지수식

결합수학에서 지수식(물리학의 폴리머 팽창이라고 함)은 유한 집합의 구조물에 대한 지수생성함수가 연결된 구조물에 대한 지수생성함수의 지수함수라고 기술한다.지수 공식은 파아디 브루노 공식의 특별한 경우를 파워 시리즈로 표현한 것이다.

성명서

폼의 모든 공식 파워 시리즈에 대해

f(x)=a_{1}x+{a_{2} \over 2}x^{2}+{a_{3} \over 6}x^{3}+\cdots +{a_{n} \overn!}x^{n}+\cdots \,

우리는 가지고 있다.

\exp f(x)=e^{f(x)}=\sum _{n=0}^{\infit }{b_{n}\overn!}x^{n},\,

어디에

b_{n}=\sum _{\pi =\왼쪽\{1}\,\S_{1}\,\dots ,\,\s_{k}\},\s_{k}\\좌측 S_{1}\cdots a}\{k}\좌측 S_{k}\우측 }}}}}}}}}}}}}}}}}}}

인덱스

π은

세트 {1, ..., n }의 모든 파티션 {S₁, ..., S_k }의 목록을 통해 실행된다(

k=0,

=

k=0,

,

k=0,

이(가) 제품이

k=0,

비어 있고 정의상 1인 경우).

공식을 다음과 같은 형태로 작성할 수 있다.

b_{n}=B_{n}(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}),

따라서

\exp \left(\sum _{n=1}^{\put }{a_{n} \overn!}x^{n}\오른쪽)=\sum _{n=0}^{\n}{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \overn!}}x^{n}

여기서 B_n(a₁, ..., a_n)는 N번째 완전한 벨 다항식이다.

또는 다음과 같이 대칭 그룹의 사이클 지수를 사용하여 지수식을 작성할 수도 있다.

\ex \ex \ex \left \left \ft \{n}{n}{n}\over n}\right)=\sum _{n=0}^{n}{n}(a_{1},\dots,a_{n}x^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 Z는_n 다음과 같이

S_{n}

정의된 대칭 그룹

S_{n}

{\

에 대한 주기 지수 다항식을 의미한다.

Z_{n}(x_{1},\cdots ,x_{n}={\frac {1}{n!}}}\sum _{\sigma \in S_{n}x_{1}^{1}^{1}\sigma _{1}}}

및

\sigma _{j}

j

{\

는

\sigma _{j}

j\in \{1,\cdots ,n\}

j

j\in \{1,\cdots ,n\}

,

j\in \{1,\cdots ,n\}

}{\displaystyle j\in

\{

1,\cdots,n\}}

의

\sigma

j\in \{1,\cdots ,n\}

{\displaysty

j\} 사이클 수를 나타낸다

.

Z_{n}

는 Z

Z_{n}

{\

와

Z_{n}

Bell 다항식 간의 일반적인 관계에 따른 결과물이다.

Z_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}={1 \over n!}B_{n}(0!\,x_{1},1!\,x_{2},\dots,(n-1)!\,x_{n}).

예

${\displaystyle b_{3}=B_{3}(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{3}+3a_{1}a_$ $}}^{3}},$ 집합 {1, 2, 3 }의 파티션 하나가 크기 3의 단일 블록으로 되어 있기 때문에 $b_{3}=B_{3}(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{3}+3a_{2}a_{1}+a_{1}^{3},$ {1, 2, 3 }의 파티션 세 개가 크기 2의 블록과 크기 1의 블록으로 분할되어 있고, { 1, 2, 3 }의 파티션 하나가 크기 1의 세 블록으로 분할되어 있다.This also follows from ${\displaystyle Z_{3}(a_{1},a_{2},a_{3})={1 \over 6}(2a_{3}+3a_{1}a_{2}+a_{1$ $}^{3})={1 \over 6}B_{3}(a_{1},a_{2},2a_{3})}$ , since one can write the group $S_{3}$ as $S_{3}=\{(1)(2)(3),(1)(23),(2)(13),(3)(12),(123),(132)\}$ , using cyclic notation for permutations.
$b_{n}=2^{n(n-1)/2}$ $b_{n}=2^{n(n-1)/2}$ = $b_{n}=2^{n(n-1)/2}$ ( $b_{n}=2^{n(n-1)/2}$ - $b_{n}=2^{n(n-1)/2}$ ) $b_{n}=2^{n(n-1)/2}$ / 2 ${\$ 정점이 주어진 n 포인트 집합인 그래프의 수인 경우, a는_n 정점이 주어진 n포인트 집합인 연결된 그래프의 수입니다.
그래프가 특정한 속성을 갖는 이전 예에는 수많은 변화가 있다. 예를 들어, b가_n 사이클 없이 그래프를 카운트하는 경우, a는_n 트리(사이클 없이 연결된 그래프)를 카운트한다.
(정점이_n 아닌) 에지가 지정된 n개의 점 집합인 방향 그래프를 b가 카운트할 경우, 카운트는 이_n 에지 s와 연결된 방향 그래프

적용들

애플리케이션에서, 숫자 a는_n 종종 n 포인트 집합의 어떤 종류의 "연결된" 구조물의 수를 세고, 숫자_n b는 (연결되지 않은) 구조물의 수를 세는다.숫자_n b/n!은 n개 지점에 대한 구조물의 이형성 등급의 수를 계산하고, 각 구조물은 그 자동형성 그룹의 역수에 의해 가중되고, 숫자_n a/n!은 연결된 구조물의 이형성 등급의 수를 같은 방법으로 계산한다.

양자장 이론과 통계 역학에서 파티션 함수 Z, 또는 더 일반적인 상관 함수들은 파인만 도표 위에 공식 합으로 주어진다.지수 공식은 연결된 Feynman 도표 위에 로그(Z)를 합으로 작성할 수 있다는 것을 보여준다.

참고 항목

프리셰트 공간의 추리 - 추리성의 특성

참조

Stanley, Richard P. (1999), Enumerative combinatorics. Vol. 2, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 62, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-56069-6, MR 1676282, ISBN 978-0-521-78987-5 5장 3페이지

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