파티션 함수(수학)

확률 이론, 정보 이론 및 동적 시스템에 사용되는 파티션 함수 또는 구성 적분은 통계 역학에서 파티션 함수의 정의의 일반화다.볼츠만 분포의 확률론 상수 정상화의 특별한 경우다.분할 함수는 자연 대칭성이 있는 상황에서 연관된 확률 측정인 Gibbs 측정치가 마르코프 특성을 가지기 때문에 확률 이론의 많은 문제에서 발생한다.이는 파티션 기능이 번역 대칭이 있는 물리적 시스템뿐만 아니라 신경망(홉필드 네트워크)과 같은 다양한 설정과 마르코프 네트워크를 채용하는 유전체학, 말뭉치 언어학, 인공지능 등의 응용에서 발생한다는 것을 의미한다.또한 Gibbs 측정은 에너지의 고정된 기대치에 대한 엔트로피를 최대화하는 특성을 가진 유일한 측정치로서, 이는 최대 엔트로피 방법에서의 파티션 함수의 외관과 거기서 도출된 알고리즘의 기초가 된다.

칸막이 함수는 많은 다른 개념들을 연결하며, 따라서 다양한 종류의 수량이 계산될 수 있는 일반적인 체계를 제공한다.특히 프레드홀름 이론에 가교를 형성하며 기대치와 그린의 함수를 계산하는 방법을 보여준다.그것은 또한 정보 이론에 대한 정보 기하학적 접근에 대한 자연스러운 설정을 제공하는데, 여기서 피셔 정보 메트릭은 파티션 함수에서 파생된 상관 함수로서 이해할 수 있다; 그것은 우연히 리만니아 다지관을 정의한다.

무작위 변수에 대한 설정이 푸비니-스터디 메트릭으로 기하학적 구조화된 복잡한 투사 공간 또는 투사 힐버트 공간에 있는 경우, 양자역학 이론 및 보다 일반적으로 양자장 이론이 결과를 얻는다.이러한 이론에서, 파티션 함수는 경로 적분 제형에서 크게 활용되며, 큰 성공을 거두며, 여기서 검토한 공식과 거의 동일한 많은 공식으로 이어진다.그러나, 근거 있는 측정 공간은 확률 이론의 실제 값진 심플렉스와는 반대로 복잡하게 값이 매겨져 있기 때문에, 많은 공식에 i의 추가 요소가 나타난다.이 요인을 추적하는 것은 귀찮고, 여기서 하지 않는다.이 기사는 주로 확률의 합이 1에 이르는 고전적 확률 이론에 초점을 맞추고 있다.

정의

$임의{\displaystyle {}_{}}$ $변수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$$$${\$$displaystyle X_$${i$$\}\}$과(와) 값 x i {\displaystyle x_${i}},$ 그리고 어떤 종류의 잠재적 함수 또는 해밀턴 $H{\displaystyle ({x1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$)$${\$displaysty H(x_{1},x_{2},\dots$ $)\},$ 파티션 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{x_{i}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}$

함수 H는 상태${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots }$ ⋯ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{X_{1},X_{2},\cdots$ $\backslash \}\}\}$의 공간에 대한 실제 값 함수로 이해되며, $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은 실제 값 자유 매개변수(conventional, 역온도)이다$$.$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대한 합은 각 랜덤 변수 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 취할 수$$ 있는 모든 가능한 값에 대한 합으로 이해된다$$.$따라서{\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 이산형이 아닌 연속형일 때 합계를$$ 적분으로 대체한다.그래서 글씨를 쓴다.

${\displaystyle Z(\beta )=\int \ex \ex \eft(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\,dx_{1}\cdots }}$

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 연속적으로 사용하는 경우$.$

H가 유한차원 매트릭스나 무한차원 힐버트 우주 연산자 또는 C-스타 대수학의 요소와 같이 관측 가능한 경우, 합계를 추적으로 표현하는 것이 일반적이므로 다음과 같다.

${\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {tr} \exp \왼쪽(-\beta H\오른쪽)\오른쪽)}$

H가 무한 차원일 때, 그렇다면 위의 표기법이 유효하기 위해서는 인수가 추적 클래스, 즉 합계가 존재하고 경계가 되는 형태의 인수가 되어야 한다.

변수 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 개수는 계산할 필요가 없으며, 이 경우 합계는 기능적 통합으로 대체된다.기능적 통합에 대한 많은 명제가 있지만, 공통적인 명제는 다음과 같다.

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}\varphi \exp \left(-\beta H[\varphi ]\right)}$

양자장 이론에서 칸막이 함수의 경우는 이와 같다.

파티션 기능에 대한 공통적이고 유용한 수정은 보조 기능을 도입하는 것이다.이를 통해 예를 들어 파티션 함수를 상관 함수의 생성 함수로 사용할 수 있다.이것은 아래에서 더 자세히 논의된다.

파라미터 β

매개 변수 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \$beta }$의 역할이나 의미는 다양한 방법으로 이해할 수 있다$$.고전적인 열역학에서는 역온이다.보다 일반적으로, 임의 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 일부$$(임의) 함수 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 결합되는 변수라고 말할 수 있다$.$여기서 conduate라는 단어는 라그랑기 역학에서 conduate 일반화된 좌표라는 의미에서 사용되므로, $적절한{\displaystyle }$β {\$displaystyle$ \$beta }$은 라그랑주 승수다.그것은 흔히 일반화된 힘이라고 불린다.이러한 모든 개념은 하나의 가치가 고정되도록 되어 있다는 공통점을 가지고 있는데, 다른 가치들은 어떤 복잡한 방법으로 상호 연결될 수 있기 때문이다.현재의 경우, 서로 다른 많은 확률 분포가 정확히 동일한 (고정) 값을 발생시킬 수 있는 경우에도 $고정$해야 할 값은 H ${\displaystyle H}$의 기대 값이다$.$

일반적인 경우, 각 함수가 $랜덤{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {변수}_{}}$ X i ${\$$displaystyle X_${1$}(x_{$1},\$cdots )\}에$의존하는 기능$$ 집합${\displaystyle }${$($$displaystyle X_{i})$를 고려한다$.$이러한 함수는 어떤 이유로든 기대값을 일정하게 유지하고자 하기 때문에 선택된다.이런 식으로 기대값을 구속하려면 라그랑주 승수법을 적용한다.일반적인 경우, 최대 엔트로피 방법은 이것이 수행되는 방식을 나타낸다.

몇 가지 구체적인 예들이 정리되어 있다.기본적인 열역학 문제에서, 표준 앙상블을 사용할 때, 하나의 매개 변수 $[\displaystyle \beta }$만 사용하는 것은 (에너지 보존으로 인해) 반드시 일정하게 유지되어야 하는 기대값 하나만 있다는 사실을 반영한다$$.화학반응을 수반하는 화학적 문제에 대해서는 대정합주(大正合主)가 적절한 토대를 제공하며, 라그랑주 승수가 2개 있다.하나는 에너지를 일정하게 유지하는 것이고, 또 다른 하나는 도망성인 입자수를 일정하게 유지하는 것이다(화학반응은 일정한 수의 원자의 재조합을 수반하기 때문에).

일반적인 경우라면 다음과 같다.

${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{x_{i}\exp \left(-\sum _{k}\beta _{k})H_{k}(x_{i}\오른쪽)}$

$\beta {\displaystyle }$= (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\beta \mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{},}$) ${\displaystyle$\ \ $=(\filename _{1},\filename _{2},\cdots$ )이 한 공간에 한 점을$$ 표시한다.

관측 가능한 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 컬렉션에 대해서는$,$ 한 사람이 글을 쓰곤 했다.

${\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {tr} \left[\, exp \left(-\sum _{k}\beta _{k}) _{k}H_{k}\오른쪽)\오른쪽]}$

전과 같이 tr의 주장은 추적계급이라고 추정된다.

그런 다음 해당 Gibbs 측정치는 $각{\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 기대값이 고정값인$$ 확률 분포를 제공한다.더 정확히 말하자면, 사람은

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \beta _{k}\left(-\log Z\right)=\langle H_{k}\rangele =\mathrm {E} \left[]H_{k}\오른쪽]}$

대괄호 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle H_{k}\rangele}}$은(는) $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의$$기대값을 나타내며$$, $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm {E}[\;]}$은(으$$)의 대체 표기법이다.이 기대치에 대한 정확한 정의는 다음과 같다.

일반적으로 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta$}의 값이 실제인 것으로 간주되지만$$, 일반적으로 그럴 필요는 없으며, 이는 아래의 표준화 섹션에서 논의된다.$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$의 값은 공간에 있는 점의 좌표로 이해할 수 있다$$. 이 공간은 사실 아래 스케치된 다지관이다.이러한 공간을 다지관으로 하는 연구는 정보 기하학의 분야를 구성한다.

대칭

잠재적 함수 자체는 일반적으로 합계의 형태를 취한다.

${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots )=\sum _{s}V\,},}$

여기서 s에 대한 합은 $집합{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots \}}$ ${\displaystyle$ X$=\lbrace x_{1},x_{2},\dots \rbrace$}}의 일부 집합 P(X)에 대한 합이다$.$ 예를 들어, Ising 모델과 같은 통계 역학에서는 합이 가장 가까운 이웃의 쌍을 초과한다.마르코프 네트워크와 같은 확률 이론에서, 합계는 그래프의 크릭을 초과할 수 있다. 따라서 Ising 모델과 다른 격자 모델의 경우, 최대 크릭은 에지이다.

잠재적 함수를 합으로 쓸 수 있다는 사실은 보통 번역적 불변성과 같이 그룹 대칭의 작용 아래 불변한다는 사실을 반영한다.그러한 대칭은 이산형 또는 연속형일 수 있다. 대칭은 랜덤 변수에 대한 상관 함수에서 구체화된다(아래 설명 참조).따라서 해밀턴의 대칭은 상관 함수의 대칭이 된다(그리고 그 반대도 마찬가지).

이 대칭은 확률 이론에서 매우 중요한 해석을 가지고 있다. 즉, Gibbs 측정이 마르코프 특성을 가지고 있다는 것을 암시한다. 즉, 대칭의 등가 등급에서 측정치가 동일한 임의 변수와 독립적이다.이것은 홉필드 네트워크와 같은 마르코프 속성과의 문제에서 파티션 함수의 광범위한 출현으로 이어진다.

척도로서

표현식의 값

${\displaystyle \exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}$

시스템에서 값의 특정 구성$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle(x_{1},x_{2},\message$)이 발생할$$ 가능성으로 해석할 수 있다.따라서 특정 구성$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots$ $)\},$

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\dots )={\frac {1}{1}{Z(\beta )}}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}$

is the probability of the configuration ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$ occurring in the system, which is now properly normalized so that ${\displaystyle 0\leq P(x_{1},x_{2},\dots )\leq 1}$, and such that the sum over all configurations totals to one.이와 같이 파티션 함수는 확률 공간에 대한 측정치(확률 측정치)를 제공하는 것으로 이해할 수 있으며, 형식적으로는 Gibbs 측정치라고 한다.통계 역학에서 대정합주 및 정합주 협주곡의 좁은 개념을 일반화한다.

적어도 하나 이상의 구성${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, x${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…$$)이 존재하며, 확률을 최대화하는 {\$displaystyle (x_{1$},$x_{$2},\$dots$)이$$ 있다. 이 구성을 일반적으로 접지 상태라고 부른다.구성이 고유하면 지상 상태가 비탈진 상태라고 하고, 시스템은 에고딕 상태라고 하며, 그렇지 않으면 지상 상태가 퇴보한다.지면 상태는 대칭의 발생기와 함께 통근할 수도 있고 통근하지 않을 수도 있다. 통근할 경우 불변 측정이라고 한다.통근하지 않으면 대칭이 저절로 깨진다고 한다.

지상 상태가 존재하고 고유한 조건은 Karush-Kuhn-Tucker 조건에 의해 주어진다. 이러한 조건은 최대 엔트로피 문제에서 Gibbs 측정의 사용을 정당화하는 데 일반적으로 사용된다.^{[citation needed]}

정규화

$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 사용하는 값은 랜덤 필드가 변화하는 수학적 공간에 따라 달라진다$$.따라서, 실제 값 무작위 필드는 심플렉스 값을 취하는데, 이것은 확률의 합계가 1이어야 한다는 기하학적 방법이다.양자역학의 경우 랜덤 변수는 복잡한 투사 공간(또는 복합값 투사 힐버트 공간)에 걸쳐 있으며, 여기서 랜덤 변수는 확률 진폭으로 해석된다.여기서 강조되는 것은 진폭은 여전히 1로 정상화되어 있기 때문에 투영적이라는 단어에 있다.잠재적 함수의 정규화는 적절한 수학적 공간에 대한 Jacobian이다: 통상적인 확률에 대한 1과 힐버트 공간에 대한 i. 따라서 양자장 이론에서 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \beta$ H$}$이 아닌 ${\displaystyle \mathrm{지수}}$에서 i ${\displaystyle t}$ H ${\displaystyle itH}$을 본다$.$ 파티션 함수는 매우 심하게 탐색된다.양자장 이론의 경로 적분 제형에서 큰 효과를 얻었다.그곳의 이론은 이 차이점을 제쳐두고 여기에 제시된 이론과 거의 동일하며, 일반적으로 일반적인 방식이 아닌 4차원 공간 시간에 공식화 되어 있다는 사실이다.

기대값

파티션 함수는 랜덤 변수의 다양한 함수의 기대 값에 대한 확률 생성 함수로 일반적으로 사용된다.예를 들어, 조절 $가능$한$$매개 변수로 β {\$displaystyle \$${\displaystyle \mathrm{beta}}$}을(를${\displaystyle )}$ 선택한 다음$,$ β ${\$$displaystyle \log(Z$(\$beta )}$에 대한$$ β${\displaystyle \backslash }$$displaystyle \beta }$의 파생 모델

${\displaystyle \mathbf {E} [H]=\langle H\rangle =-{\frac {\partial \log(Z(\beta )}}{\partial \beta }}}}}$

H의 평균(기대 값)을 준다. 물리학에서는 이것을 시스템의 평균 에너지라고 부른다.

위의 확률 측정의 정의를 고려할 때, 무작위 변수 X의 함수 f의 기대값은 이제 예상대로 기록될 수 있다: 따라서 이산값 X의 경우, 한 사람이 기록한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\rangle &=\sum _{x_{i}}f(x_{1},x_{2},\dots )P(x_{1},x_{2},\dots )\\&={\frac {1}{Z(\beta )}}\sum _{x_{i}}f(x_{1},x_{2},\dots )\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)\end{aligned}}}$

위의 표기법은 한정된 수의 이산 랜덤 변수에 대해서는 엄격히 정확하지만 연속 변수에 대해서는 어느 정도 '비공식'이라고 보아야 한다. 적절히, 위의 합계는 확률 공간을 정의하는 데 사용되는 기초 시그마 대수학의 개념으로 대체되어야 한다.그렇긴 하지만, 측정 공간에 적절하게 형성되었을 때, 그 정체성은 계속 유지된다.

따라서, 예를 들어 엔트로피는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\reasoned}S&=-k_{B}\langle \ln P\rangle \\&=-k_{B}\sum _{x_{i}}P(x_{1},x_{2},\dots )\ln P(x_{1},x_{2},\dots )\\&=k_{B}(\beta \langle H\rangle +\log Z(\beta ))\end{aligned}}}$

Gibbs 측정은 에너지의 고정된 기대치에 대한 엔트로피를 최대화하는 고유한 통계분포로서, 이는 최대 엔트로피 방법의 사용에 기초한다.

정보 기하학

지점 $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \beta$}을(를) 이해하여 공간을 형성할 수 있으며$$, 특히 다지관을 형성할 수 있다.따라서, 이 다지관의 구조에 대해 질문하는 것이 타당하다. 이것이 정보 기하학의 과제다.

라그랑주 승수와 관련된 여러 파생상품은 양의 반확정 공분산 행렬을 생성한다.

${\displaystyle g_{ij}(\beta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{i}\partial \beta ^{j}}}\left(-\log Z(\beta )\right)=\langle \left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\rangle \right)\rangle }$

이 행렬은 양수 반확률이며, 특히 리만 메트릭스로 해석될 수 있다.라그랑주 승수의 공간을 이런 식으로 미터법으로 평준화하면 리만 다지관으로 변한다.^[1]그러한 다지관의 연구는 정보 기하학이라고 일컬어진다. 위의 측정기준은 피셔 정보 측정기준이다.여기서 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) 다지관의 좌표 역할을 한다$$.위의 정의를 그것이 영감을 주는 단순한 피셔 정보와 비교하는 것은 흥미롭다.

위와 같은 정의가 피셔 정보 메트릭스를 정의하는 것은 기대값을 명시적으로 대체함으로써 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}(\beta )&=\langle \left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\rangle \right)\rangle \\&=\sum _{x}P(x)\left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\rangle \right)\\&=\sum _{x}P(x)\왼쪽(H_{i}+{\frac}{\partial \log Z}{\partial \beta _{i}}\partial \log Z}{\partial \beta _{j}}\rig}\rig}\오른쪽)\\&=\sum _{x}P{\frac {\partial \log P(x)}{\partial \beta ^{i}}{\partial \p(partial \log P)}{\partial \beta ^{j}\ended}}}}}}}}}}}}$

where we've written ${\displaystyle P(x)}$ for ${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\dots )}$ and the summation is understood to be over all values of all random variables ${\displaystyle X_{k}}$. For continuous-valued random variables, the summations are replaced by integrals, of course.

신기하게도, 피셔 정보 메트릭은 또한 그것에 관한 주요 기사에서 설명한 대로 변수의 적절한 변경 후에 평탄한 공간 유클리드 메트릭으로 이해할 수 있다.$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 복합적으로 값을 매길 경우 결과 메트릭은 Fubini-Study 메트릭이다.순수한 상태 대신에 혼합된 상태의 용어로 쓰여질 때, 그것은 Bures 미터법으로 알려져 있다.

상관 함수

파티션 함수에 인위적인 보조함수 $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}${\$displaystyle J_{k}$를 도입하여 무작위 변수의 기대값을 얻을 수 있다.그러므로 예를 들면 글로써

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta ,J)&=Z(\beta ,J_{1},J_{2},\dots )\\&=\sum _{x_{i}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )+\sum _{n}J_{n}x_{n}\right)\end{aligned}}}$

한 사람이 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf {E} [x_{k}]=\langle x_{k}\angle =\왼쪽.{\frac {\partial }{\partial J_{k}}\log Z(\beta ,J)\오른쪽 _{J=0}$

x ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 기대값으로$,$ 양자장 이론의 경로 적분형식에서 이러한 보조함수를 흔히 소스장이라고 한다.

여러 가지 차이점이 랜덤 변수의 연결된 상관 함수로 이어진다.따라서 변수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$와 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ x_${j}$ 사이의$$ 상관 함수 $C(x_{j},x_{k})$는 다음과 같이 지정된다$$.

${\displaystyle C(x_{j},x_{k}=\왼쪽).{\frac {\partial }{\partial J_{j}}{\partial J_{k}}\log Z(\beta ,J)\right _{J=0}}$

가우스 통합

H를 미분 연산자를 포함하는 이차적 형태로 작성할 수 있는 경우, 즉 다음과 같다.

${\displaystyle H={\frac {1}{1}2}}\sum _{n}x_{n}Dx_{n}}}}}$

그러면 칸막이 함수는 가우스인에 대한 합이거나 적분으로 이해될 수 있다.상관 함수 $C{\displaystyle (x_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$, x ${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle C(x_{j},x_{k}})$는 미분 연산자에 대한 그린의 함수로 이해할 수 있으며$$, 일반적으로 프레드홀름 이론을 발생시킨다.양자장 이론 설정에서, 그러한 함수들을 전파자라고 부른다; 더 높은 순서의 상관관계를 n-point 함수라고 부른다; 그것들과 함께 일하는 것은 이론의 효과적인 작용을 정의한다.

랜덤 변수가 반 커밍 그래스만 숫자일 경우, 파티션 함수는 연산자 D의 결정요인으로 표현될 수 있다.이것은 베레진 적분(그라스만 적분이라고도 한다)으로 적음으로써 이루어진다.

일반 속성

파티션 함수는 중요한 스케일링, 보편성을 논의하기 위해 사용되며, 리노말화 그룹의 적용을 받는다.

참고 항목

• 지수군
• 파티션 함수(통계 역학)
• 파티션 문제
• 마르코프 랜덤 필드

참조