단순함수

실제 분석의 수학적 분야에서 단순한 함수는 스텝 함수와 유사하게 실제 선의 부분집합에 걸쳐 실제(또는 복잡한) 값을 갖는 함수다.단순함수는 그것을 사용하는 것이 수학적 추론, 이론, 그리고 증거를 쉽게 만들 정도로 충분히 "좋다".예를 들어, 단순함수는 한정된 수의 값만 얻는다.일부 저자들은 또한 측정 가능한 단순한 기능을 요구한다. 실제로 사용되듯이, 그들은 변함없이 그러하다.

단순함수의 기본적인 예로는 반개방간격[1, 9]에 걸친 바닥함수를 들 수 있는데, 값만 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}이다.좀 더 발전된 예는 실제 선 위의 디리클레 함수로, x가 합리적이면 값 1을, 그렇지 않으면 0을 취한다.(따라서 "단순함수"의 "단순함수"는 공통언어와 다소 상충되는 기술적 의미를 갖는다.)모든 스텝 기능은 간단하다.

단순함수는 단순함수에 대한 통합을 정의하기 쉽고 단순함수의 순서에 의해 보다 일반적인 함수에 대한 근사치가 용이하기 때문에 르베그 적분 등 통합이론 개발의 첫 단계로 사용된다.

정의

형식적으로 단순함수는 측정 가능한 집합의 지표함수의 유한 선형 결합이다.더 정확히 말하자면, (X, ))을 측정할 수 있는 공간이 되게 하라.A₁, ..., A_n ∈ σ은 서로 분리할 수 없는 세트의 연속이고, a₁, ...는_n 실제 또는 복잡한 숫자의 연속이다.단순함수는 폼의$$ $f{\displaystyle }$:${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ 함수다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{na_{k}{k}{\mathbf {1}{1}{A_}}}(x),}$

여기서 $1{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$는 집합 A의 지시 함수다.

단순함수의 속성

두 가지 단순한 함수의 합, 차이, 산물은 다시 단순한 함수가 되고, 일정한 곱셈은 단순한 함수를 유지하게 된다. 따라서 주어진 측정 가능한 공간에 있는 모든 단순한 함수의 $집합$은 C$${\$displaystyle \mathb {C}$에 대한 역대수를 형성한다$.$

단순함수의 통합

측정 μ가 공간(X,NORD)에 정의되어 있는 경우, μ에 대한 f의 적분은

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu(A_{k}),}$

모든 합계가 유한하면.

르베그 통합과의 관계

음이 아닌 모든 측정 가능한 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$→ R${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$는 음이 아닌 단순 함수의 단조 증가 시퀀스의 점별 한계다$$.실제로 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 이전과 같이$$ 측정 공간$($, ${\displaystyle \mu }$) {\$displaystyle (X,\Sigma ,\mu )$에 걸쳐 정의한 음이 아닌 측정 가능한 함수가 되도록$$ 한다.For each ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, subdivide the range of ${\displaystyle f}$ into ${\displaystyle 2^{2n}+1}$ intervals, ${\displaystyle 2^{2n}}$ of which have length ${\displaystyle 2^{-n}}$. For each ${\displaystyle n}$, set

${\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)}$ for ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}}$, and ${\displaystyle I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )}$.

(고정 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우$,$ $세트{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {In}_{}}$, ${\displaystyle k_{}}${\$displaystyle I_{n,k}$는 분리되어$$ 음이 아닌 실제 라인에 적용된다는 점에 유의하십시오.

이제 측정 가능한 세트를 정의하십시오.

${\displaystyle {}_{}}$$a$ ${\displaystyle {n,}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}{I}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, k${\displaystyle {}_{}}$) ${\$ k = 1, 2,${\displaystyle \dots ,{\mathrm{2n}}^{}}$+ ${\displaystyle$ k=1,2$,\ldots ,2^{2n}+1$

단순함수의 증가 순서가

${\displaystyle f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}{\mathbf {1}{1}{A_{n,k}}}}}}}}$

포인트로 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 n${\displaystyle }$→$n{\displaystyle }$ {\$displaystyle$n$\to \infit }$으로 수렴$.$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 경계일$$ 때 수렴이 균일하다는 점에 유의하십시오.간단한 함수(쉽게 통합 가능)에$$ 의한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$의 근사치를 통해 통합 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 자체를$$ 정의할 수 있다. 자세한 내용은 Lebesgue 통합 기사를 참조하십시오.

참조

• J. F. C. 킹맨, S. J. 테일러.측정 및 확률 소개, 1966, 캠브리지.
• S. 랭.실제 및 기능 분석, 1993, Springer-Verlag.
• W. 루딘.현실적이고 복잡한 분석, 1987년 맥그로우 힐
• H. L. 로이든.Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.