수학 에서 피보나치 다항식 (Fibonacci polyomials)은 다항식 배열로 피보나치 수의 일반화 로 간주할 수 있다.루카스 수 에서 비슷한 방식으로 생성된 다항식을 루카스 다항식 이라고 부른다.
정의 이러한 피보나치 다항식 은 반복 관계 에 의해 정의된다.[1]
F n ( x ) = { 0 , 만일 n = 0 1 , 만일 n = 1 x F n − 1 ( x ) + F n − 2 ( x ) , 만일 n ≥ 2 {\displaystyle F_{n}(x)={\begin{case}0,&{\mbox{{{n=0\1,&\mbox{{n=1\xF_{n-1}(x)+ F_{n-2}(x),&{\mbox{if{}n\geq 2\end{case}}} 루카스 다항식에서는 출발 값이 다른 동일한 반복을 사용한다.[2]
L n ( x ) = { 2 , 만일 n = 0 x , 만일 n = 1 x L n − 1 ( x ) + L n − 2 ( x ) , 만일 n ≥ 2. {\displaystyle L_{n}(x)={\begin{case}2,&{\mbox{{n=0\x,&\mbox{{n=1\xL_{n-1}(x)+ L_{n-2}(x),&{\mbox{if{}n\geq 2. \end{case}}} 다음과 같이[3]
F − n ( x ) = ( − 1 ) n − 1 F n ( x ) , {\displaystyle F_{-n}(x)=(1)^{n-1}F_{n}(x),} L − n ( x ) = ( − 1 ) n L n ( x ) . {\displaystyle L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x). } 예 처음 몇 개의 피보나치 다항식은 다음과 같다.
F 0 ( x ) = 0 {\displaystyle F_{0}(x)=0\,} F 1 ( x ) = 1 {\displaystyle F_{1}(x)=1\,} F 2 ( x ) = x {\displaystyle F_{2}(x)=x\,} F 3 ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,} F 4 ( x ) = x 3 + 2 x {\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,} F 5 ( x ) = x 4 + 3 x 2 + 1 {\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,} F 6 ( x ) = x 5 + 4 x 3 + 3 x {\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,} 루카스 다항식의 처음 몇 가지는 다음과 같다.
L 0 ( x ) = 2 {\displaystyle L_{0}(x)=2\,} L 1 ( x ) = x {\displaystyle L_{1}(x)=x\,} L 2 ( x ) = x 2 + 2 {\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,} L 3 ( x ) = x 3 + 3 x {\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,} L 4 ( x ) = x 4 + 4 x 2 + 2 {\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,} L 5 ( x ) = x 5 + 5 x 3 + 5 x {\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,} L 6 ( x ) = x 6 + 6 x 4 + 9 x 2 + 2. {\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,} 특성. F 의n n - 1이고 L 의n n 이다.피보나치(Fibonacci)와 루카스(Lucas) 번호는 다항식 을 x = 1로 평가하여 복구하고, 펠(Pell ) 번호 는 f 를n 시퀀스에 대한 일반적인 생성 함수 는 다음과 같다.[4] ∑ n = 0 ∞ F n ( x ) t n = t 1 − x t − t 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\f_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}: ∑ n = 0 ∞ L n ( x ) t n = 2 − x t 1 − x t − t 2 . {\displaystyle \sum \{n=0}^{\l_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}. } 다항식들은 루카스 시퀀스 의 측면에서 다음과 같이 표현할 수 있다. F n ( x ) = U n ( x , − 1 ) , {\displaystyle F_{n}(x)= U_{n}(x,-1),\,} L n ( x ) = V n ( x , − 1 ) . {\displaystyle L_{n}(x)= V_{n}(x,-1). \,} 또한 Chebyshev 다항식 T n ( x ) {\displaystyle mathcal {T}_{n )} Un ( x ) displaystyle mathcal U}_{n x) F n ( x ) = i n − 1 ⋅ U n − 1 ( − i x 2 ) , {\displaystyle F_{n}(x)=i^{n-1}\cdot {\mathcal {U}{n1}({\tfrac {-ix}{2}})\,} L n ( x ) = 2 ⋅ i n ⋅ T n ( − i x 2 ) , {\displaystyle L_{n}(x)=2\cdot i^{n}\cdot {\mathcal{T}_{n}({\tfrac {-ix}{2}})\,} 여기서 i {\displaystyle i} 가상 단위 다. 정체성 루카스 시퀀스의 특별한 경우로서 피보나치 다항식들은 다음과[3]
F m + n ( x ) = F m + 1 ( x ) F n ( x ) + F m ( x ) F n − 1 ( x ) {\displaystyle F_{m+n}(x)= F_{m+1}(x) F_{n}(x)+ F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,} L m + n ( x ) = L m ( x ) L n ( x ) − ( − 1 ) n L m − n ( x ) {\displaystyle L_{m+n}(x)= L_{m}(x)L_{n}-(-1)^{n_{m-n}(x)\,} F n + 1 ( x ) F n − 1 ( x ) − F n ( x ) 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,} F 2 n ( x ) = F n ( x ) L n ( x ) . {\displaystyle F_{2n}(x)= F_{n}(x)L_{n}(x). \,} 비넷의 공식과 유사한 닫힌 양식 표현식은 다음과 같다.[3]
F n ( x ) = α ( x ) n − β ( x ) n α ( x ) − β ( x ) , L n ( x ) = α ( x ) n + β ( x ) n , {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha(x)^{n}-\beta(x)^{n}{n}}{\alpha(x)=\l_{n}^{n}+\beta(x)^{n}}}}}} 어디에
α ( x ) = x + x 2 + 4 2 , β ( x ) = x − x 2 + 4 2 {\displaystyle \cHB(x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}{2}},\\cHB(x)={\frac {x-{\sqrt{x^{2}+4}}{2}}:}}} 의 해결책이다(t ).
t 2 − x t − 1 = 0. {\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,} Lucas Polynomials n > 0의 경우,
L n ( x ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ n n − k ( n − k k ) x n − 2 k . {\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{n-k}{n-k}{\binom {n-k}}{k}}x-2k}. } 피보나치 다항식과 표준 다항식 사이의 관계는 다음과[5]
x n = F n + 1 ( x ) + ∑ k = 1 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k [ ( n k ) − ( n k − 1 ) ] F n + 1 − 2 k ( x ) . {\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}{k=1}{k=1}{{k}-{binom {n}-{k-1}\오른쪽] F_{n+1-2k}(x). } 예를 들어,
x 4 = F 5 ( x ) − 3 F 3 ( x ) + 2 F 1 ( x ) {\displaystyle x^{4}= F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,} x 5 = F 6 ( x ) − 4 F 4 ( x ) + 5 F 2 ( x ) {\displaystyle x^{5}= F_{6}(x)-4F_{4}(x)+5F_{2}(x)\,} x 6 = F 7 ( x ) − 5 F 5 ( x ) + 9 F 3 ( x ) − 5 F 1 ( x ) {\displaystyle x^{6}= F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9 F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,} x 7 = F 8 ( x ) − 6 F 6 ( x ) + 14 F 4 ( x ) − 14 F 2 ( x ) {\displaystyle x^{7}= F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,} 조합해석 피보나치 다항식의 계수는 "샤로우" 대각선(빨간색으로 표시) 다음에 파스칼의 삼각형에서 판독할 수 있다. 계수의 합은 피보나치 수이다. F (n ,k )가 Fn (x )의k x 계수라면,
F n ( x ) = ∑ k = 0 n F ( n , k ) x k , {\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n(n,k)x^{k},\,} 그 다음 F (n ,k)는 정확히 k 제곱이 사용되도록 n-1 X 1 직사각형을 2 X 1 도미노 와 1 X 1 제곱으로 타일링할 수 있는 방법의 수입니다.[1] 동등 하게 F(n ,k )는 1과 2만 포함하는 순서의 합 으로 n-1을 쓰는 방법의 수로서, 1을 정확히 k번 사용한다.예를 들어 F(6,3)=4와 5는 1을 3번 사용한 상태에서 1과 2만을 포함하는 합으로 1+1+1+2, 1+1+1, 2+1+1+1의 4가지 방법으로 쓸 수 있다. 그러한 합계에 1과 2가 모두 사용되는 횟수를 계산하면 F (n ,k )가 이항계수 와 같다는 것을 알 수 있다.
F ( n , k ) = ( n + k − 1 2 k ) {\displaystyle F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}:{k}}}} n 과 k 가 정반대의 패리티를 가질 때.이것은 오른쪽에 보이는 파스칼 의 삼각형에서 나온 계수를 읽는 방법을 제공한다.
참조 Benjamin, Arthur T. ; Quinn, Jennifer J. (2003). "§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial" . Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof Mathematical Association of America . p. 141 . ISBN 978-0-88385-333-7 Philippou, Andreas N. (2001) [1994], "Fibonacci polynomials" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press Philippou, Andreas N. (2001) [1994], "Lucas polynomials" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press Weisstein, Eric W. "Lucas Polynomial" . MathWorld 진, Z. 루카스 다항식들과 그들의 새로운 정체성에 대해서. Adv Different Equ 2018, 126(2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9 추가 읽기 Hoggatt, V. E. ; Bicknell, Marjorie (1973). "Roots of Fibonacci polynomials". Fibonacci Quarterly 11 : 271–274. ISSN 0015-0517 . MR 0332645 .Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). "Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly 12 : 113. MR 0352034 . Ricci, Paolo Emilio (1995). "Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials". Rivista di Matematica della Università di Parma . V. Ser. 4 : 137–146. MR 1395332 . Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). "Some identities involving the Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly . 40 (4): 314. MR 1920571 . Cigler, Johann (2003). "q-Fibonacci polynomials". Fibonacci Quarterly (41): 31–40. MR 1962279 . 외부 링크 
(는) 
![{\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5b8d7a17f74e975d5f66d3bc9674ae1a21e2e8)
