두브-딘킨 보조정리

확률론에서 조셉 L. Dob과 유진 Dynkin의 이름을 딴 Dob-Dynkin 보조정리기는 무작위 변수에 의해 $생성$된 {$${\$displaystyle \sigma}$ -algebras를 포함시켜 하나의 랜덤 변수가 다른 변수의 함수인 상황을 특징으로 한다.보조기구의 일반적인 문장은 다른 변수에 의해 생성된 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -algebra에$$ 대해 측정할 수 있는 한 변수의 관점에서 공식화된다.

보조정리기는 확률론에서 조건부 기대치에 중요한 역할을 하는데, 여기서 임의변수에 의해 $생성$되는 $\$ {\$displaystyle \sigma$} -algebra에 대한 조절을 조절하여 임의변수에 대한 조절을 대체할 수 있다.

공지와 소개 문구

아래 보조정리에서는 $B{\displaystyle \mathcal{}}$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {\mathcal$ {$B}[0,1]}$이$({\displaystyle }$가) [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle [0,1]$에 설정된 $al{\displaystyle }$ ${\displaysty \sigma$} -algebra이다$$.$}}$ $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle T\colon$ X$\to Y,}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle Y\mathcal{}}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (Y,{\mathcal {Y})}$이(가) 측정 가능한 공간이라면$$, 그러면

${\displaystyle \sigma(T)\\\\stackrel {\ext{def}{=}\{T^{-1}(S)\mid S\in {\mathcal {Y}\}}}}$

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이$($가) $\sigma {\displaystyle (T}$)${\displaystyle }$/ Y ${\$이(가) 측정 가능한$$ $정도$로 X$${\$displaystystyle X$}에서$$ 가장 작은 ${\displaystystystymebra$}이다.

보조정리명세서

$Let{\displaystyle \mathrm{T}}$ :${\displaystyle }$Ω ${\displaystyle {\to }^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${$ {\$displaystyle$T\$colon \Oomega \rightarrow \Oomega '}$은(는) 함수가 되고$$$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$′${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystystyle (\Oomega ',{\mathcal {A})})$은 측정 가능한 공간이다.A function ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow [0,1]}$ is ${\displaystyle \sigma (T)/{\mathcal {B}}[0,1]}$-measurable if and only if ${\displaystyle f=g\circ T,}$ for some ${\displaystyle {\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]}$-measurable $g{\displaystyle }$:${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle g\colon \Oomega '\to [0,1].$$}$^[1]

비고. "만약" 부분은 단순히 두 가지 측정 가능한 함수의 구성을 측정할 수 있다고 말한다."only if" 부분은 아래에서 입증된다.

증명

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) $\sigma {\displaystyle }$( T${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{B}}$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \sigma (T)/{\mathcal{B}[0,1]}$ -측정가능하도록$$$$ 한다. $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$1$} _{A}$가 일부 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \in }$( ${\displaystyle T}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle A\in \sigma (T$)의 표시라고 가정해 보십시오$.$$}}$${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {\mathrm{T}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {}^{})}$) , ${\displaystyle A=T^{-1}(A'),}$ 함수$$$$ $g{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1_{{}^{}}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\$가 요구 사항에 적합하다$$.선형성에 의해, 그 주장은 어떤 단순한 측정 가능한 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle .}$ ${\displaystyle f$까지 확장된다$.$$}$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 측정할 수 있지만 반드시 단순하지는 않도록 하십시오.단순함수에 관한 기사에서 설명한 바와 같이 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 단순함수의$$ 단조롭게 감소하지 않는 시퀀스 f${\displaystyle {}_{}{f}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{n}\geq$ 0$}$의 점괘 한계다$$.앞의 단계에서는 $일부{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {측정}_{}}$ 가능한 ${\displaystyle g_{}}$${\displaystyle {}_{}}$.${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle$ $f_{n}=g_$${n$$}\circle$ T$,}$을(를$)$ 보증한다.$}$ } $supremeum{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ n${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ 1 g${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ( ${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle \textstyle$g($x)=\supp_{n\gq$1}$g_{n}(x)}}$는 Ω ${\displaystyle {\{}^{}}${\$displaystystyle \Oba '}$에 존재하며$$$$ 측정할 수 있다.(측정 가능한 기능에 대한 기사는 일련의 측정 가능한 기능의 우월성이 측정 가능한 이유를 설명한다.)For every ${\displaystyle x\in \operatorname {Im} T,}$ the sequence ${\displaystyle g_{n}(x)}$ is non-decreasing, so ${\displaystyle \textstyle g _{\operatorname {Im} T}(x)=\lim _{n\to \infty }g_{n} _{\operatorname {Im} T}(x)}$ which$f{\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle f=g\circle$ T$.}$을(를) 표시한다.

Remark. The lemma remains valid if the space ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}[0,1])}$ is replaced with ${\displaystyle (S,{\mathcal {B}}(S)),}$ where ${\displaystyle S\subseteq [-\infty ,\infty ],}$ ${\displaystyle S}$ is bijective with ${\displaystyle [0,}$${\displaystyle 1]}$ , ${\displaystyle [0,1],}$ 및$$ 바이어싱은 양방향으로 측정할 수 있다.

정의상 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 측정가능성은 모든 보렐 세트 $S{\displaystyle }$⊆${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1]}$ . ${\displaystyle S\subseteq [0,1]$에 $대해$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle S}$) $∈$(${\displaystyle T}$) ${\displaystysty f^{-1(S)\sigma (T)}})$을 의미한다$$.$}$ 따라서$$ ${\displaystyle \sigma }$(${\displaystyle f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \subseteq }$ (${\displaystyle T}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T)}$ 및$$ 보조정리자는 다음과 같이 재작성할 수 있다.

Lemma. Let ${\displaystyle T\colon \Omega \rightarrow \Omega ',}$ ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow [0,1],}$ and ${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}')}$ is a measurable space.Then ${\displaystyle f=g\circ T,}$ for some ${\displaystyle {\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]}$-measurable ${\displaystyle g\colon \Omega '\to [0,1],}$ if and only if ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T)}$.

참고 항목

• 조건기대

참조

• A. 보브로스키:확률 및 확률적 프로세스에 대한 기능분석: 소개, 캠브리지 대학 출판부(2005), ISBN 0-521-83166-0
• M. M. Rao, R. J. Swift : 응용, 수학 및 응용에 의한 확률론, vol. 582, Springer-Verlag(2006), ISBN 0-387-27730-7 도이:10.1007/0-387-27731-5