직사각형 전위차벽

양자역학에서 직사각형(또는 때로는 사각형) 전위 장벽은 파동-기계 터널링("퀀텀 터널링"이라고도 함)과 파동-기계 반사 현상을 보여주는 표준 1차원 문제다.문제는 직사각형 전위 에너지 장벽에 부딪히는 입자에 대한 1차원 시간 독립 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것으로 구성된다.여기와 같이, 자유 입자가 왼쪽으로부터 장벽에 충돌한다고 가정한다.

고전적으로 점 질량으로 작용하는 입자는 에너지가 V ${\$보다 작을 경우 반영되지만$,$ 실제로 물질 파동으로 작용하는 입자는 장벽에 침투하여 반대편 파동으로 계속 이동할 확률은 0이 아니다.고전파-물리학에서 이 효과는 반사파 커플링이라고 알려져 있다.입자가 장벽을 통과할 확률은 전송 계수에 의해 주어지는 반면, 반사 계수에 의해 반사될 확률은 주어진다.슈뢰딩거의 파동 등가에서는 이러한 계수를 계산할 수 있다.

계산

$파형{\displaystyle }$ 함수 function (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$에 대한 시간 독립적 슈뢰딩거 방정식은

${\displaystyle H\psi(x)=\왼쪽[-{\frac {\hbar^{2}}:{d^{d^{2}}:{dx^{2}}+V(x)\오른쪽]\psi(x)=E\psi(x)}$

여기서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) 해밀턴식이고, $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$은(는) 플랑크 상수, $m{\displaystyle }${\$displaystyle$m}은(은) $질량$이고,$$E {\$displaystystyle E}$은 입자의 에너지$$ 및

${\displaystyle V(x)=V_{0}[\Teta (x)-\Teta (x-a)]}$

0> ${\displaystyle V_{0}}$과 $너비$가 ${\displaystyle a}$인 장벽 전위임$.$ potential)= x< )= > ,$displaystyle \theta(x)=0,\x<0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;$$\테타(x)=1,\;x>0}$

Hubiside step 함수, 즉,

${\displaystyle V(x)={\begin{case}0&{\text{if{}x<0\\V_{0}&{\text}{{}0<x<\0&{\text}{{{}text{}}}}}$

장벽은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$과($와{\displaystyle }$) ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle$ x$=a}$ 사이에 위치한다$.$장벽은 결과를 변경하지 않고 $임의$의 x ${\displaystyle x}$ 위치로$$ 이동할 수 있다.해밀턴어에서 첫 번째 용어는 -$\frac{{\hslash \mathrm{}}^{}}{}$ $\frac{{}^{}}{\mathrm{}}$ m $\frac{}{}\frac{{}^{}}{}$ $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$ d $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$ $\frac{{}^{}}{}$ ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}:{{d^{dx^{2$}}:{dx^{2$}}:}\psi}}}}}$ 운동$$ 에너지다.

장벽은 공간을 세 부분으로 (< ,0< < a > ${\displaystyle$ x $<0,0<a,x>a}).$이 중 어느 부분에서도 전위는 일정하며, 이는 입자가 준자유임을 의미하며, 슈뢰딩거 방정식의 해법은 좌우 이동파의 중첩으로 쓸 수 있다(자유입자 참조). E> V ${\$인 경우

${\displaystyle \psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}\quad x<0}$

${\displaystyle \psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}\quad 0<a}$

${\displaystyle \psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}\quad x >a}$

파동 번호가 에너지와 관련된 경우

${\displaystyle k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}\}\qquad \qquad x<0\cext{or}\quad x>a}$

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0}}/\hbar ^{2}}}\quad 0<a.}$

$계수{\displaystyle }$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ B ${\displaystyle B}$의 지수 $r{\displaystyle }$/ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r/l}$은 속도 벡터의 방향을 나타낸다.입자의 에너지가 장벽 높이보다 낮으면 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}가 상상이 되고$$ 파동 기능이 장벽 내에서 기하급수적으로 붕괴된다는 점에 유의한다.그럼에도 불구하고 이 경우에는 파도가 더 이상 전파되지 않더라도 우리는$$ $r{\displaystyle }$/ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle$ r$/l}$라는 표기법을 유지하고 있다.여기서는 $E{\displaystyle }$ ≠${\displaystyle }$V ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ E$\neq$ V_{$0}}$을$($를) 가정했다.사례 $E{\displaystyle }$= V ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 아래에서 처리한다$$.

계수 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A,B,C}$는 $x{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ x$=0}$ 및$$ $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle x=a}$의 파형 함수의 경계 조건에서 찾아야 한다$$$.$파동함수와 그 파생상품은 어디에서나 연속적이어야 하기 때문에

${\displaystyle \psi _{L}(0)=\psi _{C}(0)}$

$왼쪽.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\오른쪽 _{x=0}=\왼쪽.{\frac {d\psi _{C}}{dx}\오른쪽 _{x=0}}$

${\displaystyle \psi _{C}(a)=\psi _{R}(a)}$

$왼쪽.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\오른쪽 _{x=a}=\왼쪽.{\frac {d\psi _{R}}{dx}\오른쪽 _{x=a}.}$

파동함수를 삽입하면 경계조건은 계수에 다음과 같은 제약을 준다.

${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}}$

${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$

${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}+B_{l}e^{-iak_{1}:{1}=C_{r}e^{0}+C_{l}e^{-iak_{0}}}}}}}}$

${\displaystyle ik_{1}\{r}e^{iak_{1}-{1}-B_{l}e^{-iak_{1}@}\right)=ik_{0}\{r}e^{iak_{0}-C_{l}e^{-iak_{0}\\rig}\right.}$

E = V₀

에너지가 장애물 높이와 같을 경우 장애물 영역 내부의 파동함수의 두 번째 차이는 0이므로 슈뢰딩거 방정식의 해법은 더 이상 기하급수적인 것이 아니라 공간 좌표의 선형함수가 된다.

${\displaystyle \psi _{C}(x)=B_{1}+B_{2}x\quad 0<a.}$

슈뢰딩거 방정식의 완전한 해법은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$ 및 $x$ = ${\displaystyle x=a}$에서 파동함수와 그 파생상품을 일치시켜 위와 같은 방법으로 찾을 수 있다$.$이는 계수에 대해 다음과 같은 제한을 초래한다.

${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{1}:{1}$

${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l}=B_{2}}:$

${\displaystyle B_{1}+B_{2}a=C_{r}e^{iak_{0}+C_{l}e^{-iak_{0}}}}}$

${\displaystyle B_{2}=ik_{0}\좌측(C_{r}e^{0}-C_{l}e^{-iak_{0}\오른쪽).}$

전송 및 반사

이쯤 되면 고전적인 사례와 상황을 비교하는 것이 교훈적이다.두 경우 모두 입자는 장벽 영역 밖에서 자유 입자로 작용한다.장벽 높이 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$보다 큰$$ 에너지 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) 가진 고전 입자는 항상 장벽을 통과하며$$, 장벽에 발생한 < {\$displaystyle E<V_{0}}}$을(를) 가진 고전 입자는 항상 반사된다.

양자 케이스를 연구하기 위해, 다음과 같은 상황을 고려한다: $$에서 장벽의 입자 입사(A ${\displaystyle r_{}}$ ${\$}).$$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$ 또는 전송될 ${\displaystyle {}_{}}$ $($C r {\$displaystyle$C_{$$$r}).$

To find the amplitudes for reflection and transmission for incidence from the left, we put in the above equations ${\displaystyle A_{r}=1}$ (incoming particle), ${\displaystyle A_{l}=r}$ (reflection), ${\displaystyle C_{l}=0}$ (no incoming particle from the right), and ${\displa$$ystyle C_{r}=t}($전송).그런 다음 방정식에서 계수$$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 제거하고 r ${\displaystyle r}$ 및$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 대해 해결한다$.$

결과는 다음과 같다.

${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1}}}}}}}}:{2}-e^{2iak_{1}{0}-k_{1}:{1}:{2}}:00}$

${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2}\sin(ak_{1}}){2ik_{0}k_{1}}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}{1}){1}}^{2}\sin(ak_{1}}).}$

모델의 거울 대칭으로 인해 오른쪽에서 발생하는 발생 진폭은 왼쪽에서 발생하는 진폭과 동일하다.이러한 표현식은 E> 0 ${\displaystyle E>0$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ V ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해 포함되므로,${\displaystyle }E{\displaystyle }$ = ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle$E=$V_{0$ $k{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystystyle k_{1}=$0}=$0$ 이 두 표현 모두 특이점이 있다.

입수한 표현식의 분석

E < V₀

놀라운 결과는 장벽 높이보다 작은 에너지의 경우 < ${\$ 0이 아닌 확률이 있다는 것이다.

${\displaystyle T= t ^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4}E(V_{0}-E)}}}}}$

$k{}_{}$ 1${}_{}$= $\sqrt{\mathrm{2m}}$ $\sqrt{(V}$ $\sqrt{{0\mathrm{}}_{}}$- E$\sqrt{}$) /$\sqrt{{\hslash \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$고전적인 경우와 다른 이러한 효과를 양자 터널링이라고 한다.전송은 방호벽 너비로 기하급수적으로 억제되며, 이는 파동 함수의 기능적 형태에서 이해할 수 있다.방호벽 외부에서는 파장 벡터 k ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$방호벽 내에서는 1/${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$1 ${\$}에 걸쳐 기하급수적으로 감쇠된다$.$ 방호벽이 이 붕괴 길이보다 훨씬 넓으면 좌우 부분은 사실상 독립적이며 결과적으로 터널링된다.눌어붙인

E > V₀

이 경우

${\displaystyle T= t ^{2}={\frac {1}{1+{{V_{0}^{0}}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0}}}}}}}}},},},}$

여기서 ${k\mathrm{}}_{}$= $\sqrt{\mathrm{2m}(E}$- V $\sqrt{{0\mathrm{}}_{}}$ )$\sqrt{{}_{}}$/$\sqrt{}$/ $\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $^\{$$2}}.$

마찬가지로 놀라운 것은 장벽 높이 > V ${\$보다 큰 에너지의 경우 입자가 장벽으로부터 0이 아닌 확률로 반사될 수 있다는 것이다

${\displaystyle \,R=r ^{2}=1-T.}$

전송 및 반사 확률은 실제로 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{1}a$와 함께 진동한다.The classical result of perfect transmission without any reflection (${\displaystyle T=1}$, ${\displaystyle R=0}$) is reproduced not only in the limit of high energy ${\displaystyle E\gg V_{0}}$ but also when the energy and barrier width satisfy ${\displaystyle k_{1}a=n\pi }$, where $$${\displaystyle n}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle }$… ${\displaystyle n=1,2,\dots }($$E{\displaystyle }$/ ${\displaystyle V{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$.2${\displaystyle E/V_{0}=1$ 근처의 피크 참조$).$$위$의 그림에서 2$}$ 및 1$$.8).쓰여진 확률과 진폭은 장애물 높이(아래/위)에 대한 에너지라는 점에 유의하십시오.

E = V₀

$E{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 전송 확률은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle T={\frac {1}{1+ma^{2}{V_{0}/2\hbar ^{2}}.}$

설명 및 응용 프로그램

위에 제시된 계산은 처음에는 비현실적으로 보일 수도 있고 거의 유용하지 않을 수도 있다.그러나 그것은 다양한 실생활 시스템에 적합한 모델임이 입증되었다.그러한 예로는 두 전도체 사이의 인터페이스가 있다.대부분의 물질에서 전자의 움직임은 준자유적이며 위의 해밀턴어로 유효 $질량{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$과 함께 운동 용어로 설명할 수 있다$.$ 종종 그러한 물질의 표면은 산화층으로 덮여 있거나 다른 이유로 이상적이지 않다.이 얇은 비전도성 층은 위의 장벽 전위에 의해 모델링될 수 있다.그러면 전자는 한 물질에서 다른 물질로 터널을 통과하여 전류를 발생시킬 수 있다.

스캐닝 터널링 현미경(STM)의 작동은 이 터널링 효과에 의존한다.그 경우에 장벽은 STM의 끝과 밑의 물체 사이의 간격 때문이다.터널 전류는 장애물 폭에 따라 기하급수적으로 달라지기 때문에 이 장치는 검사된 표본의 높이 변화에 매우 민감하다.

위의 모델은 1차원인 반면, 공간은 3차원이다.슈뢰딩거 방정식을 3차원으로 풀어야 한다.반면에, 많은 시스템은 하나의 좌표 방향을 따라서만 변화하고 다른 좌표 방향을 따라 번역적으로 불변하며, 그것들은 분리할 수 있다.$그런{\displaystyle \mathrm{}}$ 다음 슈뢰딩거 방정식은 wave (x,${\displaystyle y,}$ z${\displaystyle }$) =${\displaystyle \psi }$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (,z}$) ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi$ ($x)\phi (y,z)}$ 형식에 대한 ansatz에 의해 여기에서 고려된 경우로 축소될 수 있다$.$

다른, 관련되는 장벽 모델의 경우, 유한한 잠재적 장벽의 특별한 경우로 간주될 수 있는 델타 전위 장벽(QM)을 참조한다.이 글의 모든 결과는 V ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V_{0}\to$ 0}을(를) $\inft ,\;a\to 0}$에 제한$$ V 0 = = ${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$을(를)로$$ 하여 델타 전위 장벽에 즉시 적용된다.

참고 항목

• 모스/장거리 전위
• 스텝 포텐셜
• 유한전위 우물
• 파울리 배제 원칙

참조

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck; et al. (1996). Quantum mechanics. transl. from the French by Susan Reid Hemley. Wiley-Interscience: Wiley. pp. 231–233. ISBN 978-0-471-56952-7.