파비우스 함수

[0,1] 간격의 Fabius 함수를 나타내는 그래프.

음수가 아닌 실수까지 함수의 확장.

수학에서 파비우스 함수는 자프 파비우스(1966)에 의해 발견된, 어느 곳에서도 분석되지 않는 무한히 다른 함수의 예다.의 푸리에 변형이라고 기록되기도 했다.

${\displaystyle {\f}(z)=\prod _{m=1}^{\inflit }\왼쪽(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\오른쪽)^{m}}$

Börge Jessen과 Aurel Wintner(1935).

Fabius 함수는 단위 간격에 정의되며, 의 누적분포함수에 의해 주어진다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infit }2^{-n}\xi _{n}}}$

여기서 ξ은_n 단위 간격에 대해 독립적으로 균일하게 분포된 랜덤 변수다.

This function satisfies the initial condition ${\displaystyle f(0)=0}$, the symmetry condition ${\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}$ for ${\displaystyle 0\leq x\leq 1,}$ and the functional differential equation ${\displaystyle f'(x)=2f(2x)}$ for ${\displaystyle 0\le x}$${\displaystyle 0\leq x\leq 1/2.}$ It follows that ${\displaystyle f(x)}$ is monotone increasing for ${\displaystyle 0\leq x\leq 1,}$ with ${\displaystyle f(1/2)=1/2}$ and ${\displaystyle f(1)=1.}$ There is a unique extension of f to the real numbers that같은 방정식을 만족시키다이 확장은 x ≤ 0의 경우 f (x) = 0, 0 ≤ x ≤ 1의 경우 f (x + 1) = 1 - f (x), 0 ≤ x ≤ 2의^r 경우 f (x + 2^r) = -f (x)로 정의할 수 있다.이 함수가 양수 또는 음수인 간격의 순서는 Thue-Morse 순서와 동일한 패턴을 따른다.

가치

파비우스 함수는 모든 비양성적 논거에 대해 일정한 0이며, 양성 다이라디치 이성적 논거에서 합리적인 값을 가정한다.

참조

• Fabius, J. (1966), "A probabilistic example of a nowhere analytic C ^∞-function", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 5 (2): 173–174, doi:10.1007/bf00536652, MR 0197656, S2CID 122126180
• Jessen, Børge; Wintner, Aurel (1935), "Distribution functions and the Riemann zeta function", Trans. Amer. Math. Soc., 38: 48–88, doi:10.1090/S0002-9947-1935-1501802-5, MR 1501802
• Dimitrov, Youri (2006). Polynomially-divided solutions of bipartite self-differential functional equations (Thesis).
• Arias de Reyna, Juan (2017). "Arithmetic of the Fabius function". arXiv:1702.06487 [math.NT].
• Arias de Reyna, Juan (2017). "An infinitely differentiable function with compact support: Definition and properties". arXiv:1702.05442 [math.CA]. (1982년 스페인어로 출판된 저자의 논문의 영문 번역)
• 알카우스카스, 기드리오스(2001년), "투-모스 수열과 연관된 디리클레 시리즈", 프리프린트.
• Rvachev, V. L., Rvachev, V. A. "경계값 문제에서 근사 이론의 비고전적 방법", Naukova Dumka, Kieve(1979년) (러시아어)

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