재발관계

수학에서 재발관계란 어떤 고정 k(n으로부터 독립)에 대해, 일련의 n번째 항을 k 선행 용어의 함수로 표현하는 방정식으로, 이것을 관계의 순서라고 한다. 일단 시퀀스의 초기 조건이 주어지면, 재발 관계는 시퀀스의 모든 용어를 반복적으로 계산할 수 있다.

재발 관계에 대한 대부분의 일반적인 결과는 선형 재발에 관한 것인데, 이는 n번째 항이 선행 조건과 관련하여 선형적인 것과 같은 재발 관계다. 그중에서도 계수가 일정하게 나타나는 선형재발, 다항식 계수가 있는 선형재발이 특히 중요하다. 첫 번째 경우, 수열의 일반 용어를 용어 지수의 폐쇄형 표현으로 표현할 수 있기 때문이다. 두 번째 경우, 이는 많은 일반적인 초등 및 특수 기능이 계수가 그러한 반복 관계를 만족하는 테일러 시리즈를 가지기 때문이다(홀로노믹 함수 참조).

개념은 다차원 배열, 즉 자연수의 튜플에 의해 지수화된 지수화된 패밀리로 확장될 수 있다.

정의

재발관계란 수열의 각 원소를 앞의 원소의 함수로 표현하는 방정식이다. 더 정확히 말하면, 바로 앞의 요소만 관여하는 경우, 재발관계는 그 형태를 가진다.

${\displaystyle u_{n}=\varphi(n,u_{n-1})\properties {\text{for}}\text{for}\property n>0,}$

어디에

$\displaystyle \varphi :\mathb {N} \to X}$

함수로서 여기서 X는 시퀀스의 원소가 속해야 하는 집합이다. $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u_{0}\in$ X$}$에 대해$,$ 이는 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을(를) 첫 번째 요소로 하는$$ 고유한 시퀀스를 정의하며, 초기 값이라고 한다.^[1]

지수 1 이상의 용어부터 시퀀스를 가져오는 정의를 쉽게 수정할 수 있다.

이것은 첫 번째 순서의 반복 관계를 정의한다. 순서 k의 재발관계는 형식이다.

${\displaystyle u_{n}=\varphi(n,u_{n-1},u_{n-2},\ldots,u_{n-k})\display {\text{for}\computer n\geq k,}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$: ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle k{}^{}}$→ X ${\displaystyle \varphi :\mathb {N} \time X^{k}\to X}$는 시퀀스의 k 연속 원소를 포함하는 함수다$$. 이 경우 시퀀스를 정의하려면 k 초기값이 필요하다.

예

요인

인자는 반복 관계에 의해 정의된다.

$n!=n(n-1)!\cHB {\text{for}\filency n>0,}$

그리고 초기 조건

$0!=1}$

로지스틱 지도

반복 관계의 예는 로지스틱 맵이다.

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),}$

주어진 상수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r$ 초기 용어 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 주어진 각 후속$$ 용어는 이 관계에 의해 결정된다.

반복 관계를 해결한다는 것은 닫힌 형태의 해결책, $즉{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 비재발적 기능을 얻는 것을 의미한다$.$

피보나치 수

피보나치 숫자에 의해 충족되는 순서 2의 재발은 일정한 계수를 갖는 동종 선형 재발 관계의 표준적인 예다(아래 참조). 피보나치 시퀀스는 재발을 사용하여 정의된다.

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$

초기의 조건으로

${\displaystyle F_{0}=0}$

${\displaystyle F_{1}=1.}$

분명히, 재발은 방정식을 산출한다.

${\displaystyle F_{2}=F_{1}+F_{0}}$

${\displaystyle F_{3}=F_{2}+F_{1}}$

${\displaystyle F_{4}=F_{3}+F_{2}}$

등

우리는 피보나치 숫자의 순서를 얻는데, 그것은 시작된다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

그 재발은 특성 다항식 t ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t^{2}=t+1}$의 두 뿌리의 힘을 포함하는 비넷의 공식을 산출하는 아래에 기술된 방법으로 해결할 수 있다$;$ 수열의 생성함수는 이성적인 기능이다.

${\displaystyle {\frac {t}{1-t-t^{2}}.}$

이항 계수

다차원적 재발 관계의 간단한 예는 이항 계수$({\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ $){\$에 의해 제시되며$,$ 이 계수에서는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 요소$$ 집합 중에서 k ${\displaystyle k}$ 요소를$$ 선택하는 방법의 수를 계산한다. 그것들은 재발 관계에 의해 계산될 수 있다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}+{\binom {n-1},}$

베이스 케이스$({\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{0}{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{0$}}{0$}}{\tbinom {n}{n$}{n$}}=1$ 이 공식을 사용하여 모든 이항계수의 값을 계산하면 Pascal의 삼각형이라는 무한 배열이 생성된다. 동일한 값을 반복이 아닌 곱셈이 필요한 다른 공식으로 직접 계산할 수도 있다. (${\displaystyle }$n ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n\frac{}{}}$! k${\displaystyle \frac{}{}}$!${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{n}{}}$- ${\displaystyle \frac{k}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$! . . ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}={\frac$ {$n!$$}{{k!(n-k)!$$}}.}$

차이 연산자 및 차이 방정식

차이 연산자는 시퀀스를 시퀀스에 매핑하고, 더 일반적으로 함수를 함수에 매핑하는 연산자다. 일반적으로 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle \Delta ,}$로 표시되며$$, 기능 표기법에서는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x).}$

따라서 유한차이의 특수한 경우다.

시퀀스에 인덱스 표기법을 사용하면 정의가

${\displaystyle (\Delta a)_{n}=a_{n+1}-a_{n}.}$

The parentheses around ${\displaystyle \Delta f}$ and ${\displaystyle \Delta a}$ are generally omitted, and ${\displaystyle \Delta a_{n}}$ must be understood as the term of index n in the sequence ${\displaystyle \Delta a,}$ and not ${\displaystyle \Delta }$ applied to the element ${\displaystyle a_n}$${\displaystyle a_{n}.$$}$

$sequence{\displaystyle a_{}}$ = ( n${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{},}_{}}$ N$$, {\$displaystyle a=(a_{n})_{n\$in $\mathb${N$}}}}$의 첫 번째 차이점은 ${\displaystyle \Delta }$ a . .${\displaystyle \Delta a이다.$$}$

두 번째 차이는 Δ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$Δ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }\Delta }$) a = ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$(${\displaystyle \Delta }$ a )${\displaystyle }$. ${\displaystyle \Delta ^{2}a=(\Delta \circle \Delta )a=\Delta (\Delta$ a)이다$.$$}}$ 간단한 계산에$$ 의하면

${\displaystyle \Delta ^{2}a_{n}=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}.}$

보다 일반적인 경우: k번째 차이는 ${\displaystyle {\Delta }^{}}$k =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$,$${\$displaystyle \Delta$^{$k}=\Delta \circle \Delta$^{$n-1}$로 재귀적으로 정의되며, 하나는$$ 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta ^{k}a_{n}=\sum _{t=0}^{k}(1)^{t}{\binom {k}{t}a_{n+k-t}.}$

이 관계는 역전될 수 있으며,

${\displaystyle a_{n+k}=a_{n}+{k \cdots 선택 1}\Delta a_{n}+\cdots +{k 선택 \k}\Delta ^{k}(a_{n})}$

순서 k의 차이 방정식은 순서 k의 차등 방정식과 같은 방식으로 시퀀스 또는 함수의 k 첫 번째 차이를 포함하는 방정식이다.

위의 두 관계에서는 순서 k의 재발 관계를 순서 k의 차이 방정식으로, 반대로 순서 k의 차이 방정식을 순서 k의 재발 관계로 변환할 수 있다. 각 변환은 다른 변환의 역행이며, 차이 방정식의 해법인 시퀀스는 정확히 재발 관계를 만족시키는 시퀀스다.

예를 들어, 차이 방정식

${\displaystyle 3\Delta ^{2}a_{n}+2\Delta a_{n}+7a_{n}=0}$

재발 관계와 같다.

${\displaystyle 3a_{n+2}=4a_{n+1}-8a_{n}}}$

두 방정식이 동일한 순서에 의해 충족된다는 점에서.

반복관계를 만족하거나 재발관계의 해결방법이 되는 순서에 해당하므로, '반복관계'와 '차이방정식'이라는 두 용어가 번갈아 쓰이기도 한다. "반복 관계" 대신 "차이 방정식"의 사용 예는 Rational 차이 방정식 및 Matrix 차이 방정식을 참조하십시오.

차이 방정식은 미분 방정식과 유사하며, 이러한 유사성은 차이 방정식을 해결하기 위해 서로 다른 방정식을 푸는 모방 방법, 즉 반복 관계를 위해 종종 사용된다.

통합 방정식은 미분 방정식과 관련이 있기 때문에 차이 방정식과 관련된다. 차이 방정식 이론과 미분 방정식의 이론을 통일하려면 시간 척도 미적분을 참조하십시오.

시퀀스에서 그리드로

단변량 또는 1차원 반복 관계는 시퀀스(즉, 1차원 그리드에 정의된 함수)에 관한 것이다. 다변량 또는 n차원 반복 관계는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 그리드에 관한 것이다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -grids에$$ 정의된 함수도 부분차 방정식으로 연구할 수 있다.^[2]

해결하는

상수 계수를 사용하여 선형 반복 관계 해결

가변 계수로 1차 비균형 재발 관계 해결

또한 가변 계수와 관련된 일반 1차 비균형 선형 반복 관계의 경우:

${\displaystyle a_{n+1}=f_{n}a_{n}+g_{n},\qquad f_{n}\neq 0,}$

또한 다음과 같은 멋진 해결 방법이 있다.^[3]

${\displaystyle a_{n+1}-f_{n}a_{n}=g_{n}}}$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}-{\frac {f_{n}a_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}={\frac {g_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}{\prod_{n}f_{k}}-{\frac{a_{n}}{k=0}{k-1}{k}}}={\frac{g_{n}}}}}{k=0}^{k}}{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

내버려두다

${\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}}}}}},$

그러면

${\displaystyle A_{n+1}-A_{n}={\frac {g_{n}}{\prod_{k=0}^{n}f_{k}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n-1}(A_{m+1}-A_{m})=A_{n}-A_{0}=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {g_{m}}{\prod _{k=0}^{m}f_{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}{\prod_{k=0}^{n-1}f_{k}}}}=A_{0}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {g_{m}}{\prod _{k=0}^{m}f_{k}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle a_{n}=\좌(\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}\우)\좌(A_{0}++\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {g_{m_}}{k=0}}}\우)}$

If we apply the formula to ${\displaystyle a_{n+1}=(1+hf_{nh})a_{n}+hg_{nh}}$ and take the limit ${\displaystyle h\to 0}$, we get the formula for first order linear differential equations with variable coefficients; the sum becomes an integral, and the product becomes the exp적분 함수

일반적인 동종 선형 반복 관계 해결

많은 균일한 선형 재발 관계는 일반화된 초기하학 계열을 통해 해결될 수 있다. 이러한 특별한 경우들은 직교 다항식들에 대한 재발 관계와 많은 특별한 기능들로 이어진다. 예를 들어, 다음과 같은 해결책이다.

${\displaystyle J_{n+1}={\frac {2n}{z}J_{n}-J_{n-1}$

에 의해 주어지다

${\displaystyle J_{n}=J_{n}(z),}$

한편, 베셀 함수

${\displaystyle (b-n)M_{n-1}+(2n-b-z)M_{n}-nM_{n+1}=0}$

에 의해 해결되다

${\displaystyle M_{n}=M(n,b;z)}$

합체초기하계 다항식 계수를 갖는 선형 차이 방정식의 해법인 시퀀스를 P-재귀성이라고 한다. 이러한 특정한 반복 방정식의 경우 다항식, 이성적 또는 초지하학적 해결책을 찾는 알고리즘이 알려져 있다.

1차 합리 차이 방정식 해결

A first order rational difference equation has the form ${\displaystyle w_{t+1}={\tfrac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$. Such an equation can be solved by writing ${\displaystyle w_{t}}$ as a nonlinear transformation of another variable ${\displaystyle x_{t}}$ which itself는 선형적으로 진화한다. 그런 다음 x ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 선형 차이 방정식을 해결하기 위해 표준 방법을 사용할 수 있다$.$

안정성

선형 고차 반복의 안정성

$순서{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$의 선형 반복$,$

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\cdots +c_{d}a_{n-d}}}}$

특성 방정식을 가지고 있다.

${\displaystyle \d}-c_{1}\putda ^{d-1}-c_{2}\putda ^{d-2}-\cdots -c_{d}\putda ^{0}=0.}$

반복은 안정적이며, 이는 고유치(즉, 특성 방정식의 뿌리)가 모두 실제적이든 복합적이든 간에 절대값의 통일보다 작을 경우에만 반복치들이 점증적으로 고정값으로 수렴한다는 것을 의미한다.

선형 1차 매트릭스 반복 안정성

1차 행렬 차이 방정식

${\displaystyle [x_{t}-x^{*}]=A[x_{t-1}-x^{*}]}$

상태 벡터 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $x$$}$ 및 전환$$ $매트릭스{\displaystyle }$ A$$${\$$displaystyle x},$ $변환{\displaystyle }$ 매트릭스 $A$의 모든 고유값($$실제든 복합이든$)$이 절대값을 갖는 경우에만$$ 점증적으로 안정 $상태{\displaystyle {}^{}}$ 벡터 x$display${\$displaystystyle$ x$^{*}$에 수렴함$$ich는 1보다 작다.

비선형 1차 반복 안정성

비선형 1차 반복 고려

${\displaystyle x_{n}=f(x_{n-1}).}$

이 재발은 국소적으로 안정적이며, $이$는 x$∗{\$$displaystyle$ $x$$^{*}$ 부근에$$ $있는{\displaystyle }$ f$${\displaystyle x$^{*}}$의 경사가$$ 절대값의 단일보다 작을 $경우,$ x${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystystyle$ x$^{*}$에 충분히 가까운 지점에서$$ $고정점{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$}로 수렴한다는 것을 의미한다.

$[\displaystyle f'(x^{*})] <1.}$

비선형 반복은 복수의 고정점을 가질 수 있으며, 이 경우 일부 고정점은 국소적으로 안정적이고 다른 고정점은 국소적으로 불안정할 수 있다. 연속 f 인접 고정점 2개는 국소적으로 안정적일 수 없다.

비선형 반복관계는 > $(\displaystyle$ k$>1}$에 대해서도 $주기{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$의 주기를 가질 수 있다 이러한 주기는 안정적이며, 복합함수인 경우 초기 양수 조건을 끌어들이는 것을 의미한다.

${\displaystyle g(x):=f\cd f\cds \cdots \cds f(x)}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$f}이$$(가$)$ k ${\displaystyle k}$번 나타나면$$ 동일한 기준에 따라 국소적으로 안정적이다.

${\displaystyle g'(x^{*}) <1,}$

여기서 $∗{\$는 사이클$$ 상의 임의의 지점이다.

혼란스러운 반복 관계에서 변수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은 경계 영역에 머무르지만$$ 고정점이나 유인 사이클로 수렴되지 않는다. 방정식의 고정점이나 주기는 불안정하다. 로지스틱 지도, 디아디지 변환 및 텐트 맵을 참조하십시오.

미분방정식에 대한 관계

일반적인 미분방정식을 숫자로 풀면 일반적으로 재발 관계가 발생한다. 예를 들어, 초기 가치 문제를 해결할 때

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),\ y(t_{0})=y_{0}}}$

오일러의 방법과 스텝 크기 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ 로 값을 계산한다$.$

${\displaystyle y_{0}=y(t_{0}),\ y_{1}=y(t_{0}+h),\ y_{2}=y(t_{0}+2h),\display }$

재발로

${\displaystyle \,y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),t_{n}=t_{0}+nh}$

선형 1차 미분방정식의 시스템은 디크리트화 기사에 표시된 방법을 사용하여 정확하게 분석적으로 확인할 수 있다.

적용들

생물학

가장 잘 알려진 차이 방정식 중 일부는 인구 역학을 모형화하려는 시도에 기원을 두고 있다. 예를 들어, 피보나치 숫자는 한때 토끼 개체수의 성장을 위한 모델로 사용되었다.

로지스틱 지도는 인구 증가를 직접 모형화하는 데 사용되거나 인구 역학의 보다 상세한 모델의 출발점으로 사용된다. 이러한 맥락에서 결합 차이 방정식은 두 개 이상의 모집단의 교호작용을 모형화하는 데 종종 사용된다. 예를 들어 호스트-기생충 교호작용을 위한 Nicholson-Bailey 모델은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle N_{t+1}=\lambda N_{t}e^{-aP_{t}}}}$

${\displaystyle P_{t+1}=N_{t}(1-e^{-aP_{t}),}$

호스트를 나타내는$$ $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$와 $시간{\displaystyle {}_{}}$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle P_$${t$$}$ 기생충이$$ 있는 경우$.$

정수 방정식은 공간 생태계에 중요한 재발 관계의 한 형태다. 이러한 차이 방정식과 다른 차이 방정식은 특히 단일 모집단을 모형화하는 데 적합하다.

컴퓨터 공학

알고리즘 분석에서도 재발관계는 근본적으로 중요하다.^[4][5] 알고리즘이 문제를 더 작은 하위 문제(분할 및 정복)로 나누도록 설계되어 있다면, 그 실행 시간은 재발 관계에 의해 설명된다.

간단한 예로는 최악의 경우 $알고리즘$이 n$${\$displaystyle n}$ 요소를$$ 가진 순서 벡터에서 요소를 찾는 데 걸리는 시간을 들 수 있다.

순진한 알고리즘은 한 번에 한 요소씩 왼쪽에서 오른쪽으로 검색할 것이다. 최악의 시나리오는 필요한 요소가 마지막인 경우이므로 비교 횟수는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이다$.$

더 좋은 알고리즘은 바이너리 검색이라고 불린다. 그러나, 정렬된 벡터가 필요하다. 먼저 원소가 벡터 중앙에 있는지 확인한다. 그렇지 않은 경우, 중간 요소가 검색된 요소보다 크거나 작은지 점검한다. 이때 벡터의 절반은 폐기할 수 있고, 나머지 절반은 알고리즘을 다시 실행할 수 있다. 비교 횟수는 다음과 같다.

${\displaystyle c_{1}=1}$

${\displaystyle c_{n}=1+c_{n/2}}$

시간 복잡성은 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle {\mathrm{로그}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (n}$)${\displaystyle O(\log _{2}(n)})}$이 될 것이다$.$

디지털 신호 처리

디지털 신호 처리에서, 재발 관계는 한 번에 출력이 미래 시간의 입력물이 되는 시스템에서 피드백을 모델링할 수 있다. 따라서 무한충동 응답(IIIR) 디지털 필터에서 발생한다.

예를 들어 지연 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 "feedforward" IIR 빗 필터에 대한 방정식은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+\alpha y_{t-T}}}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 $시간{\displaystyle }$ t$${\$displaystyle t}$의 입력이고$,$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystytle t}$의 출력이며$,$$\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle \alpha$ \t$}$은 지연 신호의 양을 출력물에 다시 공급되는 양을 제어한다$$. 이것으로부터 우리는 그것을 알 수 있다.

${\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+\alpha((1-\alpha)x_{t-T}+\alpha y_{t-2T}}}}}}$

${\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+(\alpha -\alpha ^{2}x_{t-T}+\alpha ^{2}y_{t-2)T}$

등

경제학

재발관계, 특히 선형적 재발관계는 이론경제학이나 경험경제학 모두에서 광범위하게 사용된다.^[6][7] 특히 거시경제학에서는 일부 대리인의 행동이 지연된 변수에 의존하는 다양한 경제 분야(금융 분야, 상품 분야, 노동 시장 등)의 모델을 개발할 수 있다. 그 다음 다른 변수의 과거 및 현재 가치 측면에서 핵심 변수(금리, 실질 GDP 등)의 현재 가치에 대해 모델이 해결된다.

참고 항목

참조

각주

참고 문헌 목록

• Batchelder, Paul M. (1967). An introduction to linear difference equations. Dover Publications.
• Miller, Kenneth S. (1968). Linear difference equations. W. A. Benjamin.
• Fillmore, Jay P.; Marx, Morris L. (1968). "Linear recursive sequences". SIAM Rev. Vol. 10, no. 3. pp. 324–353. JSTOR 2027658.
• Brousseau, Alfred (1971). Linear Recursion and Fibonacci Sequences. Fibonacci Association.
• 토마스 H. 코멘, 찰스 E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. 알고리즘 소개, Second Edition. MIT 프레스 앤 맥그로우 힐, 1990년 ISBN 0-262-03293-7 제4장: 재발, 페이지 62~90.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2 ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5.
• Enders, Walter (2010). Applied Econometric Times Series (3 ed.). Archived from the original on 2014-11-10.
• Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. ISBN 0-387-23234-6. 제7장.
• Jacques, Ian (2006). Mathematics for Economics and Business (Fifth ed.). Prentice Hall. pp. 551–568. ISBN 0-273-70195-9. 9.1장: 차이 방정식
• Minh, Tang; Van To, Tan (2006). "Using generating functions to solve linear inhomogeneous recurrence equations" (PDF). Proc. Int. Conf. Simulation, Modelling and Optimization, SMO'06. pp. 399–404.
• Polyanin, Andrei D. "Difference and Functional Equations: Exact Solutions". EqWorld - 수학 방정식의 세계.
• Polyanin, Andrei D. "Difference and Functional Equations: Methods". EqWorld - 수학 방정식의 세계.
• Wang, Xiang-Sheng; Wong, Roderick (2012). "Asymptotics of orthogonal polynomials via recurrence relations". Anal. Appl. 10 (2): 215–235. arXiv:1101.4371. doi:10.1142/S0219530512500108. S2CID 28828175.

외부 링크

• "Recurrence relation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Recurrence Equation". MathWorld.
• "OEIS Index Rec". 선형 반복의 수천 가지 예에 대한 OEIS 지수(순서(항 수) 및 서명(상수 계수의 값 벡터)에 따라 정렬됨)