유한전위 우물

유한전위 우물(일명 유한 사각 우물)은 양자역학에서 나온 개념이다.입자가 "상자"에 국한되지만, 유한한 "벽"을 가진 무한한 전위 우물의 연장이다.무한한 전위 우물과는 달리 상자 밖에서 입자가 발견되는 것과 관련된 확률이 있다.양자역학적 해석은 입자의 총 에너지가 벽의 잠재적 에너지 장벽보다 작으면 상자 밖에서 찾을 수 없는 고전적 해석과는 다르다.양자 해석에서는 입자의 에너지가 벽의 잠재적 에너지 장벽(cf 양자 튜닝)보다 작더라도 입자가 상자 밖에 있을 확률은 0이 아니다.

1차원 박스의 입자

x축의 1차원 사례에 대해서는 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

-{\frac {\hbar^{2}}:{2m}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}+V(x)\psi = E\psi }

(1)

어디에,

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ = $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ ${\$ 은 $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ (는) 축소된 Planck의 상수,
플랑크의 상수인데 $h$
$m$ $m$ 은 $m$ (는) 입자의 질량이고
$\psi$ $\psi$ 은 $\psi$ (는) 우리가 찾고자 하는 파동 기능이다.
$V(x)$ ( $V(x)$ ) $V(x)$ 은 $V(x)$ 각 지점 x의 잠재적 에너지를 설명하는 함수로서,
$E$ $E$ 은 $E$ 에너지, 실수로, 때로는 고유 에너지라고도 불린다.

길이 L의 1차원 박스에 있는 입자의 경우 박스 바깥에서 $V_{0}$ $V_{0}$ 0 ${\$ x의 경우 - $-L/2$ / $-L/2$ ${\displaystyle -L/2$ }과 $-L/2$ (와) $L/2$ / $L/2$ $L/2$ 사이의 전위는 0이며 $L/2$ 파장 기능은 x 범위에 따라 다른 파장 기능을 구성하는 것으로 간주된다.x가 상자 안이나 바깥에 있는지 여부.따라서 파동 기능은 다음과 같이 정의된다.

\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the box)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the box)}}\\\psi _{3},&{\text{if }}x>L/2{\text{  (the region outside the box)}}\end{cases}}

상자안

상자 안의 영역에 대해 V(x) = 0 및 방정식 1은

-{\frac {\hbar ^{2}}:{2m}{\frac {d^{2}\psi _{2}}:{dx^{2}}=E\psi _{2}.

내버려 두는

k={\frac {\sqrt {2mE}{\hbar }},

방정식이 되다

{\frac {d^{2}\property_{2}}:{dx^{2}}=-k^{2}\properties _{2}.

이것은 잘 연구된 미분방정식과 고유치 문제로서, 일반적인 해법이 있다.

\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,

그러므로,

E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.

여기서 A와 B는 어떤 복잡한 숫자도 될 수 있고, k는 어떤 실수도 될 수 있다.

상자 밖

박스 외부 영역의 경우 $V(x)=V_{0}$ 가 $V(x)=V_{0}$ 하므로 V( $V(x)=V_{0}$ x $V(x)=V_{0}$ ) $V(x)=V_{0}$ = V $V(x)=V_{0}$ ${\$ $V_{0}}$ 및 $V(x)=V_{0}$ 방정식 1은 다음과 같이 된다.

-{\frac {\hbar ^{2}}:{2m}{\frac {d^{2}\psi _{1}{dx^{2}}=(E-V_{0})\psi _{1}}

E가 $V_{0}$ $V_{0}$ ${\$ 전위적으로 입자가 바인딩되어 있음) 이하인지 $V_{0}$ 가 V $V_{0}$ {\ $displaystyle V_{0}}($ 입자가 자유인 경우)보다 큰지에 따라 두 가지 해결책이 있다.

자유 입자의 경우 $E>V_{0}$ > $E>V_{0}$ $E>V_{0}$ ${\$ 및 $E>V_{0}$ leting

k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0}})}{\hbar }}

생산하다

{\dfracyle {d^{2}\properties _{1}{dx^{2}}=-k'^{2}\properties _{1}}

내부 웰 케이스와 동일한 솔루션 형태:

\psi _{1}=C\sin(k'x)++D\cos(k'x)

이 분석은 $E<V_{0}$ < $E<V_{0}$ $E<V_{0}$ ${\$ 을(를) 나타내는 바운드 상태에 초점을 맞춘다 $E<V_{0}$

\alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}

생산하다

{\frac {d^{2}\properties _{1}{dx^{2}}=\property ^{2}\property _{1}

일반적인 솔루션이 지수인 경우:

\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}

마찬가지로 상자 밖의 다른 영역의 경우:

\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}

이제 당면한 문제에 대한 구체적인 해결책을 찾기 위해서는 적절한 경계 조건을 명시하고 그 조건을 만족시키는 A, B, F, G, H, I의 값을 찾아야 한다.

바운드 상태에 대한 파형 기능 찾기

슈뢰딩거 방정식에 대한 해결책은 연속적이고 지속적으로 달라져야 한다.^[1]이러한 요건은 이전에 도출된 미분방정식의 경계 조건, 즉 우물 내부와 외부의 용액 사이의 일치 조건이다.

이 경우 유한한 전위 유정은 대칭적이므로 대칭성을 이용하여 필요한 계산을 줄일 수 있다.

이전 섹션 요약:

\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the box)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the box)}}\\\psi _{3},&{\text{if }}x>L/2{\text{  (the region outside the box)}}\end{cases}}

\psi _{2}

서

\psi _{3}

\psi _{1}

{\

displaystyle \psi_{1},

\psi _{2}

{ 2 {\

displaystyle \style_

{2}},

psi

3

{\

displaystyle \psi_{3}

은

\psi _{3}

(는) 다음을

\psi _{3}

것으로 확인되었다.

\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}

\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)

\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}

$x$ $x$ 이 $x$ (가) - $-\infty$ ${\displaystyle$ - $\infit$ $-\infty$ 으)로 이동하면 $F$ $F$ 용어는 $F$ 무한대로 이동한다는 것을 알 수 있다.마찬가지로, $x$ {\ $displaystyle x}$ 이(가 $+\infty$ + $+\infty$ {\ $displaystyle +\infit }($ 으)로 이동하면 $x$ $+\infty$ $I$ $I$ 용어는 $I$ 무한대로 이동한다.파형 기능이 정사각형 통합이 $F=I=0$ 하려면 $F=I=0$ F = $F=I=0$ = $(\displaystyle$ F= $I=0$ 을 설정해야 하며, 다음이 있다.

\psi _{1}=Ge^{\alpha x}

그리고

\psi _{3}=He^{-\alpha x}

다음으로, 전체 $\psi$ 함수는 $\psi$ 연속적이고 차별화되어야 한다는 것을 알고 있다.즉, 기능과 그 파생상품의 가치는 다음과 같은 분할 지점에서 일치해야 한다.

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)$		$\psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)$
$왼쪽.{\frac {d\psi _{1}{dx}}\오른쪽 _{x=-L/2}=\왼쪽.{\frac {d\psi _{2}}:{dx}\오른쪽 _{x=-L/2}}$		$왼쪽.{\frac {d\psi _{2}}{dx}\오른쪽 _{x=L/2}=\왼쪽.{\frac {d\psi _{3}{dx}\오른쪽 _{x=L/2}}$

$A=0$ 방정식은 A = $A=0$ $B=0$ $A=0$ 및 $A=0$ $G=H$ = $G=H$ ${\displaystyle G=H$ 의 두 가지 종류의 해법과 대칭적인 경우를 위해 $B=0$ = 0 $B=0$ 및 $B=0$ $G=-H$ = $G=-H$ - $G=-H$ ${\displaystyle$ G $=-H$

He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)

-\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)

그래서 그 비율을 따지면

Roots of the equation for the quantized energy levels

[\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)]}

대칭적이지 않은 케이스도 마찬가지 입니다.

[\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)]}

$\alpha$ $\alpha$ 및 $\alpha$ $k$ ${\displaystyle$ k $}$ 이(가) 모두 에너지에 의존한다는 $k$ 사실을 상기하십시오.우리가 발견한 것은 에너지의 임의적인 가치에 대해 연속성 조건이 충족될 수 없다는 것이다. 왜냐하면 그것은 무한한 잠재력 우물의 결과물이기 때문이다.따라서 이 두 방정식 중 하나 또는 둘 중 하나에 대한 해결책인 특정 에너지 값만 허용된다.따라서 V $V_{0}$ ${\$ 이하 시스템의 에너지 레벨은 이산형이며 $V_{0}$ , 해당 고유특성은 바인딩 상태임을 알 수 있다.( 대조적으로 $V_{0}$ $V_{0}$ 보다 높은 에너지 레벨의 경우 ${\$ 은(는) 연속적이다 $V_{0}$ .)^[2]

에너지 방정식은 분석적으로 풀 수 없다.그럼에도 불구하고 대칭적인 경우에는 우물이 매우 얕더라도 적어도 하나의 경계 상태가 항상 존재한다는 것을 알게 될 것이다.^[3]에너지 방정식에 대한 그래픽 또는 숫자 해법은 그것들을 약간 다시 쓰면서 도움을 준다.If we introduce the dimensionless variables $u=\alpha L/2$ and $v=kL/2$ , and note from the definitions of $\alpha$ and $k$ that $u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}$ , where $u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}$ ${\$ $}}V_{0}/2\hbar ^{2$ 마스터 방정식 읽기

{\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}={\case}v\tan v,&\text{{\\cHB}}}}\\\text{{{{\\case}}}}

오른쪽의 그림에서 $u_{0}^{2}=20$ 0 $u_{0}^{2}=20$ = $u_{0}^{2}=20$ {\ $displaystyle u_{0}^{2}=20$ 에 대해 파란색 세미스크린이 보라색 또는 회색 곡선과 교차하는 솔루션이 존재한다( $v\tan v$ $v\tan v$ v ${\displaystyle v\tan$ v $}$ 및 $v\tan v$ $-v\cot v$ - $-v\cot v$ v $-v\cot v$ v {\ $displaystystyle$ $-v\cot v$ \ $v\$ v\ $cot v}).$ 각 보라색 또는 회색 곡선은 가능한 솔루션을 나타내며, ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ 2 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ ( ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ - 1 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ ) 범위 내에서 $v_{i}$ v $v_{i}$ ${\$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ ≤ v ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ < ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ 2 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ ${\frac 스타일 {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{{\frac {\pi$ 따라서 총 솔루션 수 $N$ {\ $displaystyle N$ (즉, 파란색 원과 교차하는 보라색/회색 곡선의 수)는 파란색 원의 반지름 $u_{0}$ $u_{0}$ ${\$ $}$ 을 각 솔루션 $\pi /2$ / $\pi /2$ ${\displaystyle \pi /$ 2}의 범위로 나누고 $\pi /2$ 바닥 또는 천장 fu를 사용하여 결정한다 $.$ neses:^[4]

N=\left\lfloor{0}{\frac {2u_}{0}}{\floor}}{\frac {2u_}}{{0}}}\frceil }}

이 경우 $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ = $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ 2 $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ / $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ 2.85 $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ + 1 $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ = $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ 2 $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ + $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ = $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ + 1 $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ = 3 ${\displaystyle N=\lfloor 2}/\pi \rfloor$ 2. $85\rfloor +1=2+1$

$v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ $v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ = $v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ $v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ 2 $v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ = $v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ $v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ 및 $v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ $v_{3}=3.73$ $v_{3}=3.73$ = $v_{3}=3.73$ ${\displaystyle v_{3}=3.73$ 에 해당하는 에너지가 있는 경우

E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}.

우리가 원하면 돌아가서 지금 방정식에서

A,B,G,H

상수

A,

B,

G,

H

A,B,G,H

의 값을 찾을 수 있다(정상화 조건도 부과할 필요가 있다).오른쪽에는 이 경우의 에너지 수준과 파동 기능이 표시된다(

{\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}

서

{\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}

0

{\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}

/

{\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}

{\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}

{\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}

{\

우리는 $u_{0}$ $u_{0}$ ${\$ 이 아무리 $u_{0}$ 작아도(우물이 아무리 얕거나 좁아도) 항상 적어도 하나의 경계 상태가 있다는 점에 주목한다.

두 가지 특례는 주목할 만하다.잠재력의 높이가 커짐에 따라 V $V_{0}\to \infty$ → $∞ {\displaystyle V_{0}\py$ }\ $py$ 반경의 크기가 커지고 뿌리가 $v_{n}=n\pi /2$ = $v_{n}=n\pi /2$ $v_{n}=n\pi /2$ / $v_{n}=n\pi /2$ $v_{n}=n\pi /2$ 값에 점점 가까워져 무한사각형의 우물의 경우를 회복한다 $v_{n}=n\pi /2$

또 다른 경우는 매우 좁고 깊은 우물이다. 특히 $V_{0}L$ $V_{0}\to \infty$ 0 → $V_{0}\to \infty$ {\ $displaystyle V_{0}\to \to \$ $to$ 0 $}$ 및 V 0 $V_{0}L$ $V_{0}L$ 이 $V_{0}L$ (가 $L\to 0$ ) 고정된 $L\to 0$ $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$ $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$ $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$ $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$ 0 $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$ $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$ ${\$ 0이 $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$ 되기 쉬우므로 바운드 상태는 1개뿐입니다.The approximate solution is then $v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}$ , and the energy tends to $E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}$ . But this is just the energy of the bound state of a Delta function potential of strength ${\$ 디스플레이 $스타일 V_{0}L}$ .

${8m}{L^{2}}/h^{2}$ ${8m}{L^{2}}/h^{2}$ ${8m}{L^{2}}/h^{2}$ ${8m}{L^{2}}/h^{2}$ ${\$ 의 곱셈을 통해 전위와 에너지를 정상화함으로써 에너지 수준에 대한 보다 간단한 그래픽 솔루션을 얻을 수 있다.정상화된 수량은

{\tile{V}_{0}=V_{0}{0}{\frac {8m}{h^{2}}:L^{2}}\frac{2}\qquad{\tilde}=E{{\frac {8m}{h^{2}}:L^{2}}:

허용된 커플

(V_{0},E)

(V_{0},E)

, E

(V_{0},E)

)

{\displaystyle(V_{0},E)}

사이의 직접 관계를 다음으로

(V_{0},E)

^[5] 부여

{\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left {\sec({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right ,\qquad {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left {\csc({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right

짝수 및 홀수 패리티 파형 함수에 대해 각각.앞의 방정식에서는 함수의 양의 파생적 부분만 고려해야 한다.허용된 커플

(V_{0},E)

(V_{0},E)

,

(V_{0},E)

)

{\displaystyle(V_{0},E)}

을(를) 직접 제공하는 차트가 그림에 보고되어

(V_{0},E)

있다.

언바운드 상태

$에너지$ $E>V_{0}$ > V $E>V_{0}$ 에 $E>V_{0}$ 시간 독립적인 $슈뢰딩거$ 방정식을 풀면, 용액은 우물 안과 $밖$ 에 모두 진동할 것이다 $E>V_{0}$ 따라서, 해결책은 결코 사각형 통합이 가능하지 않다. 즉, 항상 정규화할 수 없는 상태다.그러나 이는 양자 입자가 V ${\$ 보다 큰 에너지를 갖는 것이 불가능하다는 것을 의미하는 것은 아니며 $V_{0}$ 단지 시스템이 V $V_{0}$ ${\$ 보다 높은 연속 스펙트럼을 갖는다는 것을 의미한다 $V_{0}$ 비정규화할 수 있는 고유성은 사각형 통합이 가능할 정도로 가까워서 여전히 무한 연산자로서 해밀턴계의 스펙트럼에 기여한다.^[6]

비대칭 우물

잠재력이^[7] 제공하는 1차원 비대칭 전위를 고려하십시오.

V(x)={\begin{case}V_{1},&{\text{{}-\cHBT{x<0{\text{(상자 외부 영역)}}}\\0,&#{\text{}if }}<x<a{\text{(상자 내부 영역)}}}\\V_{2}&{\text{{}}a<\\pretty{\text{(상자 밖의 영역)}}}\end{case}}

$V_{2}>V_{1}$ $V_{2}>V_{1}$ > $V_{2}>V_{1}$ $V_{2}>V_{1}$ ${\$ }와 함께 $V_{2}>V_{1}$ $E<V_{1}$ < $E<V_{1}$ $E<V_{1}$ ${\$ 를 사용한 파동 기능에 상응하는 솔루션이 검출되었다 $E<V_{1}$ .

\psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{\text{for }}x<0,{\text{where }}k_{1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta ),&{\text{for }}0<x<a,{\text{where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x},&{\text{for }}x>a,{\text{where }}k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{cases}}

그리고

\sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt{2mV_{1}}.

에너지 레벨 $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ = k $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ / $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ ( 2 $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ ) ${\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ 는 $k$ $k$ 이(가) 다음 초월 방정식의 루트로 해결되면 $k$ 결정된다 $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ .

{\displaystyle ka=n\pi -\sin ^{-1}\{-1}{\sqrt{2mV_{1}}\오른쪽)-\sin ^{-1}\{\frac {k\hbar }{\sqrt{2mV_{2}}\}\오른쪽)

여기서 $n=1,2,3,\dots$ = $n=1,2,3,\dots$ , $n=1,2,3,\dots$ , $n=1,2,3,\dots$ 3 $n=1,2,3,\dots$ … $n=1,2,3,\dots$ 위 방정식에 대한 루트 존재는 $n=1,2,3,\dots$ 항상 보장되지 않는다. 예를 들어, 주어진 $V_{1}$ $V_{1}$ 값 ${\$ 및 $V_{1}$ $V_{2}$ ${\$ 2}}에 대해 항상 너무 작은 $a$ $값$ ${\displaysty$ a $}$ 을 찾을 수 있다.. 대칭 웰의 결과는 $V_{1}=V_{2}=V_{o}$ 의 $V_{1}=V_{2}=V_{o}$ 에서 $V_{1}=V_{2}=V_{o}$ $V_{1}=V_{2}=V_{o}$ = $V_{1}=V_{2}=V_{o}$ 2 = V $V_{1}=V_{2}=V_{o}$ {\ $displaystyle V_{1}=V_{2}=V_$ {o $}}$ 를 설정하여 얻는다 $V_{1}=V_{2}=V_{o}$

구면 캐비티

위의 결과는 1차원 사례와 달리 구면 공동에 항상 구속 상태가 있는 것은 아니라는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.

수직 대칭 전위의 접지 상태(n = 1)는 항상 0 궤도 각도 운동량( ( = n-1)을 가지며, 감소된 파형 함수 $U(r)\equiv r\psi (r)$ )는 r $){\displaystyle U(r)\equiv r\psi(r)}$ 는 방정식을 만족한다 $U(r)\equiv r\psi (r)$ .

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}{\frac {d^{2}}}{{dr^{2}}+V(r)U(r)=EU(r)}

이것은 경계 조건을 제외하고 1차원 방정식과 동일하다.전과 같이

U(r)

(

U(r)

)

{\

displaystyle U(

r)}

과

U(r)

그 첫 번째 파생상품은

r=R

r=R

= R

r=R

의 가장자리에서 연속되어야 하지만

r=R

\psi (0)

( 0

\psi (0)

)

{\displaysty \psi (0)}

은 유한해야 하고

\psi (0)

,

U(0)=0

(

U(0)=0

= 0

)

가 필요한 또 다른 조건이 있다

U(0)=0

위의 솔루션과 비교하여, 우리는 대칭성이 없는 것만이 원점에 노드를 가지고 있음을 알 수 있다.따라서 $\alpha =-k\cot(kR)$ = $\alpha =-k\cot(kR)$ - $\alpha =-k\cot(kR)$ $\alpha =-k\cot(kR)$ $\alpha =-k\cot(kR)$ ( $\alpha =-k\cot(kR)$ R $\alpha =-k\cot(kR)$ ) $\alpha =-k\cot(kR)$ 에 대한 용액만 허용된다 $\alpha =-k\cot(kR)$ .이것들은 회색의 곡선과 반원형의 교차점에 해당하기 때문에, 공동이 너무 얕거나 작으면 구속 상태가 없다.

참고 항목

참조

^ 홀 2013 제안 5.1
^ 홀 2013 5.5
^ 홀 2013 제안 5.3
^ Williams, Floyd (2003). Topics in Quantum Mechanics. Springer Science+Business Media. p. 57. ISBN 978-1-4612-6571-9.
^ Chiani, M. (2016). "A chart for the energy levels of the square quantum well". arXiv:1610.04468 [physics.gen-ph].
^ 홀 2013 제5.5절 및 제3장의 연습 4
^ 랜도, L. D. & 리프시츠, E. M. (2013)양자역학: 비상대론적 이론 (Vol. 3)엘시비어.

추가 읽기

Griffiths, David J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-111892-7.
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer.

[1] 홀 2013 제안 5.1

[2] 홀 2013 5.5

[3] 홀 2013 제안 5.3

[4] Williams, Floyd (2003). Topics in Quantum Mechanics. Springer Science+Business Media. p. 57. ISBN 978-1-4612-6571-9.

[5] Chiani, M. (2016). "A chart for the energy levels of the square quantum well". arXiv:1610.04468 [physics.gen-ph].

[6] 홀 2013 제5.5절 및 제3장의 연습 4

[7] 랜도, L. D. & 리프시츠, E. M. (2013)양자역학: 비상대론적 이론 (Vol. 3)엘시비어.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

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