확장 칼만 필터

추정 이론에서 확장 칼만 필터(EKF)는 현재 평균과 공분산의 추정치를 선형화하는 칼만 필터의 비선형 버전입니다.잘 정의된 전이 모델의 경우, EKF는 비선형 상태 추정, 내비게이션 시스템 및 ^[2]GPS 이론에서 사실상의 표준으로 간주되어^[1] 왔다.

역사

칼만 타입 필터의 수학적 기초를 확립하는 논문은 1959년부터 ^[3]^[4]^[5]1961년 사이에 발표되었습니다.Kalman 필터는 전환 시스템과 측정 시스템 모두에서 백색 노이즈가 가미된 선형 시스템 모델에 가장 적합한 선형 추정기입니다.공교롭게도 엔지니어링 분야에서는 대부분의 시스템이 비선형이기 때문에 이 필터링 방법을 비선형 시스템에 적용하려고 했습니다. 이 작업의 대부분은 NASA ^[6]^[7]Ames에서 수행되었습니다.EKF는 미적분 기술, 즉 다변량 테일러 급수 확장을 적용하여 작업점에 대한 모형을 선형화했습니다.시스템 모델(아래 설명)이 잘 알려져 있지 않거나 부정확한 경우, 몬테카를로 방법, 특히 입자 필터가 추정에 사용된다.몬테카를로 기법은 EKF의 존재보다 앞서지만 중간 차원 상태 공간에 대해서는 계산 비용이 더 많이 든다.

공식화

확장 Kalman 필터에서 상태 전이 및 관측 모델은 상태의 선형 함수일 필요가 없으며 대신 미분 가능한 함수일 수 있습니다.

{\boldsymbol {x}=fbold\boldsymbol {x}_{k}, {\boldsymbol {u}_{k}}+{\boldsymbol {w}_{k}}

{\boldsymbol {z}}_{k}=hdisplay\boldsymbol {x}_{k}+{\boldsymbol {v}_{k}}

여기서_k w와_k v는 각각 공분산_k Q와_k R을 갖는 0 평균 다변량 가우스 소음으로 가정되는 프로세스 및 관측 소음이다.u는_k 제어 벡터입니다.

함수 f는 이전 추정치에서 예측 상태를 계산하는 데 사용할 수 있으며, 마찬가지로 함수 h는 예측 상태에서 예측된 측정을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.그러나 f와 h를 공분산에 직접 적용할 수는 없습니다.대신 편도함수 행렬(야코비안)이 계산된다.

각 시간 단계에서 Jacobian은 현재 예측 상태로 평가됩니다.이러한 행렬은 Kalman 필터 방정식에 사용할 수 있습니다.이 프로세스는 기본적으로 현재 추정치를 중심으로 비선형 함수를 선형화합니다.

주의사항에 대해서는 Kalman Filter 기사를 참조하십시오.

이산 시간 예측 및 업데이트 방정식

표기법 x ${\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}$ ^ n ${\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}$ m {\style ${\mathbf {x}}_{n\mid$ m $}$ 은 ${\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}$ m n n까지의 관측치가 주어진 시점 n에서의 $\mathbf {x}$ x {\ $displaystyle \mathbf {x}}$ 의 $\mathbf {x}$ 추정치를 나타낸다.

예측

예측 상태 추정치	${\boldsymbol {x}}_{k-1}_{boldsymbol {x}=ffhat\hat {k-1}, {\boldsymbol {\boldsymbol {u}}_{k}}}$
예측 공분산 추정치	${\boldsymbol {P}_{k-1}=boldsymbol {F}_{k}}_{k}{\top}}+{\boldsymbol {Q}_{k}}}}{\boldsymbol {k-1}}$

갱신하다

혁신 또는 측정의 잔량	$({displaystyle {tilde {boldsymbol {y}}_{k}={k}_hat {boldsymbol {x}_{k-1})$
혁신(또는 잔차) 공분산	$\displaystyle {\boldsymbol {S}_{k}=boldsymbol {H}}_{k-1}{\boldsymbol {H}}_{k}{\top}}}+{\boldsymbol {R}_{k}}}} {k}}}$
최적에 가까운 칼만 게인	${\boldsymbol {K}_{k}={k-1}{\boldsymbol {H}_{k}^{\top}}{\boldsymbol {S}_{k}^-1}$
상태 견적 갱신	$\displaystyle \hat \ boldsymbol {x} _ {kkk} = \boldsymbol {x} + {\boldsymbol {K} {\tilde \boldsymbol {y} _ {k} }$
업데이트된 공분산 추정치	$\displaystyle {\boldsymbol {P}_{kk}=display\boldsymbol {I}-{\boldsymbol {K}}_{k}}{\boldsymbol {P}_{k-1}}}$

여기서 상태 전이 및 관찰 행렬은 다음과 같은 야코비안들로 정의된다.

{{\boldsymbol {F}}_{k}}=\left.{\frac {\boldsymbol {x}}\right \vert _{\hat {\boldsymbol {x}}_{k-1}, {\boldsymbol {u}_{k}}

{{\boldsymbol {H}}_{k}}=\left.{frac h} {\boldsymbol {x}} {\hat {\boldsymbol {x}}_{k k-1}

단점들

선형 필터와 달리 확장 Kalman 필터는 일반적으로 최적의 추정기가 아닙니다(이 경우 확장 Kalman 필터가 일반 필터와 동일한 것처럼 측정 및 상태 전이 모델이 모두 선형인 경우 최적입니다).또한 상태의 초기 추정치가 잘못되었거나 프로세스가 잘못 모델링된 경우 선형화 때문에 필터가 빠르게 분산될 수 있습니다.확장 칼만 필터의 또 다른 문제는 추정된 공분산 행렬이 실제 공분산 행렬을 과소평가하는 경향이 있기 때문에 "안정적 노이즈"를 추가하지 않으면 통계적 의미에서 일관성이 없어질 위험이 있다는 것이다.

이를 통해 확장 칼만 필터는 합리적인 성능을 제공할 수 있으며, 내비게이션 시스템과 GPS에서 사실상 표준이 될 수 있습니다.

일반화

연속 시간 확장 Kalman 필터

모델

{\displaystyle{\begin{정렬}{\dot{\mathbf{)}}}(t)&, =f{\bigl(}\mathbf{x}(t),\mathbf{너}(t){\bigr)}+\mathbf{w}(t)&,\mathbf{w}(t)&, \sim{{N\mathcal}}{\bigl(}\mathbf{0}일 경우 ,\mathbf{Q}(t){\bigr)}\\\mathbf{z}(t)&, =h{\bigl(}\mathbf{x}(t){\bigr)}+\mathbf{v}(t)&,\mathbf{v}(t)&, \sim{{N\mathcal}}{\bigl(}\mathbf.{0},\mathbf{R}(t){\bigr)}\end {aligned}}

초기화

(\displaystyle\hat {x}}}(t_{0})=E{\bigl [}\mathbf {x}(t_{0}){\bigr ]}{\text{,}}\mathbf {P}(t_{0})=Var{\mathbf {x}(t_{0}{\bigr }}}}

Predict-update

{\displaystyle{\begin{정렬}{\dot{\hat{\mathbf{)}}}}(t)&, =f{\bigl(}{{\mathbf{x}}}(t\hat),\mathbf{너}(t){\bigr)}+\mathbf{K}(t){\Bigl(}\mathbf{z}(t)-h{\bigl(}{{\mathbf{x}}}(t\hat){\bigr)}{\Bigr)}\\{\dot{\mathbf{P}}}(t)&, =\mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t)+\mathbf{P}(t)\mathbf{F}(t)^{\top}-\mathbf{K}(t)\mathbf{H}(.t=\mathbf {P}(t)+\mathbf {Q}(t)\\mathbf {K}(t)&=\mathbf {P}(t)\mathbf {H}(t){\top}\mathbf {R}(t){-1}\\\mathbf {F}(t=왼쪽).{\frac {\mathbf {x}}\right \vert _{\hat {\mathbf {x}}(t),\mathbf {u}(t)}\\mathbf {H}(t)&=좌측.{\frac {\frac h} {\mathbf {x}}\right\vert _{\hat {\mathbf {x}}(t)}\end {aligned}}

이산 시간 확장 Kalman 필터와 달리 예측 및 업데이트 단계는 연속 시간 확장 Kalman ^[9]필터에서 결합됩니다.

이산 시간 측정

대부분의 물리적 시스템은 연속 시간 모델로 표현되며, 이산 시간 측정은 디지털 프로세서를 통해 상태 추정을 위해 자주 수행됩니다.따라서 시스템 모델과 측정 모델은 다음과 같이 제공됩니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\dot{\mathbf{)}}}(t)&, =f{\bigl(}\mathbf{x}(t),\mathbf{너}(t){\bigr)}+\mathbf{w}(t)&,\mathbf{w}(t)&, \sim{{N\mathcal}}{z}_{k}&{\bigl(}\mathbf{0}일 경우 ,\mathbf{Q}(t){\bigr)}\\\mathbf, =h(\mathbf{x}_{k})+\mathbf{v}_{k}&,\mathbf{v}_{k}&, \sim{{N\mathcal}}(\mathbf{0},\mathbf{R}_{.k})\end{정렬}}}

$\mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})$ 서 x k $=$ ( $\mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})$ ) { $displaystyle \mathbf {x} _{k$ }=\ $mathbf {x}$ ( $t_{k$ 입니다.

초기화

{\mathbf {x}}_{00}=E{\bigl [}\mathbf {x}(t_{0}){\bigr},\mathbf {P}_{0}=E{\bigl [}\left(\mathbf {x})}-{\mathbx}{\mathbf} {x}{\mathb}}{T}{\bigr ]}

예측

{\displaystyle{\begin{정렬}{\text{해결}}&{\begin{경우}{\dot{\hat{\mathbf{)}}}}(t)=f{\bigl(}{{\mathbf{x}}}(t\hat),\mathbf{너}(t){\bigr)}\\{\dot{\mathbf{P}}}(t)=\mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t)+\mathbf{P}(t)\mathbf{F}(t)^{\top}+\mathbf{Q}(t)\end{경우}}\qquad{\text{과}}{\begin{경우}{\hat{\mathbf{)}}}(t_{k-1})={\ha.t{)mathbf {x}}_{k-1 k-1}\\mathbf {P}(t_{k-1})=\mathbf {P}_{k-1}\end{cases}}\rightarrow &{cases}}{\hat {k-1}\mathbf}{k-1}{cases}}}{k-1}}{k-1}}{k-1}}}}}{k-1}}{k-1}}}}{k-hatcases}{k-1}{k-1}}}{k-hat}{

어디에

\displaystyle \mathbf {F}(t)=\left.{\frac {\mathbf {x}}\right\vert _{\hat {\mathbf {x}}}(t)\mathbf {u}}}

갱신하다

\mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k-1} \mathbf {H} {\top} {\bigl (}\mathbf {H} _{k-1} \mathbf {H} {P} _{k+} {k} {kop} {k} {k

({displaystyle {mathbf {x}}_{kkk}={mathbf {x}+\mathbf {K}_{k}{\bigl(}\mathbf {z}_hhhat {mathbf {x}}}}_{k-1}})

\displaystyle \mathbf {P} _{kk}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k} \mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k-1})

어디에

{H}}_{k}=\left.{frac h} {\textbf {x}} {\hat {\textbf {x}}_{k k-1}

업데이트 공식은 이산 시간 확장 Kalman 필터의 공식과 동일합니다.

고차 확장 Kalman 필터

위의 재귀는 1차 확장 Kalman 필터(EKF)입니다.고차 EKF는 Taylor 계열 확장 조건을 더 많이 유지함으로써 얻을 수 있다.예를 들어, 2차 및 3차 EKF가 ^[10]기술되어 있습니다.그러나 고차 EKF는 측정 소음이 작을 때만 성능 편익을 제공하는 경향이 있다.

비첨가성 소음 공식 및 방정식

EKF의 일반적인 공식은 첨가 공정과 측정 노이즈의 가정을 수반한다.그러나 이 가정은 EKF 구현에는 ^[11]필요하지 않다.대신 보다 일반적인 형식의 시스템을 고려하십시오.

({displaystyle {x}_{k}=fbold\boldsymbol {x}_{k-1}, {\boldsymbol {u}_{k-1}, {\boldsymbol {w}_{k-1})

{\boldsymbol {z}}_{k}=hboldsymbol {x}_{k}, {\boldsymbol {v}}_{k}}

여기서_k w와_k v는 각각 공분산_k Q와_k R을 갖는 0 평균 다변량 가우스 소음으로 가정되는 프로세스 및 관측 소음이다.그러면 공분산 예측과 혁신 방정식이

{\boldsymbol {P}_{k-1}={\boldsymbol {F}_{k-1k-1}}{\boldsymbol {F}_{k-1}}{\top}{+}{\boldsymbol {L-1}}}{{K-1}}}}{{K-1}}}}}}}}}{{\boldsymboldsymboldsymbol {\climboldsymbol {F-1}}}}

{S}_{k}=boldsymbol {H}_{k-1}{\boldsymbol {P}}_{k}{\top }{+}{\boldsymbol {M}_{k}}{{\boldsymbol}{{k}}{{\boldsymbol}}{{{{{k}}}}}}}{{{{{{\boldsymboldsymboldsymbol}}}}}}{{{{T}}

${\boldsymbol {L}}_{k-1}$ 서 행렬 ${\boldsymbol {L}}_{k-1}$ k - $(\displaystyle$ { $L}_{k-1})$ ${\boldsymbol {M}}_{k}$ ${\boldsymbol {M}}_{k}$ k(\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {M}}_{$ k ${\boldsymbol {M}}_{k}$ })는 Jacobian 행렬입니다.

{{\boldsymbol {L}}_{k-1}}=\left.{frac {\boldsymbol {w}}}\right\vert _{\hat {\boldsymbol {x}_{k-1},{\boldsymbol {u}_{k-1}}

{{\boldsymbol {M}}_{k}}=\left.{frac h} {\boldsymbol {v}} {\hat {\boldsymbol {x}}_{k k-1}

예측 상태 추정치와 측정 잔차는 0으로 가정되는 프로세스 및 측정 소음 조건의 평균에서 평가된다.그렇지 않으면 비첨가성 소음 공식은 첨가 소음 EKF와 동일한 방식으로 구현된다.

암묵적 확장 Kalman 필터

${\boldsymbol {z}}_{k}$ 에 따라서는 z ${\boldsymbol {z}}_{k}$ k {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {z}}_{k$ 에 대해 비선형 시스템의 관측 모델을 해결할 수 없지만 다음과 같은 함수로 나타낼 수 있습니다.

hboldsymbol {x}_{k}, {\boldsymbol {z'}}_{k}=boldsymbol {0}

${\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}$ 서 z k $=$ ${\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}$ ${\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}$ ${\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}$ + ${\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {z}}_{k$ }= $scoldsymbol {z'}_{k$ }+{\boldsymbol ${v}_{k$ }}}는 ${\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}$ 노이즈가 많은 관측치입니다.

기존 확장 Kalman 필터는 다음과 같은 ^[12]^[13]대체 방법으로 적용할 수 있습니다.

{{\boldsymbol {R}_{k}}\left 화살표 {{\boldsymbol {J}_{k}}{\boldsymbol {R}_{k}}{\boldsymbol {J}}_{k}}{\boldsymbol {K}}}{T}}}

{tilde {the} _ {k} \ left 화살표 - hat { bold symbol {x} } _ {k-1} , {\ bold symbol {z} _ {k} }

여기서:

{{\boldsymbol {J}}_{k}}=\left.{frac h} {\boldsymbol {z}} {\hat {\boldsymbol {x}}_{k-1}, {\hat {\boldsymbol {z}}_{k}}

여기에서는 원래의 관측 공분산 ${{\boldsymbol {R}}_{k}}$ R ${{\boldsymbol {R}}_{k}}$ k $({\displaystyle {\$ boldsymbol {R $}}_{k})$ 를 변환하고, ${\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}$ y $(\$ })를 ${\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}$ 다르게 정의한다.야코비안 ${{\boldsymbol {H}}_{k}}$ ${{\boldsymbol {H}}_{k}}$ k ${{\boldsymbol {H}}_{k}}$ {{ $style {\boldsymbol {H}}_{k}}}$ 는 ${{\boldsymbol {H}}_{k}}$ 기존과 같이 정의되지만 암묵적인 관찰 $h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z}}_{k})$ h $h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z}}_{k})$ k, $h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z}}_{k})$ k $)$ { $display$ h $({\boldsymbol {x}_{k},$ {\ $boldsymbol {z}}_{k$ 에서 결정됩니다.

변경 사항

확장 Kalman 필터 반복

반복 확장 Kalman 필터는 Taylor 확장의 중심점을 재귀적으로 수정하여 확장 Kalman 필터의 선형화를 개선합니다.이것에 의해, 연산 ^[13]요건의 증가에 수반해 선형화 에러가 감소합니다.

견고한 확장 Kalman 필터

확장 칼만 필터는 현재 상태 추정치에 대한 신호 모델을 선형화하고 선형 칼만 필터를 사용하여 다음 추정치를 예측함으로써 발생합니다.이것은 국소적으로 최적의 필터를 생성하려고 시도하지만, 기초가 되는 Riccati 방정식의 해는 양의 확정을 보장하지 않기 때문에 반드시 안정적이지 않다.성능을 향상시키는 한 가지 방법은 최적성과 안정성을 교환하는 가짜 대수 리카티 기법입니다^[14].확장 칼만 필터의 익숙한 구조는 유지되지만, 게인 설계에 대한 가짜 대수 리카티 방정식의 양의 확정해를 선택함으로써 안정성이 달성된다.

확장 Kalman 필터 성능을 향상시키는 또 다른 방법은 강력한 제어에 의한 H-infinity 결과를 사용하는 것입니다.견고한 필터는 설계 리카티 ^[15]방정식에 양의 확정항을 추가함으로써 얻을 수 있다.추가 항은 설계자가 평균 제곱 오차 및 최대 오차 성능 기준 간의 균형을 달성하기 위해 조정할 수 있는 스칼라에 의해 매개변수가 지정된다.

불변 확장 칼만 필터

불변 확장 칼만 필터(IEKF)는 대칭(또는 비균형)을 가진 비선형 시스템을 위해 수정된 EKF 버전이다.EKF와 최근 도입된 대칭 유지 필터의 장점을 결합한 것입니다.IEKF는 선형 출력 오차에 기초한 선형 보정 항을 사용하는 대신 불변 출력 오차에 기초한 기하학적으로 조정된 보정 항을 사용합니다. 이와 마찬가지로 게인 행렬은 선형 상태 오류에서 업데이트되지 않고 불변 상태 오류에서 업데이트됩니다.주된 이점은 EKF의 경우처럼 평형점보다 훨씬 큰 궤적의 집합에서 게인과 공분산 방정식이 일정한 값으로 수렴된다는 것이다. 이는 추정의 더 나은 수렴을 가져온다.

무향료 칼만 필터

EKF보다 개선된 것으로 기대되는 비선형 칼만 필터는 무향료 칼만 필터(UKF)이다.영국에서는 확률밀도는 기초분포를 가우스로서 나타내는 점의 결정론적 샘플링에 의해 근사된다.이러한 점의 비선형 변환은 변환된 표본에서 모멘트를 도출할 수 있는 후방 분포를 추정하기 위한 것이다.이 변환을 무향 변환이라고 합니다.UKF는 EKF보다 모든 방향에서 오류를 추정하는 데 있어 더 견고하고 정확한 경향이 있다.

"확장 칼만 필터(EKF)는 비선형 시스템에 가장 널리 사용되는 추정 알고리즘입니다.그러나 견적 커뮤니티에서 35년 이상의 경험을 통해 이는 구현이 어렵고 조정하기가 어려우며 업데이트 시간 척도에 따라 거의 선형에 가까운 시스템에 대해서만 신뢰성이 있음을 알 수 있었습니다.이러한 어려움의 대부분은 선형화 ^[1]사용에서 비롯됩니다."

2012년 논문에는 UKF의 일부 공개된 변형 모델이 증강 칼만 ^[16]필터로도 알려진 2차 확장 칼만 필터(SOEKF)만큼 정확하지 않다는 시뮬레이션 결과가 포함되어 있다.SOEKF는 Bass ^[17]등이 최초로 설명한 모멘트 다이내믹스를 통해 UKF보다 약 35년 앞서 있다.비선형 상태 전이를 위한 칼만형 필터 구현의 어려움은 ^[18]정밀도에 필요한 수치 안정성 문제에서 비롯되지만, 영국 연방은 선형화, 즉 선형 회귀를 사용한다는 점에서 이러한 어려움을 벗어나지 못한다.영국F의 안정성 문제는 일반적으로 공분산 행렬의 제곱근에 대한 수치 근사에서 비롯되는 반면, EKF와 SOEKF 모두에 대한 안정성 문제는 궤적을 따른 테일러 시리즈 근사에서 가능한 문제에서 비롯된다.

앙상블 칼만 필터

사실 UKF는 1994년 Evensen이 고안한 Ensemble Kalman 필터에 의해 선행되었다.이는 사용된 앙상블 멤버의 수가 주 차원보다 훨씬 적을 수 있어 10억 개 이상의 주 공간 크기를 가진 기상 예측과 같은 매우 고차원적인 시스템에서 응용할 수 있다는 장점이 있다.

퍼지 칼만 필터

가능성 분포를 나타내는 새로운 방법을 가진 퍼지 칼만 필터는 최근 진정한 가능성적 필터를 얻기 위해 확률 분포를 가능성 분포로 대체하여 비대칭 프로세스와 관찰 노이즈를 사용할 수 있게 하고 프로세스와 관찰 모델 모두에서 더 높은 부정확성을 가능하게 하는 것이 제안되었다.를 클릭합니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

주행거리 측정 및 랜드마크를 기반으로 한 디퍼렌셜 휠 로봇의 위치 추정

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