그룹 내선번호

수학에서, 군 확장(group extension)은 특정 정규 부분군과 몫군의 관점에서 군을 설명하는 일반적인 수단이다.Q $(\displaystyle$ Q $)$ 와 $Q$ N $(\displaystyle$ N $)$ 이 $N$ 두 그룹인 $경우$ G $(\displaystyle$ G $)$ 는 $G$ N $(\displaystyle$ N $)$ 에 $N$ 의한 Q $(\displaystyle$ Q $)$ 의 $Q$ 확장입니다.

(\displaystyle 1 to N\;{\overset\iota}{\to }}\;G\;{\pi }{\to }}\;Q\to 1.}

G $(\displaystyle$ G $)$ 가 $G$ Q $(\displaystyle$ Q $)$ 의 $Q$ N $(\displaystyle$ N $N$ 의 확장자일 $경우$ $G$ $(\$ displaystyleG $)$ 는 $G$ $\iota (N)$ 이고 $\iota (N)$ G $(\$ $displaystyle$ $\$ $iota$ $N$ $)$ 는 $G$ $displaystyle$ G $G$ )의 정규 $G/\iota (N)$ 입니다 $G/\iota (N)$ $({displaystyle$ Q $Q$ 그룹 Q $({displaystyle$ Q})와 $Q$ N $({displaystyle$ N})가 $N$ 알려진 확장문제와 관련하여 그룹 확장이 발생하며 G $({displaystyle$ G})의 $G$ $G$ 이 결정됩니다.일부에서는 ^[1]" $\displaystyle$ G is $G$ extension $N$ N\ $displaystyle$ N $"$ $by$ Q\ $displaystyle$ Q $Q$ 라는 문구를 사용하기도 합니다.

유한 그룹 $(\displaystyle$ G $)$ 는 $G$ 단순 계수 그룹 $(\displaystyle$ G $/N$ 을 갖는 최대 정규 $서브그룹$ N(\ $displaystyle$ N $)$ 을 $N$ 가지므로 유한 그룹 모두 유한 단순 그룹과의 일련의 확장으로 구성할 수 있다.이 사실은 유한 단순 그룹의 분류를 완성하는 동기가 되었다.

$서브그룹$ N $(\displaystyle$ N $)$ 이 $N$ G $(\displaystyle$ G $G$ 의 $G$ 에 있는 경우 내선번호는 중앙내선번호라고 불립니다.

내선번호의 개요

한 가지 확장, 즉 직접 제품은 바로 알 수 있습니다.G $(\displaystyle$ G $)$ 와 $G$ Q $(\displaystyle$ Q $)$ 가 $Q$ 아벨 그룹이어야 $하는$ 경우, 소정의 (아벨리안) $그룹$ N(\ $displaystyle$ N $)$ 에 $N$ 의한 $Q$ (\ $displaystyle$ Q $)$ $Q$ 의 동형 클래스 세트는 실제로는 다음과 같은 그룹입니다.

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);

cf. Ext 펑터다른 일반적인 확장 클래스는 몇 가지 알려져 있지만 가능한 모든 확장을 한 번에 처리하는 이론은 없습니다.그룹 내선번호는 보통 어려운 문제로 설명되며 확장문제로 불립니다.

예를 들어 G $G=K\times H$ $G=K\times H$ × $G=K\times H$ ( $디스플레이 스타일$ G $= K$ \ $times$ H $G=K\times H$ )의 경우G ( $디스플레이 스타일$ G )는 $G$ H ( $디스플레이 스타일$ H )와 $H$ K ( $디스플레이 스타일$ K $K$ )의 확장자이며, 보다 일반적으로 G $(디스플레이$ $스타일$ G $H$ 가 $G$ K $(K)$ 와 H ( $H)$ 의 $K$ 반다이렉트 제품이라면, $G=K\rtimes H$ $H(Displaystyle G=K\rtimes$ H $G=K\rtimes H$ $(Displaystyle$ G $)$ 는 K $(Displaystyle$ K $K$ 에 의한 $H(Displaystyle$ H $H$ )의 확장이므로 화환 제품 등의 추가 확장 예를 제시합니다 $G=K\rtimes H$

확장 문제

G $(디스플레이 스타일$ G $)$ 가 $G$ N $(디스플레이 스타일$ N $)$ 에 $N$ 의한H( $디스플레이$ 스타일H)의 $H$ 확장자가 무엇인지에 대한 문제는 확장 문제라고 불리며 19세기 후반부터 많은 연구가 진행되어 왔다.그 동기에 대해서는 유한 그룹의 구성 계열은 유한한 서브그룹 $\{A_{i}\}$ 계열 { $}$ { $displaystyle$ \{ $A_{i}\}$ 이며 $\{A_{i}\}$ 각 $\{A_{i+1}\}$ + $\{A_{i+1}\}$ { $displaystyle$ \{ $A_{i+1}\}$ 은 $\{A_{i+1}\}$ 단순하게 { $\{A_{i}\}$ $}$ { $displaystyle$ \{ $A_{i$ }}}}의 $\{A_{i}\}$ $\{A_{i}\}$ 확장이다.유한 단순 그룹의 분류는 우리에게 유한 단순 그룹의 완전한 목록을 제공한다. 그래서 확장 문제에 대한 해결책은 우리에게 일반적으로 모든 유한 그룹을 구성하고 분류하기에 충분한 정보를 줄 것이다.

내선번호 분류

확장 문제를 푸는 것은 H의 모든 확장을 K로 분류하는 것과 같으며, 더 실질적으로, 이러한 확장을 이해하고 계산하기 쉬운 수학적 객체로 표현한다.일반적으로 이 문제는 매우 어려우며, 가장 유용한 모든 결과는 추가 조건을 충족하는 확장을 분류합니다.

두 확장자가 동일하거나 일치하는지 확인하는 것이 중요합니다.확장기능은

{\displaystyle 1 to K{\stackrel {i} \to {}}G{\stackrel {pi } {{} \to {}}H\to 1)

그리고.

{\displaystyle 1 to K {\stackrel {i'} {{}\to {}}G' {\stackrel {pi'} {{}\to {}}H\to 1)

그룹 $T:G\to G'$ T : $T:G\to G'$ $T:G\to G'$ $T:G\to G'$ { $display style$ T : }가 존재하는 경우 동등(또는 합동)하다 $.$ $G\to$ G $'$ 를 $T: G\to G'$ 그림 1의 그림으로 교환한다.사실 군 동형성을 갖는 것으로 충분합니다. 그림의 가정된 정류성으로 인해 $지도$ T {\ $displaystyle$ T}는 $T$ 짧은 5개의 보조법칙에 의해 동형성이 될 수밖에 없습니다.

그림 1

경고

$1\to K\to G\to H\to 1$ 1 $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G\to H\to 1$ ${\$ $displaystyle$ 1 $\$ $to$ $K\to$ H $\$ $to$ 1} $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ G $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $→ 1$ {\ $to K^{\$ prime }\ $to H'$ 는 $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ G'가 동일하지 않지만 G'이다.예를 들어, 클라인 4원군의 Z/2Z{\displaystyle \mathbb{Z}({Z}},[2]에 의해 8{8\displaystyle}inequivalent 확장 하지만, 그룹 유질 동상고자 8{8\displaystyle}의 단지 넷 그룹 지수만 있으면 아무 곳이나 주문 2{2\displaystyle}의 정규 부분 군 포함되어 있다.업.클라인 4그룹과 동형입니다.

Trivial 확장자

일반 확장자는 확장자입니다.

(\displaystyle 1 to K\to G\to H\to 1)

내선번호에 상당합니다.

(\displaystyle 1 to K\to K\times H\to H\to 1)

여기서 왼쪽 화살표와 오른쪽 화살표는 각각 $K\times H$ K × $K\times H$ (\ $displaystyle$ K $\times$ H $K\times H$ 의 각 요소를 포함 및 투영한 것입니다.

분할 확장자 분류

분할 확장은 확장입니다.

(\displaystyle 1 to K\to G\to H\to 1)

$s\colon H\to G$ s : $s\colon H\to G$ $s\colon H\to G$ {\ $displaystyle$ s $\displaystyle$ s\ $display$ H $s\colon H\to G$ $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $to$ G $}$ 이므로 짧은 정확 시퀀스의 몫 맵에 의해 H에서 G로 이동한 다음 H로 돌아가면 $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $=$ $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $(\$ s=\ $mathrm {id})의 동일성$ 맵이 유도됩니다 $.$ 에퀴스

분할 확장은 그룹 G가 K와 H의 반다이렉트 제품인 경우에만 분할되기 때문에 분류가 매우 쉽습니다. 반다이렉트 제품 자체는 H $H\to \operatorname {Aut} (K)$ $H\to \operatorname {Aut} (K)$ $H\to \operatorname {Aut} (K)$ ） \ $display style$ H $\to \opername$ { $Aut}$ , $K$ （ K ） $H\to \operatorname {Aut} (K)$ hismsisms from from from from from from from from from from from them them them them split split split them them them split split them them them them them from from from from split split them them split split split split split split them them them split split split them of of split split split of of of them them them them of of of of of of of of of split split splitK의 자기동형군이 이유에 대한 자세한 내용은 반직접 제품을 참조하십시오.

용어 경고

일반적으로 수학에서 구조 K의 확장은 K가 하위구조인 구조 L로 간주된다.필드 확장의 예에 대해서는, 을 참조해 주세요.그러나 그룹 이론에서는 반대되는 용어가 서서히 등장하고 있는데, 이는 부분적으로 Q의 N에 의한 확장으로 쉽게 읽히는 Ext $\operatorname {Ext} (Q,N)$ ( $Q$ , $\operatorname {Ext} (Q,N)$ ) \ $displaystyle$ \ $operatorname$ { $Ext$ } $\operatorname {Ext} (Q,N)$ ( Q , $\operatorname {Ext} (Q,N)$ N ) $\operatorname {Ext} (Q,N)$ 때문에 그룹 Q에 초점이 맞춰져 있기 때문입니다.

오토 슈라이어의 노벨 확장 이론에 대한 로널드 브라운과 티모시 포터의 논문은 K의 확장이 더 큰 ^[3]구조를 준다는 용어를 사용합니다.

중앙 내선번호

그룹 G의 중심 확장은 그룹의 짧고 정확한 시퀀스입니다.

(\displaystyle 1 to A\to E\to G\to 1)

A가 그룹 E의 중심인 Z $)\displaystyle$ Z $(E)$ 에 $Z(E)$ 포함되도록 합니다.A에 의한 G의 중심 확장의 동형 클래스 세트는 코호몰로지 $H^{2}(G,A)$ $)\displaystyle$ H $^{2}(G, A$ 와 일대일로 대응하고 있다.

중앙 확장의 예는 임의의 그룹 G와 임의의 아벨 그룹 A를 취하여 E를 A $A\times G$ × $A\times G$ (\ $display$ A $\times$ G $A\times G$ 로 설정함으로써 구성할 수 있습니다.이러한 분할 예는 위의 대응관계에 있는 $H^{2}(G,A)$ $)$ 의 요소 0(\ $display style$ H $^{2}(G, A)$ 에 $H^{2}(G,A)$ 해당합니다.투영 표현을 통상적인 선형 표현으로 끌어올릴 수 없는 경우 투영 표현 이론에서 보다 심각한 예가 발견됩니다.

유한 완전 그룹의 경우, 보편적 완전 중심 확장이 있다.

마찬가지로, 리 ${\mathfrak {g}}$ g의 중심 확장(\ $displaystyle\mathfrak {g})$ 은 정확한 ${\mathfrak {g}}$ 수열이다.

(*displaystyle 0\rightarrow {mathfrak {a}\rightarrow {mathfrak {e}\rightarrow 0}\rightarrow

$디스플레이$ 스타일 $(\mathfrak {a})$ 이 ${\mathfrak {a}}$ e $\$ mathfrak ${e$ 의 ${\mathfrak {e}}$ 에 위치하도록 ${\mathfrak {a}}$ .

몰트세프 품종에는 중심 ^[4]확장에 대한 일반적인 이론이 있다.

일반 확장에 대한 일반화

$H^{3}(G,Z(A))$ $G\to \operatorname {Out} (A)$ $G\to \operatorname {Out} (A)$ $G\to \operatorname {Out} (A)$ ( $G\to \operatorname {Out} (A)$ A $G\to \operatorname {Out} (A)$ ) \ $displaystyle$ G \ $to \operatorname {Out}$ ( $A)$ 、 H 3 ( G $H^{3}(G,Z(A))$ , $Z$ ) \display H^ { $3$ ( $A$ ) \ $displaystyle$ H^ { 3 $H^{3}(G,Z(A))$ ( $G$ ) （ $H^{3}(G,Z(A))$ ) $display$ gomorphomorphomorphomorphomorphomorphomorphomorphomorphomorphomorphomorph fromomorphomorphomorphomorphomorphomorphomorph involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving involving $playstyle H^{2}(G,$ Z( $A$ ^[5]

거짓말 그룹

리 군 이론에서, 중심 확장은 대수 위상과 관련하여 발생한다.대략적으로 말하면, 이산적인 그룹에 의한 리 그룹의 중심 확장자는 커버 그룹과 같다.보다 정확하게는 연결 $Lie군$ G의 $연결피복공간 *$ G는 당연히 $G$ 의 중심연장이며 돌출부는 다음과 같다.

\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}

는 그룹 동형사상으로 주관적입니다.( $G *$ 위의 그룹 구조는 G의 $ID$ 에 매핑되는 ID 요소의 선택에 따라 달라집니다.)예를 들어, G가 $G$ 의 보편적 $덮개$ 일^∗ 때, θ의 커널은 아벨리안인 것으로 알려진 $G$ 의 기본군이다(H-공간 참조).반대로 $Lie군$ G와 이산 중심 $부분군$ Z가 주어졌을 때, $몫$ G $/ Z$ 는 $Lie군$ 이고, G는 그 피복 공간이다.

보다 일반적으로 중심연장에 발생하는 $군$ A, $E$ , $G$ 가 Lie군이고, 그 사이의 맵이 Lie군의 동형사상일 때, $G$ 의 Lie $대수$ 가 g, $A$ 의 Lie $대수$ 가 a, $E$ 의 대수가 $e이면$ $e$ 는 $g$ 의 중심연장이다.이론물리학 용어로는 $a$ 의 발생기를 중심전하라고 합니다.이러한 생성기는 e의 $중심$ 에 있습니다. 노에터의 정리에 따르면 대칭 그룹의 생성기는 전하라고 불리는 보존량에 해당합니다.

커버 그룹으로서의 중앙 확장의 기본적인 예는 다음과 같습니다.

특수 직교 그룹을 이중으로 덮는 스핀 그룹, 투영 직교 그룹을 이중으로 덮는 스핀 그룹.
심플렉틱 그룹을 이중으로 커버하는 메타플렉틱 그룹

SL $(R)$ 의 $경우 2$ 무한 순환인 기본 그룹이 포함됩니다.여기서 관련된 중심 확장은 무게 $θ$ 형태의 경우 모듈 형식 이론에서 잘 알려져 있다.대응하는 투영 표현은 푸리에 변환에서 생성된 Weil 표현이며, 이 경우 실제 라인 상에 있습니다.메타플렉틱 그룹은 양자역학에서도 발생한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ group+extension#nLab 비고 2.2의 정의.
^ 페이지 번호830, Dummit, David S., Foot, Richard M., 추상 대수학 (제3판), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ(2004)
^ Brown, Ronald; Porter, Timothy (1996). "On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations". Proceedings of the Royal Irish Academy Sect A. 96 (2): 213–227. MR 1641218.
^ Janelidze, George; Kelly, Gregory Maxwell (2000). "Central extensions in Malt'sev varieties". Theory and Applications of Categories. 7 (10): 219–226. MR 1774075.
^ P. J. Morandi, Group Extensions 그리고³ H. 그의 짧은 수학 노트 모음집.

Mac Lane, Saunders (1975), Homology, Classics in Mathematics, Springer Verlag, ISBN 3-540-58662-8
R.L. Taylor, 연결되지 않은 위상 그룹의 그룹, 미국 수학회 회보, 제5권(1954), 753-768.
R. Brown과 O.Mucuk, 연결되지 않은 위상 그룹의 그룹 포함, 케임브리지 철학회 수학회, 제115권(1994), 97–110.

[1] roup+extension#nLab 비고 2.2의 정의.

[2] 페이지 번호830, Dummit, David S., Foot, Richard M., 추상 대수학 (제3판), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ(2004)

[3] Brown, Ronald; Porter, Timothy (1996). "On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations". Proceedings of the Royal Irish Academy Sect A. 96 (2): 213–227. MR 1641218.

[4] Janelidze, George; Kelly, Gregory Maxwell (2000). "Central extensions in Malt'sev varieties". Theory and Applications of Categories. 7 (10): 219–226. MR 1774075.

[5] P. J. Morandi, Group Extensions 그리고³ H. 그의 짧은 수학 노트 모음집.

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