인자계통

수학에서 요인 체계(때로는 요인 집합이라고 불리기도 한다)는 집단확장 문제에 대한 오토 슈레이어의 고전 이론의 근본적인 도구다.^[1][2]그것은 일련의 자동화와 특정 조건을 만족하는 그룹에 대한 이항 함수로 구성되어 있다(일명 cocycle 조건).사실, 요소 시스템은 그룹 코호몰로지에서 두 번째 코호몰로지 그룹의 코키클의 실현을 구성한다.^[3]

소개

G는 집단이고 A는 아벨 집단이라고 가정하자.그룹 확장의 경우

$A\to X\to G\to 1,}$

함수 f : G × G → A와 동형성 σ : G → A로 구성된 인자 시스템이 존재하여, 데카르트 제품 G × A를 그룹 X로 만든다.

${\displaystyle (g,a)*(h,b):=(gh,f(g,h)a^{\bma(h)}b.}$

따라서 f는 "그룹 2-코사이클"(기호적으로 Ext(G, A) ≅ H²(G, A))이어야 한다.사실 A는 아벨론일 필요는 없지만, 비아벨론 집단의^[4] 경우는 상황이 더 복잡하다.

만약 f가 사소한 것이고 σ이 내적인 자동화를 준다면, 그 그룹 확장이 분할되어, X는 A와 함께 G의 반간접 제품이 된다.

만일 그룹 대수학이 주어지면, 인자 시스템은 그룹 연산 xy를 f (x, y) xy로 수정하여 그 대수학을 skew-group 대수학으로 수정한다.

적용: 아벨 필드 확장용

G는 그룹이 되고 L은 G가 자동화 역할을 하는 분야로 하자.cocycle 또는 (Noeter) 계수 시스템은^{[5]: 31} 지도 c: G × G → L 만족도^* 입니다.

$[\displaystyle c(h,k)^{g}c(hk,g)=c(h,kg)c(k,g)]}$

cocyles는 원소 a의 일부 계통이 존재한다면 동등하다 : G → L^* 의 경우

${\displaystyle c''(g,h)=c(g,h)(a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}).}$

형태별 코클

${\displaystyle c(g,h)=a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}$

분할이라고 불린다.곱셈모듈로 쪼개진 코코클이 그룹을 형성하고, 두 번째 코호몰로지 그룹² H(G,L^*)를 형성한다.

크로스 제품 알헤브라스

G가 필드 익스텐션 L/K의 갈루아 그룹이라는 것을 예로 들어보자.H²(G,L^*)의 요인 시스템 c는 교차된 제품 대수^{[5]: 31} A를 발생시키며, 이는 L과 u의_g elements 요소에 의해 생성되며, 하위 영역으로 L을 포함하는 K-알지브라이다.

${\displaystyle \lambda u_{g}=u_{g}\lambda ^{g}}$

${\displaystyle u_{g}u_{h}=u_{gh}c(g,h)}$

등가 인자 시스템은 A에서 K에서 기초의 변화에 해당한다.우리는 쓸 수 있다.

$[\displaystyle A=(L,G,c)]}$

교차된 제품 대수 A는 [L : K]^[6]와 같은 정도의 중앙 단순 대수(CSA)이다.역은 다음과 같다: 모든 중심 단순 대수는 L에 걸쳐 분할되며, 그리그 A = [L : K]가 이러한 방식으로 발생한다.^[6]알헤브라의 텐서 제품은 H의² 해당 원소들의 곱셈에 해당한다.따라서 우리는 요소들이 K를 통한 CSA의 등급인 Brauer 그룹의 식별을 H와² 함께 얻는다.^[7][8]

주기 대수학

L/K가 t에 의해 생성되는 순서 n의 갈루아 그룹 G와 순환하는 경우를 더욱 제한하자.A를 계수형 c와 교차된 제품(L, G, c)으로 한다.u = u는_t t에 해당하는 A의 생성자가 된다.다른 발전기를 정의하면

${\displaystyle u_{t^{i}}=u^{i}\,}$

그리고 우리는 uⁿ = a in K를 가지고 있다.이 요소 a는 cocycle c를 다음과^{[5]: 33} 같이 지정한다.

${\displaystyle c(t^{i},t^{j}={\case}1&{\case}{{n}i+j<n,\a&{\text}{{{}case}}i+j\geqn.\case}}}}}}$

따라서 A를 단순히 (L,t,a)로 나타내는 것은 타당하다.단, u에 L의^* 어떤 원소 λ을 곱한 다음 λ의 접합자의 곱을 곱할 수 있기 때문에 a는 A에 의해 고유하게 지정되지 않는다.따라서 A는 표준 잔류물 그룹 K^*/NL의_L/K^* 요소에 해당한다.우리는 이소모형을 얻는다.

${\displaystyle \operatorname {Br}(L/K)\equiv K^{*}/N_{L/K}L^{*}\equiv H^{2}(G,L^{*})}$

참조

• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Universitext. Translated from the German by Silvio Levy. With the collaboration of the translator. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.
• Jacobson, Nathan (1996). Finite-dimensional division algebras over fields. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002.
• Reiner, I. (2003). Maximal Orders. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 28. Oxford University Press. ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008.
• Saltman, David J. (1999). Lectures on division algebras. Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 94. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0979-2. Zbl 0934.16013.