지수 효용

경제학과 금융에서 지수 효용성은 효용 함수의 특정한 형태로서, 위험(때로는 불확실성이라고도 함)이 존재할 때 편리함 때문에 어떤 맥락에서 사용되며, 이 경우 기대 효용이 극대화된다.공식적으로 지수 효용은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle u(c)={\e^{-ac}/a&a\neq 0\c&a=0\\c&a=\case{case}}}$

C{\displaystyle c}는 변수는 경제 정책 결정자, 소비 등 미국의 더 선호한다,{\displaystyle}는 위험 선호의 정도( 시퀀스를 나타내는 상수입니다;위험 회피에 0{\displaystyle a>0}, risk-neutrality을 a=0{\displaystyle a=0}, 또는<0{\displaystyle a<0}위험 추구를 위해위험 회피만 허용되는 상황에서는 공식을 $u{\displaystyle (c}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle e^{}}$- ${\displaystyle c^{}}$ ${\$로 단순화하는 경우가 많다$.$

상기 함수의 첨가 용어 1은 수학적으로 무관하며, c에 대한 비 음수 값의 영역 위에 함수의 범위를 0과 1 사이에 유지한다는 미학적 특징에만 (때로는) 포함되어 있다는 점에 유의한다.The reason for its irrelevance is that maximizing the expected value of utility ${\displaystyle u(c)=(1-e^{-ac})/a}$ gives the same result for the choice variable as does maximizing the expected value of ${\displaystyle u(c)=-e^{-ac}/a}$; since expected values of utility (효용함수 자체에 반대되는)는 일반적으로 카디널 대신 해석되며 기대효용값의 범위와 부호는 중요하지 않다.

지수 효용 함수는 쌍곡선 절대 위험 회피 효용 함수의 특별한 경우다.

위험 회피 특성

지수 효용성은 지속적 절대 위험 회피(CARA)를 의미하며, 절대 위험 기피 계수는 상수와 같다.

${\displaystyle {\frac {-u'(c)}{u'}}}=a.}$

예를 들어,^[1][2] 하나의 위험자산과 하나의 무위험자산의 표준모형에서, 이 특성은 위험자산의 최적 보유가 초기 재산 수준과 무관하다는 것을 의미한다. 따라서 여백에 추가 자산은 무위험자산의 추가 보유에 전적으로 배분될 것이다.이 특징은 지수 효용 함수가 비현실적으로 여겨지는 이유를 설명한다.

수학적 견인성

일정한 상대위험회피(CRRA)를 나타내는 등탄성 효용성은 (다른 효용함수가 절대위험회피 감소를 나타내는 것과 마찬가지로) 더 그럴듯하게 여겨지지만, 지수 효용은 많은 계산에 특히 편리하다.

소비 예제

예를 들어, 소비 c가 노동공급 $x$와 임의 용어 term${\displaystyle \epsilon }$: c = c(x) +$$+ {\$displaystyle \epsilon }$의 함수라고 가정하면 지수 효용에서 기대 효용이 다음과 같이 제공된다$.$

${\displaystyle {\text{E}(u(c))={\text{E}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )},}$

여기서 E는 기대 연산자다.일반적으로 분산된 소음, 즉

${\displaystyle \varepsilon \sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!}$

E(u(c)는 다음과 같은 사실을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\text{E}}[e^{-a\varepsilon }]=e^{-a\mu +{\frac{a^{2}}:\sigma ^{2}}.}$

그러므로

${\displaystyle {\text{E}(u(c))={\text{E}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}]={\text{E}[1-e^{-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon }]=1-e^{-e^{-a(x)}e^{-a\mu +{\frac{a^{2}}:\sigma ^{2}}.}$

다중 자산 포트폴리오 예

기대 지수 효용 $E{\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$- a ${\displaystyle W^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{$$E}[-e^{-aW}]}$의 최종 재산 W의 대상

${\displaystyle W=x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 프라임 부호는 벡터 트랜스포즈를 나타내며 $W{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$이 초기 재산인 경우$$, x는 n 위험 자산에 배치된 수량의 열 벡터, r은 n 자산에 대한 확률적 수익의 무작위 벡터, k는 하나의 벡터(${\displaystyle {그래서\mathrm{}}_{}}$ 0 - x${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}${\$displaystytyle W_{0}-x'k$}-x'k$$$}).$무위험자산) 및 r은_f 무위험자산의 알려진 스칼라 수익률이다.더 나아가 확률 벡터 r이 공동으로 정규 분포를 따른다고 가정하자.그러면 예상 효용성은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle {\text{E}[-e^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a]{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}}}}}=-e^{a[(W_{0}-x'k)r_{f}}}}}{\text{\cdata.E}}[e^{-a}\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}}}e^{-a\cdot x'\mu +{a^{2}}:\sigma ^{2}}:}}}$

여기서 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$은 벡터 r의 평균 벡터$$, $and{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$\ \$ma ^{2}}$은 최종 부의 분산이다.이를 극대화하는 것은 최소화하는 것과 같다.

${\displaystyle e^{ar_{f}(x'k)-a\cdot x'\mu+{\frac{a^{2}}:}\frakma ^{2}},}$

이는 다시 최대화와 같다.

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\cdma ^{2}.}$

r의 공분산 행렬을 V로 나타내며, 최종$$ 부 ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$^{$2}}:$ $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'Vx}$로 기록할 수 있다$.$따라서 위험자산에 배치할 수량의 선택 벡터 x와 관련하여 다음 사항을 최대화하고자 한다.

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\cdot x'Vx.}$

이것은 매트릭스 미적분학에서 쉬운 문제인데, 그 해결책이다.

${\displaystyle x^{*}={\frac {1}{a}V^{-1}(\mu -r_{f}\cdot k).}$

이를 통해 (1) 위험자산의 보유 x*는 비현실적인 자산인 초기 자산 W의₀ 영향을 받지 않으며, (2) 각 위험자산의 보유가 작을수록 위험 회피 매개변수 a(직관적으로 예상한 바와 같이)가 크다는 것을 알 수 있다.이 포트폴리오의 예는 지수 효용의 두 가지 주요 특징을 보여준다: 공동 정규성 하에서의 트랙터성과 지속적인 절대 위험 회피의 특징으로 인한 현실성 결여.

참고 항목

• 내방성 위험도 측정
• 등탄성(전력) 효용 함수

참조