, we say that ${\displaystyle U}$ can be excised if the inclusion map of the pair ${\displaystyle (X\setminus U,A\setminus U)}$ into ${\displaystyle (X,A)}$ induces an isomorphism on the relative homologies:

${\displaystyle H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_{n}(X,A)}$

정리는 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 폐쇄가 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$의 내부에 포함된$$ 경우 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을(를) 배제할 수 있다고$$ 명시하고 있다.

종종 이 격납 기준을 충족하지 못하는 서브스페이스는 여전히 배출될 수 있다. 서브스페이스를 만족시키는 서브스페이스로 변형된 수축물을 찾을 수 있으면 충분하다.

프루프 스케치

세부적인 내용이 다소 개입되어 있기는 하지만, 분리 정리의 증거는 상당히 직관적이다.아이디어는${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, $){\displaystyle (X,A)}$의 상대적 사이클로 단순화를 세분화하여$$ "더 작은" 단순화로 구성된 또 다른 체인을 얻고, 체인의 각 심플렉스가 ${\displaystyle \mathrm{전적}}$으로 A ${\displaystyle A}$의 내부 또는 X${\displaystyle }$u U$${\$displaysty$X\$setminus U$}의 내부에 위치할 때까지 프로세스를 계속하는 것이다$.$헤세는 X ${\displaystyle X}$의 개방형 커버를 형성하고$$ 단순화는 소형이며, 우리는 결국 한정된 수의 스텝으로 이 작업을 수행할 수 있다.이 과정은 체인의 원래 호몰로지 클래스를 변경하지 않고 그대로 둔다(이것은 하위분할 운영자가 호몰로지 ID 맵에 대한 체인 호모토픽임을 말한다).그러면 상대 호몰로지 ${\displaystyle H_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$에서$,$ $이것$은 U$${\$displaystyle U$}의 내부에 포함된 모든 용어들이 사이클의 호몰로지 클래스에 영향을 미치지 않고 삭제될 수 있다고$$ 말한다.이것은 각각의 상대적 주기가 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을 완전히 피하는 주기와 같기 때문에 포함 지도가 이등형이라는 것을 보여줄 수 있게 해준다.

적용들

에일렌베르크-스텐로드 악시오스

분리정리는 에일렌베르크-스테인로드 악시오움 중 하나로 간주된다.

마이어-베트남 시퀀스

마이어-베트남 시퀀스는 분리 정리 및 긴 실제 시퀀스의 조합으로 파생될 수 있다.^[1]

참고 항목

• 호모토피 분리 정리

참조

참고 문헌 목록

• 조셉 J. 로트먼, 스프링거-베를랙 대수 위상 입문 ISBN0-387-96678-1
• 앨런 해처, 대수학 위상케임브리지 대학 출판부, 2002.