외부 솔루션 및 누락 솔루션

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수학에서, 외부 해법(또는 가짜 해법)은 문제 해결 과정에서 나오는 방정식과 같은 해법이지만, 그 문제에 대한 유효한 해법은 아니다.^[1]누락된 해결책은 문제의 유효한 해결책이지만 문제 해결 과정에서 사라진 해결책이다.둘 다 종종 변수의 일부 또는 모든 값에 대해 되돌릴 수 없는 작업을 수행함으로써 입증의 논리적 함의 연쇄가 양방향으로 이루어지는 것을 방지한다.

관련 없는 솔루션: 곱하기

대수학의 기본 원리 중 하나는 방정식의 해답을 바꾸지 않고도 방정식의 양쪽을 같은 식에 곱할 수 있다는 것이다.그러나, 엄밀히 말하면, 특정 표현에 의한 곱셈은 이전에는 존재하지 않았던 새로운 해결책을 도입할 수도 있다는 점에서, 이것은 사실이 아니다.예를 들어 다음 방정식을 생각해 보십시오.

${\displaystyle x+2=0.}$

양쪽을 0으로 곱하면

$0=0.}$

이는 x의 모든 값에 해당하므로 솔루션 집합은 모두 실제 숫자로 되어 있다.그러나 분명히 모든 실제 숫자가 원래의 방정식에 대한 해결책은 아니다.문제는 0에 의한 곱셈은 되돌릴 수 없다는 것이다. 0에 의한 곱셈은 0이 아닌 값으로 곱하면 같은 값으로 나누어서 그 단계를 역전시킬 수 있지만 0에 의한 곱셈은 정의되지 않기 때문에 0에 의한 곱셈은 되돌릴 수 없다.

좀 더 미묘하게, 같은 방정식을 취해서 양쪽을 x로 곱한다고 가정하자.우리는 얻는다.

${\displaystyle x(x+2)=(0)x,}$

${\displaystyle x^{2}+2x=0.}$

이 2차 방정식은 2와 0이라는 두 가지 해법이 있다.그러나 0이 x를 원래의 방정식으로 대체하면 결과는 유효하지 않은 방정식 2 = 0이 된다.이러한 반직관적 결과는 x=0의 경우 양쪽에 x를 곱하면 양쪽에 0을 곱하기 때문에 첫 번째 예와 마찬가지로 반드시 참 방정식을 생성하기 때문이다.

일반적으로, 우리가 변수를 포함하는 표현으로 방정식의 양쪽을 곱할 때마다, 우리는 그 표현이 0과 같은 곳이면 어디든지 관계없는 해결책을 도입한다.그러나 이러한 값들이 원래의 방정식에 대한 정당한 해결책이었을 수도 있기 때문에 배제하기에는 충분하지 않다.예를 들어, 원래 방정식의 양쪽을 x + 2 = 0 x x + 2로 곱한다고 가정합시다.우리는 얻는다.

${\displaystyle (x+2)(x+2)=0(x+2),}$

${\displaystyle x^{2}+4x+4=0,}$

x = -2라는 하나의 실제 해법만을 가지고 있으며, 이는 원래 방정식에 대한 해법이기 때문에 x + 2는 x의 이 값에 대해 0이더라도 제외할 수 없다.

관련 없는 솔루션: 합리적

외부 솔루션은 분모에 변수가 있는 분수와 관련된 문제에서 자연스럽게 발생할 수 있다.예를 들어 다음 방정식을 고려해 보십시오.

${\displaystyle {\frac {1}{x-2}={\frac {3}{x+2}}-{\frac {6x}{(x-2)(x+2)}}}}},.}$

해결을 시작하기 위해 방정식의 각 면에 방정식에 포함된 모든 분수의 최소 공통 분모를 곱한다.이 경우 최소 공통분모는${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$+ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x-2)(x+2$ 이러한 연산을 수행한 후에는 분수가 제거되고 방정식은 다음과 같이 된다.

$(\displaystyle x+2=3(x-2)-6x\,}$

이를 해결하면 단일 솔루션 x = -2가 나온다.그러나 솔루션을 원래의 방정식으로 다시 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac{1}{-2-2-2}}={\frac {3}{-2+2}}-{\frac {6(-2)}{(-2-2)}}}}}},.}$

그러면 방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{-4}={\frac {3}{0}+{\frac {12}{0}}\,}$

이 방정식은 0으로 나눌 수 없기 때문에 유효하지 않다.따라서 x = –2 용액은 무관하며 유효하지 않으며, 원래 방정식은 해법이 없다.

이 구체적인 예에 대해서는 (x=-2)의 값에 대해 $({\displaystyle x}$- ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle (\mathrm{x}}$+ 2 $){\displaystyle (x-2)(x+2)}}$을 곱한 연산이 0으로 곱한$$ 것임을 인식할 수 있다.그러나 이미 수행된 각 연산이 최종 정답에 의해 허용되었는지 여부를 평가하는 것이 항상 간단한 것은 아니다.이 때문에 종종 변수를 포함하는 표현에 의해 곱셈을 처리하는 유일한 간단한 효과적인 방법은 얻은 각 솔루션을 원래의 방정식으로 대체하고 이것이 유효한 방정식을 산출하는지 확인하는 것이다.유효하지 않은 방정식을 산출하는 용액을 폐기한 후에, 우리는 올바른 용액 세트를 가질 것이다.위의 예와 같이 모든 용액을 폐기할 수 있는 경우도 있는데, 이 경우 원래 방정식은 해법이 없다.

누락된 솔루션: 분할

관련 없는 해결책은 모든 해결책의 유효성을 확인하기만 하면 되기 때문에 다루기가 그리 어렵지 않다.그러나 더 음흉한 것은 누락된 해결책이며, 이는 해당 표현식의 특정 값에 대해 유효하지 않은 표현에 대한 연산을 수행할 때 발생할 수 있다.

예를 들어 다음과 같은 방정식을 풀고 있다면 양쪽에서 4를 뺀 다음 양쪽으로 2를 나누면 정확한 해법이 얻어진다.

${\displaystyle 2x+4=0,}$

${\displaystyle 2x=-4,}$

${\displaystyle x=-2.}$

유추에 의해, 우리는 양쪽에서 2x를 뺀 다음 x로 나누면 다음과 같은 방정식을 풀 수 있다고 생각할 수 있다.

${\displaystyle x^{2}+2x=0,}$

${\displaystyle x^{2}=-2x,}$

${\displaystyle x=-2.}$

x = -2 용액은 사실 원래의 방정식에 대한 유효한 해법이지만, 다른 해법인 x = 0은 사라졌다.문제는 양쪽을 x로 나누었는데, x = 0일 때 0으로 나누는 불확실한 연산이 수반된다는 것이다.

일반적으로 0이 될 수 있는 어떤 표현으로 나누지 않는 것이 가능(그리고 권장)하지만, 이것이 필요한 경우, 0이 되는 변수의 값도 원래의 방정식을 만족시키지 못하는 것으로 충분하다.예를 들어 다음과 같은 방정식이 있다고 가정합시다.

${\displaystyle x+2=0.}$

양쪽을 x-2로 나누어 다음과 같은 방정식을 얻는 것이 유효하다.

${\displaystyle {\frac {x+2}{x-2}=0.}$

x-2를 0으로 만드는 x의 유일한 값은 x=2이고, x=2는 원래 방정식에 대한 해법이 아니기 때문에 유효하다.

어떤 경우에 우리는 특정한 해결책에 관심이 없다; 예를 들어, 우리는 x가 긍정적인 경우에만 해결책을 원할 수 있다.이 경우 x가 0일 때 또는 음일 때 0인 표현으로 나누어도 괜찮다. 왜냐하면 이것은 우리가 신경 쓰지 않는 해결책만 제거할 수 있기 때문이다.

기타 작업

솔루션 세트를 수정할 수 있는 작업은 곱셈과 나눗셈만이 아니다.예를 들어 다음과 같은 문제를 들어 보십시오.

${\displaystyle x^{2}=4.}$

양쪽의 긍정적인 제곱근을 취하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$(\displaystyle x=2).}$

x와² 4는 모두 반드시 양수이기 때문에 여기서는 어떠한 음수 값의 제곱근도 취하고 있지 않다.그러나 우리는 해결책 x = -2를 잃었다.그 이유는 x가 실제로 x의² 양의 제곱근은 아니기 때문이다. x가 음이면 x의² 양의 제곱근은 -x이다. 이 단계를 정확하게 밟으면 대신 다음과 같은 방정식으로 이어진다.

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}={\sqrt {4}}.}$

${\displaystyle x =2.}$

$(\displaystyle x=\pm 2.}$

이 방정식은 원래 방정식과 같은 두 가지 해법, 즉 x = 2와 x = -2를 갖는다.

우리는 또한 양쪽을 제곱함으로써 용액 세트를 수정할 수 있는데, 이는 방정식의 범위에서 어떠한 음의 값도 양으로 만들어 외부 용액을 발생시키기 때문이다.

참고 항목

• 유효하지 않은 증명

참조