2개의 스피너 제품의 이선형 결합으로 이선형 제품을 다시 쓰기
이론물리학 에서 피에르즈 아이덴티티 는 개별 스피너의 바이린어 생산물의 선형 결합 으로 두 스피너 의 생산물을 다시 쓸 수 있는 아이덴티티다.스위스 물리학자 마르쿠스 피에르즈 의 이름을 따서 지은 것이다. 피에르즈 정체성은 때로는 피에르즈-폴리-코핑크 정체 라고도 불리는데, 이는 파울리와 코핑크가 그러한 정체성을 생산하기 위한 일반적인 메커니즘을 묘사했기 때문이다.
디락 스피너 에게는 피에르즈 정체성의 버전이 있고, 웨일 스피너 에게는 또 다른 버전이 있다.그리고 3+1 치수 외에 다른 차원에 대한 버전도 있다. 임의 치수의 스피너 이린어는 클리포드 대수학 의 요소들이다; 피에르즈 정체성은 클리포드 대수학을 외부 대수학 의[further explanation needed 지수 로 표현함으로써 얻을 수 있다.
4개의 스페이스타임 치수로 작업할 때 바이벡터 ctor χ \{\ displaystyle \psi{\bar{\ 공간 에 걸쳐 있는 Dirac 매트릭스 로 분해될 수 있다
ψ χ ¯ = 1 4 ( c S 1 + c V μ γ μ + c T μ ν T μ ν + c A μ γ μ γ 5 + c P γ 5 ) {\displaystyle \psi {\bar {\chi }}={\frac {1}{4}}(c_{S}\mathbb {1} +c_{V}^{\mu }\gamma _{\mu }+c_{ T}^{\mu \nu }T_{\mu \nu }+c_{ A}^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma _{5}+c_{P}\gamma _{5 계수는
c S = ( χ ¯ ψ ) , c V μ = ( χ ¯ γ μ ψ ) , c T μ ν = − ( χ ¯ T μ ν ψ ) , c A μ = − ( χ ¯ γ μ γ 5 ψ ) , c P = ( χ ¯ γ 5 ψ ) {\displaystyle c_{S}=({\bar {\chi }}}\v}^{{V}}=({\bar {\chi }}}\gamma ^{\mu }\psi }),\quad c_{{}}} T}^{\mu \nu }=-({\bar {\chi }}}T^{\mu \nu }\psi }),\quad c_{{ A}^{\mu }=-({\bar {\chi }}}\gamma ^{\mu _{5}\psi }),\quad c_{P}=({\bar {\chi }}}}}\gamma _{5}\psi )}} 그리고 대개 추적 연산 하에서 기초의 직교성 을 사용하여 결정된다. 원하는 감마 구조들 사이에 위의 분해들을 샌드위치화함으로써, 같은 유형의 두 디라크 바이린어의 수축에 대한 정체성은 다음 표에 따라 계수로 작성할 수 있다.
제품 S V T A P S × S = 1/4 1/4 −1/4 −1/4 1/4 V × V = 1 −1/2 0 −1/2 −1 T × T = −3/2 0 −1/2 0 −3/2 A × A = −1 −1/2 0 −1/2 1 P × P = 1/4 −1/4 −1/4 1/4 1/4
어디에
S = χ ¯ ψ , V = χ ¯ γ μ ψ , T = χ ¯ [ γ μ , γ ν ] ψ / 2 2 , A = χ ¯ γ 5 γ μ ψ , P = χ ¯ γ 5 ψ . {\displaystyle S={\bar {\chi }}\psi ,\quad V={\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad T={\bar {\chi }}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]\psi /2{\sqrt {2}},\quad A={\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad P={\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi .} 표는 중심 요소에 걸친 반사와 관련하여 대칭이다. 표의 부호는 통근 스피너 의 경우에 해당하며, 그렇지 않으면 물리학의 페르미온의 경우와 마찬가지로 모든 계수가 부호 를 바꾼다.
예를 들어, 통근 스피너를 가정하여 다음과 같이 V × V 제품을 확장할 수 있다.
( χ ¯ γ μ ψ ) ( ψ ¯ γ μ χ ) = ( χ ¯ χ ) ( ψ ¯ ψ ) − 1 2 ( χ ¯ γ μ χ ) ( ψ ¯ γ μ ψ ) − 1 2 ( χ ¯ γ μ γ 5 χ ) ( ψ ¯ γ μ γ 5 ψ ) − ( χ ¯ γ 5 χ ) ( ψ ¯ γ 5 ψ ) . {\displaystyle \left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi \right)=\left({\bar {\chi }}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\chi \right )\좌우회\bar{\mu}\bar _{\mu}\bar _{5}\bar \bar \bar \chi \bar _{5}\좌우회 _{5}\bar _{5}\bar \bar _{5}\bar \bar \bar \baut \bar \bar \bar \cauthouright}}} 전치 행렬의 고유 벡터에 해당하는 이린어의 조합은 고유값 ±1과 동일한 조합으로 변환한다. 예를 들어, 통근용 스피너인 V×V + A×A 의 경우,
( χ ¯ γ μ ψ ) ( ψ ¯ γ μ χ ) + ( χ ¯ γ 5 γ μ ψ ) ( ψ ¯ γ 5 γ μ χ ) = − ( ( χ ¯ γ μ χ ) ( ψ ¯ γ μ ψ ) + ( χ ¯ γ 5 γ μ χ ) ( ψ ¯ γ 5 γ μ ψ ) ) . {\displaystyle ({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\chi )=-(~({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi )~)~. } 단순화는 고려된 스피너가 Majorana Spinter 또는 Chiral Fermion일 때 발생하며, 팽창의 일부 용어는 대칭적 이유로부터 사라질 수 있다. 예를 들어 이번에 방공 스피너의 경우, 위로부터 쉽게 따르게 된다.
χ ¯ 1 γ μ ( 1 + γ 5 ) ψ 2 ψ ¯ 3 γ μ ( 1 − γ 5 ) χ 4 = − 2 χ ¯ 1 ( 1 − γ 5 ) χ 4 ψ ¯ 3 ( 1 + γ 5 ) ψ 2 . {\displaystyle {\bar {\chi }}_{1}\gamma ^{\mu }(1+\gamma _{5})\psi _{2}{\bar {\psi }}_{3}\gamma _{\mu }(1-\gamma _{5})\chi _{4}=-2{\bar {\chi }}_{1}(1-\gamma _{5})\chi _{4}{\bar {\psi }}_{3}(1+\gamma _{5})\psi _{2}. } 참조 Dirac bilinears의 스칼라 수축 부분을 다시 쓰기 위한 ID의 파생은 다음 중 29.3.4에서 찾을 수 있다. L. B. Okun (1980). Leptons and Quarks . North-Holland. ISBN 978-0-444-86924-1 부록 B.1.2 참조 Kennedy, A.D. (1981). "Clifford algebras in 2ω dimensions". Journal of Mathematical Physics . 22 (7): 1330–7. doi :10.1063/1.525069 . Pal, Palash B. (2007). "Representation-independent manipulations with Dirac spinors". arXiv :physics/0703214 
![{\displaystyle S={\bar {\chi }}\psi ,\quad V={\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad T={\bar {\chi }}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]\psi /2{\sqrt {2}},\quad A={\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad P={\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5a66123a0163a34ab5233b71e2c5b62cc3749c)
