푸에르바흐 포인트

푸에르바흐의 정리: 9점 원은 삼각형의 근골과 외골에 접한다. 근친상간은 푸에르바흐 지점이다.

삼각형의 기하학에서 삼각형의 근친과 9점 원은 삼각형의 Feuerbach 지점에서 내부적으로 서로 접선된다. Feuerbach 점은 삼각형의 중심이며, 그 정의는 삼각형의 배치와 축척에 좌우되지 않는다는 것을 의미한다. 클라크 킴벌링의 삼각 센터 백과사전에는 X(11)로 등재되어 있으며, 칼 빌헬름 푸에르바흐의 이름을 따서 명명되었다.^[1]^[2]

1822년 푸에르바흐가 발표한 푸에르바흐의 정리에는 9점 원은 삼각형의 세 가지 원과 그 근골에 접한다는 것이 보다 일반적으로 명시되어 있다.^[3]^[4] 다섯 번째 원에 접하는 네 개의 원의 이탄젠트에 대한 케이시의 정리를 바탕으로 한 이 정리에 대한 아주 짧은 증거가 1866년 존 케이시에 의해 발표되었다;^[5] Feuerbach의 정리는 자동화된 정리 입증의 시험 케이스로도 사용되었다.^[6] 절편과 접선하는 세 지점은 주어진 삼각형의 Feuerbach 삼각형을 형성한다.

건설

ABC 삼각형의 근치는 삼각형의 세 면에 모두 접하는 원이다. 그것의 중심인 삼각형의 인센티브는 삼각형의 세 개의 내부 각 이등분선이 교차하는 지점에 있다.

9점 원은 삼각형에서 정의한 또 다른 원이다. 그것은 삼각형의 9개의 유의점을 통과하기 때문에 그렇게 불리는데, 그 중 가장 간단하게 구성할 수 있는 것이 삼각형의 변의 중간점이다. 9점 원은 이 세 개의 중간점을 통과하므로, 내측 삼각형의 원곡선이다.

이 두 원은 서로 접하는 한 지점에서 만난다. 그 접선점은 삼각형의 푸에르바흐점이다.

삼각형의 근골과 연관되어 세 개의 원, 즉 외근이 더 있다. 이것들은 삼각형의 옆면을 통해 각각 세 선에 접하는 원들이다. 각 excircle은 삼각형의 반대편에서 이러한 선들 중 하나를 만지고, 나머지 두 선에 대해 삼각형과 같은 쪽에 있다. 근친상간과 마찬가지로 외근도 모두 9점 원과 접하고 있다. 그들의 9점 원과의 접선점은 삼각형인 푸에르바흐 삼각형을 형성한다.

특성.

푸에르바흐 지점은 그것을 정의하는 두 접선 원의 중심을 통과하는 선 위에 놓여 있다. 이 센터들은 삼각형의 9점 중심과 장려책이다.^[1]^[2]

$x$ ${\displaystyle x$ y ${\displaystyle$ $y$ $}$ 및 z ${\displaystyle$ z $}$ 을(를) 내측 삼각형의 꼭지점(각각 BC=a, CA=b, AB=c)을 가리키는 3개의 거리로 한다 $z$ . 그러면.^[7]^[8]

x+y+z=2\max(x,y,z),

또는 동등하게, 세 거리 중 가장 큰 거리는 다른 두 거리의 합과 같다. 구체적으로 $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ = $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ - $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ y $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ = $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ - $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ = $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ 2 $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ a $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ - $,$ {\ $displaystyle$ x={\ $frac$ { $R}{$ 2}{ $2$ }{2}가 있다. $OI}b-c ,\,y={\frac {R}{2$ $OI} c-a ,z={\frac {R}{2$ $OI} a-b,}$ 여기서 $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ O는 참조 삼각형의 할로우센터이고 나는 그것의 인센티브다.^[8]^{: Propos. 3}

또한 후자의 특성은 9-점 원과 교차하는 구간의 접선점을 유지한다. 이 접선점에서 원삼각형의 측면 중간점까지의 최대 거리는 다른 두 측면 중간점까지의 거리의 합과 같다.^[8]

If the incircle of triangle ABC touches the sides BC, CA, AB at X, Y, and Z respectively, and the midpoints of these sides are respectively P, Q, and R, then with Feuerbach point F the triangles FPX, FQY, and FRZ are similar to the triangles AOI, BOI, COI respectively.^[8]^{: Propos. 4}

좌표

Feuerbach 지점에 대한 3행 좌표는^[2]

1-\cos(B-C):1-\cos(C-A):1-\cos(A-B)}

그것의^[8] 이심 좌표는

(s-a)(b-c)^{2}:(s-b)(c-a)^{2}:(s-c)(a-b)^{2},

여기서 s는 삼각형의 반지름(a+b+c)/2이다.

원래의 삼각형의 정점에서 푸에르바흐 삼각형의 해당 정점에 이르는 세 개의 선은 삼각형의 중심에서 만나는데, 삼각형의 중심에는 X(12)로 나열되어 있다. 그것의 3행 좌표는 다음과 같다.^[2]

1+\cos(B-C):1+\cos(C-A):1+\cos(A-B)}

참조

^ ^a ^b Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine, 67 (3): 163–187, doi:10.1080/0025570X.1994.11996210, JSTOR 2690608, MR 1573021.
^ ^a ^b ^c ^d 2012년 4월 19일 웨이백 머신에 보관된 삼각형 센터 백과사전은 2014-10-24에 접속했다.
^ Feuerbach, Karl Wilhelm; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (Monograph ed.), Nürnberg: Wiessner.
^ Scheer, Michael J. G. (2011), "A simple vector proof of Feuerbach's theorem" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 205–210, arXiv:1107.1152, MR 2877268.
^ 케이시, J.(1866년),"식 및 특성:(1)시스템 평면에 Circles Touching 3이,일(2)의 시스템의 Spheres Touching 4Spheres에 공간;(3)의 시스템의 Circles Touching 3원은에 놓인 구로,(4)의 시스템의 Conics 이미에 Conic, Touching 3이미 Conics에 무한 평면", Proceedin.G아일랜드 황실 아카데미 9시 396–423, JSTOR 20488927.특히 우편 번호 안내 밑을 참조.
^ Chou, Shang-Ching (1988), "An introduction to Wu's method for mechanical theorem proving in geometry", Journal of Automated Reasoning, 4 (3): 237–267, doi:10.1007/BF00244942, MR 0975146, S2CID 12368370.
^ Weisstein, Eric W. "Feuerbach Point". MathWorld.
^ ^a ^b ^c ^d ^e 새도르 나기도바이 키스, "Feuerbach Point와 그 연장선의 거리 속성", 포럼 기하학 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf

추가 읽기

Thébault, Victor (1949), "On the Feuerbach points", American Mathematical Monthly, 56 (8): 546–547, doi:10.2307/2305531, JSTOR 2305531, MR 0033039.
Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001), "A note on the Feuerbach point", Forum Geometricorum, 1: 121–124 (electronic), MR 1891524.
Suceavă, Bogdan; Yiu, Paul (2006), "The Feuerbach point and Euler lines", Forum Geometricorum, 6: 191–197, MR 2282236.
Vonk, Jan (2009), "The Feuerbach point and reflections of the Euler line", Forum Geometricorum, 9: 47–55, MR 2534378.
Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012), "Synthetic proofs of two theorems related to the Feuerbach point", Forum Geometricorum, 12: 39–46, MR 2955643.

[k94-1] Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine, 67 (3): 163–187, doi:10.1080/0025570X.1994.11996210, JSTOR 2690608, MR 1573021.

[etc-2] 2012년 4월 19일 웨이백 머신에 보관된 삼각형 센터 백과사전은 2014-10-24에 접속했다.

[3] Feuerbach, Karl Wilhelm; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (Monograph ed.), Nürnberg: Wiessner.

[4] Scheer, Michael J. G. (2011), "A simple vector proof of Feuerbach's theorem" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 205–210, arXiv:1107.1152, MR 2877268.

[5] 케이시, J.(1866년),"식 및 특성:(1)시스템 평면에 Circles Touching 3이,일(2)의 시스템의 Spheres Touching 4Spheres에 공간;(3)의 시스템의 Circles Touching 3원은에 놓인 구로,(4)의 시스템의 Conics 이미에 Conic, Touching 3이미 Conics에 무한 평면", Proceedin.G아일랜드 황실 아카데미 9시 396–423, JSTOR 20488927.특히 우편 번호 안내 밑을 참조.

[6] Chou, Shang-Ching (1988), "An introduction to Wu's method for mechanical theorem proving in geometry", Journal of Automated Reasoning, 4 (3): 237–267, doi:10.1007/BF00244942, MR 0975146, S2CID 12368370.

[7] Weisstein, Eric W. "Feuerbach Point". MathWorld.

[Kiss-8] 새도르 나기도바이 키스, "Feuerbach Point와 그 연장선의 거리 속성", 포럼 기하학 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf

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