충전 반지름

리만 기하학에서 리만 다지관 X의 충전 반경은 X의 미터법 불변성이다.본래는 1983년 미하일 그로모프에 의해 도입되었는데, 그는 이것을 필수 다지관에 대한 자신의 수축기 불평등과 실제 투영기에 대한 뢰네르의 토러스 불평등과 푸의 불평등을 크게 일반화하고, 현대적인 형태의 수축기하를 창조하는 데 사용했다.

평면 내 단순 루프 C의 충전 반경은 C 내부에 맞는 원의 가장 큰 반지름 R > 0으로 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {FillRad}(C\subset \mathb {R} ^{2}=R)}$

인접 지역을 통한 이중 정의

그로모프(Gromov)에서 알 수 있듯이 극히 생산적인 방법으로 이 개념을 일반화할 수 있는 일종의 이중적인 관점이 있다.즉, 우리는 표시된 루프 C의 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon$} -근접성을$$ 고려한다.

${\displaystyle U_{\barepsilon }C\subset \mathb {R} ^{2}.}$

> ${\displaystyle \varepsilon >0}$이(가) 증가함에 따라 , ${\$$displaystyle \varepsilon }$이(가) ${\displaystyle {}_{}}$ C {\$displaystyle U_{\varepsilon }C}$은 루프 내부를 점점 더 삼켜$$ 버린다.마지막으로 삼켜질 지점은 정확히 가장 큰 새겨진 원의 중심이다.Therefore, we can reformulate the above definition by defining ${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})}$ to be the infimum of ${\displaystyle \varepsilon >0}$ such that the loop C contracts to a point in ${\displaystyle U_{\varepsilon }C}$.

Given a compact manifold X imbedded in, say, Euclidean space E, we could define the filling radius relative to the imbedding, by minimizing the size of the neighborhood ${\displaystyle U_{\varepsilon }X\subset E}$ in which X could be homotoped to something smaller dimensional, e.g., to a lower-dimensional polyhedron.기술적으로 동질적 정의를 가지고 일하는 것이 더 편리하다.

동질적 정의

X의 방향성 여부에 따라 계수 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$또는$$ $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$$_{2$}}:그런 다음 컴팩트한 n차원 다지관 X의 [X]로 표시된 기본 클래스는 호몰로지 그룹 $Hn$($; A$)$$generator $A$의 생성기로서$,$ $우리는 설정$했다$.$

${\displaystyle \mathrm {FillRad}(X\subset E)=\inf \left\{\barepsilon >0\mid\iota _{\barepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\barepsilon }X)\rig)\right}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ${\$은 포함 동형성이다.

X에 리만 미터법 g가 장착된 상황에서 절대 충만 반경을 정의하기 위해 그로모프는 다음과 같이 진행한다.하나는 쿠라토프스키의 임베딩을 착취한다.One imbeds X in the Banach space ${\displaystyle L^{\infty }(X)}$ of bounded Borel functions on X, equipped with the sup norm ${\displaystyle \ \cdot \ }$. Namely, we map a point ${\displaystyle x\in X}$ to the function ${\displaystyle f_{x}\in L^{\infty }(X)}$ defined by tha 공식 ${\displaystyle f_{}}$ (${\displaystyle {}_{}y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$) ${\$$displaystyle$ $f_$${$$x}(y)=d(x,y$)=d$($x$,y$ 여기서 d는 ${\displaystyle \mathrm{메트릭}}$에 의해$$ 정의된 거리 함수다.삼각형 불평등에 의해 $우리$는 d${\displaystyle (x}$,${\displaystyle y}$) =${\displaystyle f_{}}$f - ${\displaystyle f_{}}$ y${\displaystyle {}_{},}$ ,$${\$displaystyle$ d$(x,y)=\ f_{x}-f_{y}\}}$를 갖게 되고$$ 따라서 임베딩은 내부 거리와 주변 거리가 일치한다는 점에서 강하게 등축적이다.X가 리만 서클일 때도 주위 공간이 힐베르트 공간이라면 그런 강한 등축 임베딩은 불가능하다(반대점 사이의 거리는 2!가 아니라 π!이어야 한다).그런 다음 위의 공식에서$$ $E{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle E=L^{\infit }(X)}$를 설정하고 정의하십시오.

${\displaystyle \mathrm {FillRad}(X)=\mathrm {FillRad} \left(X\subset L^{\inflict }(X)\right)}$

특성.

• 충전 반경은 직경의 최대 1/3이다(Katz, 1983).
• 일정한 곡률의 지표를 가진 실제 투영 공간의 충만 반지름은 리만 직경의 1/3이다(Katz, 1983 참조).이와 동등하게, 충전 반경은 이러한 경우 시스톨의 6분의 1이다.
• 길이 2㎝의 리만 원, 즉 리만 거리 함수가 유도된 단위 원의 충전 반경은 π/3, 즉 길이의 6분의 1과 같다.이는 위에서 언급한 직경 상한을 시스톨 측면에서 그로모프의 하한과 결합함으로써 나타난다(Gromov, 1983).
• 필수 다지관M의 시스템홀은 충전 반경의 최대 6배이다(Gromov, 1983 참조).
  • 불평등은 위와 같은 실제 투영 공간에 의해 평등의 경계 사례가 달성된다는 점에서 최적이다.
• 콤팩트 매니폴드의 주입성 반지름은 충전 반지름의 하한을 제공한다.즉,

  ${\displaystyle \mathrm {FillRad}M\geq {\frac {\mathrm {InjRad}M}{2(\dim M+2)}}.}$

참고 항목

• 충전 영역 추측
• 필수 다지관에 대한 그로모프의 수축기 불평등

참조

• 그로모프, M.: 리만 다지관 채우기, 미분 기하학 18호(1983) 1–147.
• Katz, M.: 2점 균질 공간의 충전 반지름.Journal of Differential Geometry 18, 번호 3(1983) 505–511.
• Katz, Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 137, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4177-8, OCLC 77716978