실제 투영 공간

수학에서 실제 투영 공간 또는 ${\displaystyle RP}$ⁿ ${\displaystyle {}_{}}$ $P{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ n (${\displaystyle {}_{}}$R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathb {P} _{n}(\mathb {R}$)은$$R에서ⁿ⁺¹ 원점 0을 통과하는 선의 위상 공간이다.치수 n의 콤팩트하고 부드러운 다지관이며, 그라스만 공간의 특수 케이스 Gr(1, Rⁿ⁺¹)이다.null

기본 속성

건설

모든 투영 공간과 마찬가지로, RP는ⁿ 모든 실수 λ for 0에 대해 동등성 관계 x ~ λx에 따른ⁿ⁺¹ R ∖ {0}의 몫을 취함으로써 형성된다.Rⁿ⁺¹ ∖ {0}의 모든 x에 대해 λx가 표준 1을 갖는 λ을 항상 찾을 수 있다.기호에 따라 차이가 나는 그런 λ이 정확히 두 개 있다.null

따라서 RP는ⁿ R에서ⁿ⁺¹ 단위 n-sphere S의ⁿ 항정신병 지점을 식별함으로써 형성될 수도 있다.

S의ⁿ 상반구로 더 제한할 수 있고 경계 적도의 반향점만 식별할 수 있다.이는 RP가ⁿ 또한 닫힌 n차원 디스크 D와ⁿ 동등하며, 경계에 대척점인 ∂Dⁿⁿ⁻¹ = S, 식별됨을 보여준다.null

저차원 예

RP는¹ 실제 투영선이라고 불리며, 이는 위상학적으로 원에 해당한다.null

RP는² 실제 투영면이라고 불린다.이 공간은 R에³ 내장할 수 없다.그러나 R에⁴ 내장할 수 있고 R에³ 담길 수 있다.투사적인 n-space에 대한 내포성과 불변의 문제는 잘 연구되어 왔다.^[1]null

RP는³ (이형적인) SO(3)이므로 그룹 구조를 인정하며, 커버 맵 S³ → RP는³ 그룹 Spin(3) → SO(3)의 맵이며, 여기서 Spin(3)은 SO(3)의 보편적인 커버인 Lie 그룹이다.null

위상

n-sphere의 대척점 지도(x to -x를 보내는 지도)는 S에ⁿ Z 그룹₂ 동작을 생성한다.위에서 언급한 바와 같이, 이 작용을 위한 궤도 공간은 RP이다ⁿ.이 작용은 실제로 S를ⁿ RP의ⁿ 이중 커버로 주는 커버 공간 작용이다.S는ⁿ 단순히 n ≥ 2에 연결되어 있기 때문에, 이 경우 보편적인 커버의 역할도 한다.따라서 n > 1. (n = 1)일 때 RP의ⁿ 기본 집단은₂ Z가 된다.(n = 1일 때 S와의¹ 동형성 때문에 기본 집단은 Z가 된다.)기본 집단을 위한 발전기는ⁿ S의 대척점들을 RP로ⁿ 연결하는 곡선을 투영하여 얻은 닫힌 곡선이다.null

투영적인 n-공간은 콤팩트하고 연결되며, 순서 2의 순환 그룹에 대한 근본적인 그룹 이형성을 가지고 있다: 그것의 범용 피복 공간은 단순하게 연결된 공간인 n-sphere의 항정신적 인수 지도로 주어진다.그것은 이중 커버다.R의^p 대척점 지도에는 표식${\displaystyle (}$ -${\displaystyle {}^{}1}$ ) ${\displaystyle p^{}}$ ${\$가 있으므로 p가 짝수라면 방향을 보존하는 것이다.따라서 방향 문자는 다음과 같다:^[2]$$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ P ${\displaystyle {\mathbf{n}}^{}}$ ) {\$displaystyle \pi _{1$}(\$mathbf${RP} ^{$n})$ ^{$}}}$는 방향에서${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$}의 역할을 하므로$$, nⁿ.null

투영적인 n-공간은 사실 공차적 선형 변환인 추적 1의 모든 대칭(n + 1) x (n + 1) 행렬로 구성된⁽ⁿ⁺¹⁾² R의 하위 관리형과는 다르다.^{[citation needed]}null

실제 투영 공간의 기하학적 구조

실제 투영 공간은 표준 원형 구체에 의한 이중 커버에서 나오는 일정한 양의 스칼라 곡률 지표를 허용한다(대항 지도는 국소적 등위법이다).null

표준 원형 메트릭의 경우 이는 단면 곡률 1과 동일하다.

표준 원형 미터법에서 투영 공간의 측정은 정확히 구의 측정값의 절반이다.null

매끄러운 구조

실제 투영 공간은 매끄러운 다지관이다.S의ⁿ 경우 동종 좌표(x₁...x_n+1)에서 x x_i 0의 부분 집합 U를_i 고려하십시오.각 U는_i 동일한ⁿ RPⁿ 서브셋에 대한 Rtap 맵의 두 개의 오픈 유닛 볼의 분리 결합에 대해 동형이며 좌표 전환 기능이 부드럽다.이것은 RP를ⁿ 매끄러운 구조로 만든다.null

CW 복합체로서의 구조

실제 투영 공간 RP는ⁿ 모든 차원에 1개의 셀이 있는 CW 복합체의 구조를 인정한다.null

균일한 좌표(x₁...x_n+1) S에서ⁿ 좌표 근린₁ U = {(x₁ ... x_n+1) x ≠ 0}은₁(는) n-disk D의ⁿ 내부를 확인할 수 있다.x_i = 0이면 RP가ⁿ⁻¹ 있다.따라서 RP의ⁿ n-1 골격은 RP이며ⁿ⁻¹, 부착 지도 f : S → RP는ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹ 2대 1 커버 맵이다.말할 수 있다

${\displaystyle \mathbf {RP}^{n}=\mathbf {RP}^{n1}\cup _{f}D^{n}.}$

유도를 통해 RP는ⁿ 최대 n까지 모든 차원에 1개의 셀이 있는 CW 복합체임을 알 수 있다.

그 세포들은 깃발 다지관에 있는 것처럼 슈베르트 세포들이다.즉, 완전한 플래그를 취한다(표준 깃발을 말한다). 0 = V₀ < V₁ <...>< V_n. 그러면 닫힌 k-cell은 V에_k 놓여 있는 선이다.또한 오픈 k-cell(k-cell 내부)은 V_k \ V_k−1(V에서_kk−1 선은 있지만 V에서는 선은 아님)로 되어 있다.null

균일한 좌표(국기에 대한)에서 셀은

${\displaystyle {\c}{c}[*:0:0:\properties :0]\\\{}*:0:\properties :0]\\\vdots \\\\\\\\[*:*:*:\put :*]\end{array}}}$

이것은 일반적인 CW 구조가 아니다. 지도 부착이 2대 1이기 때문이다.그러나 그것의 덮개는 구에 있는 정규 CW 구조로, 모든 차원에 2개의 셀이 있다. 실제로 구에 최소의 정규 CW 구조다.null

부드러운 구조에 비추어 볼 때, 모스 함수의 존재는 RP가ⁿ CW 콤플렉스라는 것을 보여줄 것이다.그러한 기능 중 하나는 균일한 좌표로 주어진다.

${\displaystyle g(x_{1},\ldots,x_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot x_{i} ^{2}.}$

각 인접 지역_i U에서 g는 비감소 임계점(0,...,1,...,0)을 가지며, 여기서 1은 Morse 지수 i의 i번째 위치에서 발생한다.이것은 RP가ⁿ 모든 차원에 1개의 셀이 있는 CW 복합체임을 보여준다.null

Tautological 번들

실제 투영 공간에는 tautological bundle이라고 불리는 자연선 묶음이 있다.보다 정확히 말하면 이것을 tautological subbundle이라고 하며, tautological quitient bundle이라고 하는 이중 n차원 묶음도 있다.null

실제 투영공간의 대수적 위상

호모토피군

RP의ⁿ 더 높은 호모토피 그룹은 정확히 진동에 관련된 호모토피에 대한 긴 정확한 순서를 통해 S의ⁿ 더 높은 호모토피 그룹이다.null

명시적으로 섬유 번들은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$

라고 써도 좋다.

${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP}^{n}}}}$

또는

${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP}^{n}}}}$

복잡한 투영 공간과 유추하여null

호모토피 그룹은 다음과 같다.

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{case}}}$

호몰로지

위의 CW 구조와 관련된 셀룰러 체인 콤플렉스는 각 치수 0, ..., n에 1개의 셀을 가지고 있다. 각 치수 k에 대해 경계 지도_k d : ΔD^k → RP^k−1/RP는^k−2 S에서^k−1 적도를 붕괴시킨 다음 항정신병 지점을 식별하는 맵이다.홀수(resp).짝수) 치수, 도(resp 2)가 있음:

${\d_{k}=1+(-1)^{k}}$

그러므로 본질적인 호몰로지(homology가 있다.

${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}}\end{case}}$

RP는ⁿ 위의 호몰로지 계산에서 알 수 있듯이 n이 홀수인 경우 방향성이 있다.null

무한 실제 투영 공간

무한 실제 투사 공간은 유한 투사 공간의 직접 한계 또는 결합으로 구성된다.

${\displaystyle \mathbf {RP} ^{\nft }:=\lim _{n}\mathbf {RP} ^{n}.}$

이 공간은 최초의 직교 그룹인 O(1)의 공간을 분류하고 있다.null

이 공간의 이중 커버는 무한구 $∞{\$ $\}\}\}\},$ 수축이 가능하다.따라서 무한 투영 공간은 에일렌버그-매클레인 공간 K(Z₂, 1)이다.null

각 비음수 정수 q에 대해 modulo 2 호몰로지 그룹 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{P}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle Z}$/ ${\displaystyle 2\mathbf{}}$ ${\displaystyle H_{q}(\mathbf {RP}) ^{\nft };\mathbf {Z}/2)=\mathbf {Z} /2$

코호몰로지 링모듈로2는

${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infit };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}, [w_{1}],},}$

여기서 w ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는$$ 첫 번째 스티펠–휘트니 클래스: 자유 $Z{\displaystyle \mathbf{}}$/ ${\displaystyle 2\mathbf{}}$ ${\displaystyle Z\mathrm{}}$ ${\$ -algebra$$ $on{\displaystyle {}_{}}$ w ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 등급이다.

참고 항목

• 복잡한 투영 공간
• 쿼터니온 투영 공간
• 렌즈 공간
• 실제 투영면

메모들

참조

• 브레돈, 글렌위상과 기하학, 수학 대학원 교과목, Springer Verlag 1993, 1996
• Davis, Donald. "Table of immersions and embeddings of real projective spaces". Retrieved 22 Sep 2011.
• Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79160-1.