스텝 퍼텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해

양자역학 및 산란 이론에서 1차원 단계 전위는 입사, 반사 및 전달 물질파를 모델링하는 데 사용되는 이상적인 시스템입니다.문제는 1차원에서 단계와 같은 전위를 가진 입자에 대한 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것으로 구성됩니다.일반적으로 전위는 헤비사이드 스텝 함수로 모델링됩니다.

계산

슈뢰딩거 방정식과 퍼텐셜 함수

녹색으로 표시된 높이₀ V의 유한 전위 단계에서 산란.좌우 이동파의 진폭과 방향이 표시됩니다.노란색은 입사파, 파란색은 반사되어 전송되며 빨간색은 발생하지 않습니다.이 그림에서는₀ E > V 입니다.

파동함수 $\psi (x)$ ( $\psi (x)$ ) { $displaystyle \psi (x)}$ 에 $\psi (x)$ 대한 시간 의존형 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

{H}\psi(x)=\left[-{\frac {hbar ^{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}+V(x)\right]\psi(x)=E\psi(x),

여기서 δ는 해밀턴, δ는 환원 플랑크 상수, m은 질량, E는 입자의 에너지이다.스텝 전위는 단순히 V, 장벽 높이 및 헤비사이드 스텝 함수의 곱입니다₀.

V(x)=begin{case}0,&x <0\\V_{0},&x\geq 0\end{case}

장벽은 x = 0에 위치하지만, 단순히 스텝의₀ 위치를 -x만큼 이동하여 결과를 변경하지 않고 x 위치를₀ 선택할 수 있다.

해밀턴의 첫 번째 ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ 항인 - ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ 2 ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ {\ { $textstyle$ - { \ $frac$ { \ $frac$ { d ^ { $2} }$ { \ $frac$ { $dx$ ^ {2 $}$ } \ psi $}$ 는 ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ 입자의 운동 에너지이다.

솔루션

이 스텝은 공간을 x < 0과 x >0의 2부분으로 나눕니다.이 부분들 중 어느 부분에서든 전위는 일정하며, 이는 입자가 준자유라는 것을 의미하며 슈뢰딩거 방정식의 해는 좌우 이동파의 중첩으로 쓸 수 있다(자유입자 참조).

\displaystyle \psi _{1}(x)=\left(A_{\right 화살표})e^{ik_{1}x}+A_{\왼쪽 화살표}e^{-ik_{1}x}\오른쪽)\quad x<0,}

\displaystyle \psi _{2}(x)=\left(B_{\right 화살표})+B_{\left 화살표}e^{-ik_{2}x}\right}\displaystyle x>0}

여기서 첨자 1과 2는 각각 x < 0과 x > 0 영역을 나타내며, 진폭 A와 B의 첨자 (→)와 (←)는 각각 입자의 속도 벡터의 방향을 나타낸다.

각 영역의 파동 벡터는

{\displaystyle k_{1}=sqrt {2mE/\hbar ^{2}}},

(\displaystyle k_{2}=sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}})

둘 다 드 브로글리 관계와 같은 형태를 가지고 있다(1차원).

p=\hbar k

=

p=\hbar k

k(\

displaystyle

p=\

hbar

k

p=\hbar k

경계 조건

계수 A, B는 x = 0에서 파동 함수의 경계 조건에서 구해야 한다.파동 함수와 그 도함수는 어디에서나 연속적이어야 합니다. 따라서 다음과 같습니다.

\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0),}

(\displaystyle\왼쪽).{{frac {d\psi _{1}} {param}}\오른쪽 _{x=0}=\왼쪽.{{frac {d\psi _{2}} {flac}}\right _{x=0}}.

파동 함수를 삽입하면 경계 조건은 계수에 다음과 같은 제한을 줍니다.

(\displaystyle (A_{\오른쪽 화살표}+A_{\왼쪽 화살표})=(B_{\오른쪽 화살표}+B_{\왼쪽 화살표})}

k_{1}(A_{\right 화살표}-A_{\left 화살표})=k_{2}(B_{\right 화살표}-B_{\left 화살표})

전달 및 반사

상황을 고전적인 경우와 비교하는 것은 유용하다.두 경우 모두 입자는 장벽 영역 밖에서 자유 입자로 동작합니다.장벽 높이₀ V보다 큰 에너지 E를 가진 고전 입자는 속도가 느려지지만 장벽에 의해 반사되지는 않는다. 반면 왼쪽에서 장벽에 E < V가₀ 입사한 고전 입자는 항상 반사된다.양자역학적 결과가 발견되면 고전적인 한계를 회복하는 방법에 대한 질문으로 돌아갈 것입니다.

양자 케이스를 연구하려면 왼쪽 A에서_→ 장벽에 입자가 입사하는 상황을 고려합니다.반사(A_←) 또는 투과(B_→)할 수 있다.여기서와 다음에서는 E > V로₀ 가정합니다.

왼쪽에서 발생하는 반사 및 투과 진폭을 구하기 위해 위의 방정식_→ A = 1(입자_←), A = µR(반사), B_← = 0(오른쪽에서 들어오는 입자가 없음) 및_→ B = µTk₁₂/k(전송)에 설정했습니다.그런 다음 T와 R에 대해 해결합니다.

결과는 다음과 같습니다.

{\displaystyle {T}}=syslogfrac {2syslogrt {k_{1}k_{2}}} {k_{1}+k_{2}}}}

{\displaystyle {\crt {R}}=blac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.

이 모델은 패리티 변환과 관련하여 대칭이며 동시에 교환₁ k와₂ k에 대해 대칭입니다.따라서 우측으로부터의 발생에 대해 투과와 반사에 대한 진폭이 있다.

({displaystyle {t`}=sqrt {T}}=sqrt {2sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2})}}}}

{R'}=-{\sqrt {R}}=flac {k_{2}-k_{1}{k_{1}+k_{2}}}.

표현 분석

헤비사이드 스텝 전위에서의 반사 및 전달 확률.점선: 고전적인 결과.실선: 양자역학.E < V의₀ 경우 고전적 문제와 양자적 문제가 같은 결과를 낳는다.

전력은 스텝 높이보다 작다(E₀ < V)

에너지 E < V의₀ 경우 스텝 오른쪽에 있는 파형 함수는 거리 $1/(k_{2})$ / ( $1/(k_{2})$ 2) $1/(k_{2})$ { $displaystyle$ 1 $/(k_{2$ 에 걸쳐 기하급수적으로 감소합니다.

스텝 높이보다 큰 에너지 (E > V₀)

이 에너지 범위에서는 투과 및 반사 계수가 기존의 경우와 다릅니다.이들은 왼쪽과 오른쪽에서 발생하는 발생률에 대해 동일합니다.

T=T' = flac {4k_{1}k_{2}} {(k_{1}+k_{2})^{2}}

{{displaystyle R=R' =1-T=sublicfrac {(k_{1}-k_{2}^{2}} {(k_{1}+k_{2})^2}}

큰 에너지 E µ₀ V의 한계에서 k µ₂ k를 가지며₁, 고전적인 결과 T = 1, R = 0을 회복한다.

따라서 계단 높이보다 큰 에너지를 가진 입자가 반사될 확률은 유한하다.

네거티브 스텝

큰 양의 E와 작은 양의 단계의 경우 T는 거의 1입니다.
단, 작은 양의 E와 큰 음의 V의 경우 R은 거의 1입니다.

즉, 양자 입자는 (큰 전위 단계를 거치는 것과 마찬가지로) 큰 전위 저하를 반사합니다.임피던스 미스매치에 대해서는 일리가 있지만, 고전적으로는 직관에 반하는 것 같습니다.

고전적 한계

R에 대한 결과는 E/V₀ 비율에만 의존합니다.플랑크 상수 값이나 입자의 질량에 관계없이 한정된 반사 확률을 얻을 수 있기 때문에 이것은 표면적으로는 대응 원리에 위배되는 것으로 보인다.예를 들어, 대리석이 테이블 가장자리로 굴러 떨어지기보다는 역반사할 가능성이 큰 것으로 예측하고 있는 것 같습니다.스텝 전위가 불연속적이라는 비물리적 가정을 제거함으로써 고전 역학과의 일관성이 복원된다.스텝 함수를 한정된 거리 w에 걸쳐 있는 램프로 대체하면 $wk\to \infty$ $wk\to \infty$ k $wk\to \infty$ ${\$ \ $display wk$ \ $to$ \ $infty$ $wk\to \infty$ 에서 반사 확률은 0에 근접합니다. 여기서 k는 ^[2]입자의 파수입니다.

상대론적 계산

단계 전위와 충돌하는 자유 입자의 상대론적 계산은 상대론적 양자역학을 사용하여 얻을 수 있다.전자 및 중성미자와 같은 1/2 페르미온의 경우 높은 에너지 장벽에 대한 디락 방정식의 해는 경계가 없는 투과 및 반사 계수를 생성한다.이 현상은 클라인 역설로 알려져 있다.양자장 이론의 맥락에서 명백한 역설은 사라진다.

적용들

해법은 파동함수 정규화, 연속성, 사고/반사/전송 진폭 및 확률과 같은 다양한 양자역학 개념을 이해해야 하기 때문에 헤비사이드 스텝 전위는 주로 양자역학 입문 시 연습으로 작용한다.

고려된 것과 유사한 문제가 정상 금속 초전도체 인터페이스의 물리학에서 나타납니다.준입자는 가장 단순한 모델에서는 계단 모양의 형상을 가진 것으로 가정할 수 있는 쌍 전위로 산란된다.보고리우보프-데 게네스 방정식의 해는 논의된 헤비사이드 단계 전위의 해와 유사하다.초전도체 노멀 메탈 케이스에서는 이것이 Andreev 반사를 일으킨다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 송신 계수는 송신 확률 전류와 수신 확률 전류의 비율로 정의됩니다.단, 이 잠재적인 스텝 문제에 직접 관여하는 양을 산란 $S_{ij}$ $(\$ 라고 합니다.이들은 여기서 투과 및 반사 계수와 관련이 있습니다.이 YouTube 비디오에서 A $←$ {\ $displaystyle A_{\$ $left$ 화살표 $A_{\leftarrow }$ $r={\sqrt {R}}$ 의 $A_{\leftarrow }$ 가장 일반적인 $r={\sqrt {R}}$ 은 r $=$ $r={\sqrt {R}}$ 이고, B = ${\displaystyle$ $B_{\right$ 화살표 $B_{\rightarrow }$ }}}의 $B_{\rightarrow }$ $B_{\rightarrow }$ 각각 ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ 의 k-m과 다른 질량의 비율을 알 수 ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ . ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ 2 ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ k ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ / ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ 2 ({ $textstyle tsqrt$ { $m_{2$ } $k_{1$ } / $m_{1} k_{2$ }} = $tmrt$ { $Tm_{2$ } $k_{$ 2}} ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ } = $tm_{1} k_$ {2}}} 。질량은 확률 전류의 정의와 파동 함수의 도함수로부터 k-벡터의 정의에서 나온다.
^ Branson, D. (1979). "The correspondence principle and scattering from potential steps". American Journal of Physics. 47 (12): 1101–1102. Bibcode:1979AmJPh..47.1101B. doi:10.1119/1.11582.

원천

양자역학, D.McMahon, McGraw Hill(미국), 2006, ISBN 0-07-145546 9
원자, 분자, 고체, 핵 및 입자의 양자 물리학 (제2판), R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed, Addison Wesley, Frentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
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정지 상태, A.홀든, 대학물리학논문(미국), 옥스퍼드대학교 출판부, 1971년, ISBN 0-19-851121-3
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추가 정보

새로운 양자 우주, T.안녕하세요, P. 월터스, 캠브리지 대학 출판부, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1.
양자장론, D.McMahon, McGraw Hill(미국), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
양자역학, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines 크래시 코스, McGraw Hill(미국), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-1455-6

[1] 송신 계수는 송신 확률 전류와 수신 확률 전류의 비율로 정의됩니다.단, 이 잠재적인 스텝 문제에 직접 관여하는 양을 산란 $S_{ij}$ $(\$ 라고 합니다.이들은 여기서 투과 및 반사 계수와 관련이 있습니다.이 YouTube 비디오에서 A $←$ {\ $displaystyle A_{\$ $left$ 화살표 $A_{\leftarrow }$ $r={\sqrt {R}}$ 의 $A_{\leftarrow }$ 가장 일반적인 $r={\sqrt {R}}$ 은 r $=$ $r={\sqrt {R}}$ 이고, B = ${\displaystyle$ $B_{\right$ 화살표 $B_{\rightarrow }$ }}}의 $B_{\rightarrow }$ $B_{\rightarrow }$ 각각 ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ 의 k-m과 다른 질량의 비율을 알 수 ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ . ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ 2 ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ k ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ / ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ 2 ({ $textstyle tsqrt$ { $m_{2$ } $k_{1$ } / $m_{1} k_{2$ }} = $tmrt$ { $Tm_{2$ } $k_{$ 2}} ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$ } = $tm_{1} k_$ {2}}} 。질량은 확률 전류의 정의와 파동 함수의 도함수로부터 k-벡터의 정의에서 나온다.

[2] Branson, D. (1979). "The correspondence principle and scattering from potential steps". American Journal of Physics. 47 (12): 1101–1102. Bibcode:1979AmJPh..47.1101B. doi:10.1119/1.11582.

[2]

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목차

계산

슈뢰딩거 방정식과 퍼텐셜 함수

솔루션

경계 조건

전달 및 반사

표현 분석

전력은 스텝 높이보다 작다(E₀ < V)

스텝 높이보다 큰 에너지 (E > V₀)

네거티브 스텝

고전적 한계

상대론적 계산

적용들

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