상자 안의 입자

뉴턴의 고전역학 법칙(A)과 양자역학(B-F)의 슈뢰딩거 방정식에 따른 상자 안의 입자의 궤적도 일부 있다. (B-F)에서 수평축은 위치, 수직축은 파동함수의 실제 부분(파란색)과 가상의 부분(빨간색)이다. 상태(B, C, D)는 에너지 고유성분이지만 (E,F)는 그렇지 않다.

양자역학에서 상자모형의 입자(무한전위 우물 또는 무한제곱 우물이라고도 한다)는 뚫릴 수 없는 장벽으로 둘러싸인 작은 공간에서 자유롭게 움직일 수 있는 입자를 묘사한다. 이 모델은 주로 고전적 시스템과 양자적 시스템 간의 차이를 설명하기 위한 가상의 예로서 사용된다. 예를 들어 고전적인 시스템에서는 큰 상자 안에 갇힌 입자는 상자 안의 어떤 속도에서도 움직일 수 있고 한 위치에서 다른 위치보다 더 많이 발견될 가능성이 없다. 그러나 (몇 나노미터의 규모로) 우물이 매우 좁아지면 양자 효과가 중요해진다. 이 입자는 특정 양의 에너지 수준만을 차지할 수 있다. 마찬가지로, 그것은 결코 0의 에너지를 가질 수 없으며, 이는 입자가 결코 " 가만히 앉아 있을 수 없다"는 것을 의미한다. 또한 에너지 수준에 따라 다른 위치보다 특정 위치에서 발견될 가능성이 높다. 이 입자는 공간 노드로 알려진 특정 위치에서 절대 검출되지 않을 수 있다.

상자 모델의 입자는 양자역학에서 근사치 없이 분석적으로 해결할 수 있는 아주 적은 문제들 중 하나이다. 이 모델은 단순성 때문에 복잡한 수학 없이도 양자 효과를 통찰할 수 있다. 원자나 분자 등 보다 복잡한 양자 시스템에서 발견되는 에너지 정량화(에너지 수준)가 어떻게 발생하는지를 보여주는 간단한 삽화 역할을 한다. 학부 물리학 과정에서의 최초의 양자역학 문제 중 하나이며, 보다 복잡한 양자체계의 근사치로 흔히 쓰인다.

1차원 용액

1차원 박스 외부의 장벽은 무한히 큰 전위를 가지고 있는 반면, 박스 내부는 일정한 제로 전위를 가지고 있다.

상자 모델에서 가장 단순한 형태의 입자는 1차원 시스템을 고려한다. 여기서 이 입자는 양쪽 끝에서 관통할 수 없는 장벽이 있는 직선을 따라 앞뒤로만 움직일 수 있다.^[1] 1차원 박스의 벽은 무한히 큰 잠재 에너지를 가진 우주의 영역으로 볼 수 있다. 반대로, 상자의 내부에는 0의 일정한 전위 에너지가 있다.^[2] 이것은 상자 안의 입자에 어떤 힘도 작용하지 않고 그 지역에서 자유롭게 움직일 수 있다는 것을 의미한다. 그러나 무한히 큰 힘은 그 입자가 상자의 벽에 닿으면 밀어내서 그것이 빠져나가지 못하게 한다. 이 모델의 잠재적 에너지는 다음과 같이 주어진다.

V(x)={\begin{case}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{{}:{2}}:<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\notherwise,}\case{case},},

여기서 L은 상자의 길이, x는_c 상자의 중심 위치, x는 상자 안의 입자의 위치다. 단순 사례로는 중심 상자(x_c = 0)와 시프트 상자(x_c = L/2)가 있다.

위치파 함수

양자역학에서 파동함수는 입자의 행동에 대한 가장 근본적인 설명을 제공한다; 입자의 측정 가능한 특성(위치, 운동량, 에너지 등)은 모두 파동함수에서 도출될 수 있다.^[3] 파동함수 $\psi (x,t)$ ( $\psi (x,t)$ , $\psi (x,t)$ ) $\psi (x,t)$ 은(는) 시스템의 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 찾을 수 있다 $\psi (x,t)$ .

i\hbar {\partial t}{\partial t}\psi(x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}:{\partial ^{2}}:{\partial x^{2}}:00}\psi(x,t),

여기서

\hbar

\hbar

은

\hbar

(는) Plank 상수, m

m

은

m

(는) 입자의 질량,

i

i

은

i

(는) 가상 단위, t

{\displaystyt}

은 시간이다

t

.

상자 안에서는 어떤 힘도 입자에 작용하지 않으며, 이는 상자 안의 파동함수의 일부가 자유 입자와 같은 형태로 공간과 시간을 통해 진동한다는 것을 의미한다.^[1]^[4]

\psi(x,t)=[A\sin(kx)+B\cos(kx)]\mathrm {e}^{-i\omega t}}

(1)

여기서 $A$ {\ $displaystyle A}$ 및 $B$ $B$ 은(는) 임의의 복잡한 숫자다 $B$ . 공간과 시간을 통한 진동 주파수는 각각 $\omega$ wavenumber $k$ $k$ 및 $k$ 각도 주파수 $\omega$ $\omega$ 에 의해 주어진다. 이것들은 둘 다 표현에 의해 입자의 총 에너지와 관련이 있다.

E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}},

자유 입자에 대한 분산 관계라고 알려져 있다.^[1] 여기서 주목해야 할 것은 입자가 완전히 자유롭지는 않지만 전위(위에서 설명한 잠재적 V)의 영향 아래 있기 때문에, 위에서 주어진 입자의 에너지는

{\frac {p^{2}}{2m}}

2

{\frac {p^{2}}{2m}}

{\

displaystyle

{\

p^{2}}{2m}}

와

{\frac {p^{2}}{2m}}

같지 않다는 것이다. 여기서 p는 입자의 모멘텀이고, 따라서 openumberk는 활성a 위에 있다.lly는 운동량 상태가 아닌 입자의 에너지 상태를 설명한다(

p=\hbar k

, 입자의 운동량은

p=\hbar k

= =

p=\hbar k

{\displaystyle

p

=\hbar k}).

그런 의미에서 숫자 k를 보통 'wavenumber'처럼 운동량과 관련이 없기 때문에 wavenumber라고 부르는 것은 상당히 위험하다. k를 wavenumber라고 부르는 근거는 파동 기능이 상자 안에 가지고 있는 볏 수를 열거하고, 이런 의미에서 wavenumber라고 하는 것이다. 이러한 불일치는 입자의 에너지 스펙트럼이 이산형(에너지의 이산형 값만 허용됨)이지만 모멘텀 스펙트럼은 연속형(시멘텀은 연속적으로 변화할 수 있음)이며 특히 에너지에 대한

E={\frac {p^{2}}{2m}}

E =

E={\frac {p^{2}}{2m}}

E={\frac {p^{2}}{2m}}

{\

E

={\p^{2}{2m}}{

2m}}}}}을 확인할 때 아래에서는 더욱 명확하게 알 수 있다.gy와 입자의 운동량은 지탱하지 못한다. 위에서 말한 바와 같이, 에너지와 운동량의 이 관계가 유지되지 않는 이유는 입자가 자유롭지 못하지만, 시스템에는 잠재적 V가 존재하며, 입자의 에너지는

E=T+V

=

E=T+V

+

E=T+V

E=T+V

인데

E=T+V

여기서 T는 운동이고 V는 잠재적 에너지다.

상자 안의 1차원 입자에서 처음 4개의 상태에 대한 초기 파동 기능

주어진 위치에서 파동함수의 크기(또는 진폭)는 $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$ ( $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$ , t $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$ ) $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$ = $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$ $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$ $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$ ) $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$ ${\$ . 그러므로 파동 기능은 상자 가장자리를 넘어 모든 곳에서 사라져야 한다.^[1]^[4] 또한, 파동 기능의 진폭은 한 지점에서 다음 지점으로 갑자기 "점프"되지 않을 수 있다.^[1] 이 두 가지 조건은 형태와 함께 파장 기능을 통해서만 충족된다.

\property _{n}(x,t)={\patch{case}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},

어디에

k_{n}={\frac {n\pi }{L}},

그리고

E_{n}=\hbar \omega_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}:{2mL^{2}},

여기서 n은 양의 정수(1,2,3,4...)이다. 시프트 박스(x_c = L/2)의 경우 용액은 특히 간단하다. 가장 간단한 해결책인

k_{n}=0

= 0

k_{n}=0

{\

displaystyle k_{n}=0}

A=0

A =

A=0

{\

displaystyle A=0}

은 모두

A=0

시스템

어디에도 존재하지 않는 입자를 설명하는 사소한 파형 함수인

)

을

\psi (x)=0

산출한다

\psi (x)=0

^[6]

n

{\displaystylen}

의 음수 값은 물리적으로 중요하지 않은 신호 변경을 제외하고 양의

n

{\displaystylen}

솔루션과

n

동일한 파장 기능을 제공하기 때문에 무시된다

n

.^[6] 여기서 사람들은 이 입자에 대해 분리된 에너지 값들의 집합과 배관공 k만이 허용된다는 것을 본다. 일반적으로 양자역학에서는 파동함수 그 자체 외에 파동함수의 파생도 연속적으로 요구되고 있다. 여기서 이 요구는 우리가 원하는 것이 아닌 일정한 제로함수로서 유일한 해결책으로 이어질 것이기 때문에, 우리는 이 요구를 포기한다(무한한 잠재력을 가진 이 시스템은 비피스로 간주될 수 있기 때문이다).ical 추상적 제한 사례, 우리는 그것을 그렇게 그리고 "규칙을 준수"하는 것으로 취급할 수 있다. 이 요구를 포기한다는 것은 파동 기능이 박스의 경계에서 차별화할 수 있는 기능이 아니라는 것을 의미하므로, 파동 기능이

x=0

x =

x=0

x=0

과

x=0

x =

{\displaysty

x

=L}

에서 슈뢰딩거 방정식을 해결하지 않는다고 말할 수 있다(

x=L

그러나 다른 곳에서는 해결하지 않는다).

마지막으로 알 수 없는 $상수$ A $A$ 은(는) 파형 기능을 정상화하여 시스템에서 입자를 찾는 총 확률 밀도가 1이 되도록 할 수 있다 $A$ .

수학적으로,

${\dx=1}{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1}$

(입자가 어딘가에 있을 것임)

그 뒤를 잇는다.

\왼쪽 A\오른쪽 ={\sqrt {\frac {2}{L}}.

따라서 A는 절대값 √2/L을 가진 복잡한 숫자일 수 있다. 이러한 A의 서로 다른 값은 동일한 물리적 상태를 산출하므로 A = =2/L을 선택하여 단순화할 수 있다.

고유값, 즉 박스의 $E_{n}$ $E_{n}$ $E_{n}$ ${\$ 는 공간에서의 위치에 관계없이 동일해야 하지만 $\psi _{n}(x,t)$ ( $\psi _{n}(x,t)$ , $\psi _{n}(x,t)$ ) $\psi _{n}(x,t)$ 이(가) 변경된다 $\psi _{n}(x,t)$ . $x_{c}-{\tfrac {L}{2}}$ $x_{c}-{\tfrac {L}{2}}$ - $x_{c}-{\tfrac {L}{2}}$ 2 ${\$ 는 파형 $x_{c}-{\tfrac {L}{2}}$ 함수의 위상 이동을 나타낸다. 이 위상 편이는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 효과가 없으므로 고유값에는 영향을 미치지 않는다.

좌표의 원점을 상자 중앙에 맞추면 파동함수의 공간 부분을 다음과 같이 간결하게 다시 쓸 수 있다.

\psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{case}}

모멘텀파 함수

모멘텀 파동 기능은 포지션 파동 기능의 푸리에 변환에 비례한다. $k=p/\hbar$ = $k=p/\hbar$ / $k=p/\hbar$ $k=p/\hbar$ 을(를) 사용하는 경우( $k=p/\hbar$ 아래에서 모멘텀 파형 기능을 설명하는 파라미터 $k$ 가 에너지 고유값에 연결된 위의 특수 $k$ 가_n 아니라는 점에 유의하십시오) 모멘텀 파형 기능은 다음과 같이 제공된다.

\phi _{n}(p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},

여기서 sinc는 기본 사인 sinc 함수,

sinc(x)

=

sin(x)/ x

이다. 중심상자(

x c

=

0

)의 경우, 오른쪽 위상계수가 단결로 감소하기 때문에 해법은 실제적이며 특히 간단하다.(주의하면

p

의 짝수함수로 쓸 수 있다.)

이 파형의 모멘텀 스펙트럼이 연속적이라는 것을 알 수 있으며, wavenumber $k$ 에_n 의해 기술된 에너지 상태의 경우 모멘텀이 $p=\pm \hbar k_{n}$ 했을 때 p $p=\pm \hbar k_{n}$ = $p=\pm \hbar k_{n}$ ± ∆ $p=\pm \hbar k_{n}$ ${\$ 을 초과하는 다른 값도 얻을 수 있다는 결론을 내릴 수 있다 $p=\pm \hbar k_{n}$

Hence, it also appears that, since the energy is ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$ for the nth eigenstate, the relation ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ does not strictly hold for the measured momentum $p$ ; the energy eigenstate ${\displa$ $ystyle \psi _{n}$ 는 모멘텀 고유 상태가 아니며 $\psi _{n}$ , 실제로 위의 식 (1)에서 상상하고 싶은 유혹에 빠질 수 있는 두 모멘텀 고유물의 중첩도 아니다: 특이하게도 측정 전에 모멘텀이 잘 정의되어 있지 않다!

위치 및 모멘텀 확률 분포

고전 물리학에서 입자는 동등한 확률로 상자 안의 어느 곳에서나 검출될 수 있다. 그러나 양자역학에서 주어진 위치에서 입자를 찾기 위한 확률밀도는 $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ ( $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ ) $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ = $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ ( $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ x $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ ) 2 $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ . $P(x)= \psi (x) ^{2}}}$ 박스에 있는 입자의 경우 $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ 주어진 위치에서 입자를 찾기 위한 확률밀도는 그 상태에 따라 달라지며 b가 주어진다.y

P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}

따라서 n보다 큰 값의 경우 $P(x)=0$ 안에 P $P(x)=0$ $P(x)=0$ ) $P(x)=0$ = 0 $P(x)=0$ 이 $P(x)=0$ 가) 있는 영역이 있는데, 이는 입자를 찾을 수 없는 공간 노드가 존재함을 나타낸다.

양자역학에서 입자 위치의 평균 또는 기대값은 다음과 같다.

\langle x\angle =\int _{-\infit }^{\xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.

상자 안의 정상 상태 입자의 경우 입자의 상태에 관계없이 평균 위치가 $\langle x\rangle =x_{c}$ $\langle x\rangle =x_{c}$ x $\langle x\rangle =x_{c}$ = x $\langle x\rangle =x_{c}$ ${\$ 임을 알 수 있다 $\langle x\rangle =x_{c}$ 상태 중첩의 경우, 위치의 기대값은 $\cos(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ ( $\cos(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ ) $\cos(\omega t)$ 에 비례하는 교차 용어에 따라 변경된다 $\cos(\omega t)$

위치의 분산은 입자의 위치의 불확실성에 대한 척도다.

\mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)

주어진 운동량을 가진 입자를 찾기 위한 확률밀도는 $P(x)=|\phi (x)|^{2}$ ( $P(x)=|\phi (x)|^{2}$ ) $P(x)=|\phi (x)|^{2}$ = $P(x)=|\phi (x)|^{2}$ ( x $P(x)=|\phi (x)|^{2}$ ) $P(x)=|\phi (x)|^{2}$ ${\$ 위치와 마찬가지로 주어진 운동량에서 입자를 찾기 위한 확률밀도는 그 상태에 따라 달라지며, 다음에 의해 주어진다.

{\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}}}\{n\pi }{n\pi +kL}\오른쪽)^{2}\\\\\\textrm {sinc}^{2}\{{\pi -kL}}}}}\}\}\}\}\}}}}}\}\{{{{{{{\}}}}}\}}\

여기서 다시

k=p/\hbar

= p /

k=p/\hbar

{\displaystyle k=p/\hbar

k=p/\hbar

모멘텀에 대한 기대값은 0으로 계산되며 모멘텀의 분산은 다음과 같이 계산된다.

\mathrm {Var}(p)=\왼쪽({\frac {\hbarn\pi }{L}\오른쪽)^{2}

위치 및 모멘텀의 불확실성( $\Delta x$ $\Delta x$ $\Delta x$ 및 $\Delta p$ p ${\displaystyle \Delta p$ 은 각 분산의 제곱근과 동일한 것으로 정의되며, 다음과 같다.

\Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}:{\sqrt {{\frac{n^{2}\pi^{2}}:

이 제품은 n이 증가하면 증가하며 n=1의 최소값을 갖는다. n=1에 대한 이 제품의 값은 하이젠베르크의 불확실성 원리를 따르는 0.568 $\hbar$ {\ $displaystyle$ \ $hbar }$ 과 거의 같으며 $\hbar$ , 이 $\hbar /2$ 는 제품이 $\hbar /2$ / $\hbar /2$ 2 {\ $displaystyle \hbar /2}$ 보다 크거나 같을 것임을 명시한다.

위치의 불확실성에 대한 또 다른 척도는 확률_x 분포 H:^[7]의 정보 엔트로피이다.

H_{x}=\int _{-\inflt }^{{-\n}(x)\log(P_{n}x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2)L}{e\,x_{0}}\오른쪽)

여기서 x는₀ 임의의 기준 길이입니다.

모멘텀의 불확실성에 대한 또 다른 척도는 확률 분포_p H:의 정보 엔트로피이다.

H_{p}(n)=\int _{-\ft }^{\p_{n}(p)\log(P_{n})(p_{0})\,dp

\lim_{n\p_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(\gamma )}}{L\,p_{0}}\right)}

여기서 γ은 오일러의 상수다.

x_{0}\,p_{0}=\hbar

역학적 진입성 불확실성 원리는 x

x_{0}\,p_{0}=\hbar

=

x_{0}\,p_{0}=\hbar

{\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar

}을

(

를) 명시한다.

H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\ 약 2.14473...

(nats)

$x_{0}\,p_{0}=\hbar$ $x_{0}\,p_{0}=\hbar$ $x_{0}\,p_{0}=\hbar$ $x_{0}\,p_{0}=\hbar$ = $x_{0}\,p_{0}=\hbar$ ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar$ $x_{0}\,p_{0}=\hbar$ 위치 및 모멘텀 엔트로피의 합계는 다음과 같다.

H_{x}+H_{p}(\inflight )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\오른쪽)\ 약 3.0974...

(nats)

양자 등방성 불확실성 원리를 만족한다.

에너지 레벨

상자(검은 원)와 자유 입자(회색 선)에 있는 입자의 에너지는 모두 같은 방식으로 워븐넘버에 의존한다. 그러나 상자 안의 입자는 특정한 이산 에너지 수준만 가질 수 있다.

각각의 허용된 배관공과 일치하는 에너지는 다음과^[5] 같이 쓰여질 수 있다.

E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}:{2mL^{2}}={\frac {n^{2}h^{2}}:{8mL^{2}}.

n^{2}

레벨은 n

{\

n

^{2

}}개로 증가하는데

n^{2}

이는 높은 에너지 레벨이 낮은 에너지 레벨보다 큰 양으로 서로 분리된다는 것을 의미한다. 입자에 대해 가능한 가장 낮은 에너지(그 입자의 0점 에너지)는 상태 1에서 발견되며, 이 에너지는 다음과^[8] 같다.

E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}:{2mL^{2}}.

그러므로 입자는 항상 긍정적인 에너지를 가지고 있다. 이는 입자가 움직이지 않고 쉬면 에너지가 0이 되는 고전적 시스템과 대비된다. 이는 입자의 위치 및 운동량에서 불확실성의 산물이 다음과 같이 제한된다는 것을 기술하는 불확도 원리의 관점에서 설명할 수 있다.

\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}:

입자 위치의 불확실성이 상자의 폭에 비례한다는 것을 알 수 있다.^[9] 따라서 모멘텀의 불확실성은 대략 박스 폭에 반비례한다.^[8] 입자의 운동 에너지는

E=p^{2}/(2m)

=

E=p^{2}/(2m)

2

E=p^{2}/(2m)

/

E=p^{2}/(2m)

(

E=p^{2}/(2m)

E=p^{2}/(2m)

)

{\displaystyle E=p^{2}/(2m

에 의해 주어지며, 따라서 상자 안의 입자의 최소 운동 에너지는 위의 계산과 정성적으로 일치하여 질량과 우물 폭의 제곱에 반비례한다.^[8]

고차원 박스

(하이퍼)사각형 벽

n_x=4와 n_y=4로 2D 웰의 파동 기능

입자가 2차원 상자에 갇힌 경우, 길이 $L_{y}$ L $L_{x}$ ${\$ x $} 및$ $L_{x}$ y {\ $displaystyle y}$ - $y$ 으로 $y$ 각각 길이 L x {\displaystyle $L_{x}$ 와 $L_{x}$ L $x$ $L_{y}$ ${\$ 로 분리된 장벽 사이에서 $x$ 롭게 이동할 수 있다. 중심 박스의 경우, 위치파 함수는 박스 길이를 $\psi _{n}(x,t,L)$ ( $\psi _{n}(x,t,L)$ , $\psi _{n}(x,t,L)$ , $\psi _{n}(x,t,L)$ ) $\psi _{n}(x,t,L)$ 로 기재할 수 있다 $\psi _{n}(x,t,L)$ 1차원 박스의 그것과 유사한 접근법을 사용하여 중심 박스에 대한 파장 기능 및 에너지가 각각에 의해 주어지는 것을 알 수 있다.

\psi _{n_{x}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{n_{y}}(y,t,L_{y}),}

E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}},

2차원 파동 벡터가 주어지는 곳

\mathbf {k_{n_{x},n_{y}}} =k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .

3차원 박스의 경우 용액은

\psi _{n_{x}}n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\{n_{n}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}}, {z},},}

E_{n_{x},n_{y}}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}^{2}},

3차원 파동 벡터는 다음과 같은 방법으로 제공된다.

\mathbf {k_{n_{x},n_{y},n_{z}}} =k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .

일반적으로 n차원 박스의 경우 해결책은

\psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i}},t,L_{i})

n차원 모멘텀 파형 함수도 마찬가지로 $\phi _{n}(x,t,L_{x})$ ( $\phi _{n}(x,t,L_{x})$ , $\phi _{n}(x,t,L_{x})$ , $\phi _{n}(x,t,L_{x})$ $\phi _{n}(x,t,L_{x})$ ) ${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})$ 로 나타낼 수 있으며 $\phi _{n}(x,t,L_{x})$ , n차원 중심 박스에 대한 모멘텀 파형 함수는 다음과 같다.

\pi =\prod _{i}\pi _{n_{i}}(k_{i}},t,L_{i})

위 해결책의 흥미로운 특징은 둘 이상의 길이가 같은 경우( $L_{x}=L_{y}$ : L $L_{x}=L_{y}$ = $L_{x}=L_{y}$ $L_{x}=L_{y}$ ${\$ 이다. $L_{y}}),$ 동일한 총 에너지에 해당하는 다중 파장 기능이 있다. 예를 들어, $n_{x}=2,n_{y}=1$ = $n_{x}=2,n_{y}=1$ , $n_{x}=2,n_{y}=1$ y = $n_{x}=2,n_{y}=1$ {\ $displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1$ }의 파장 $n_{x}=1,n_{y}=2$ 는 $n_{x}=2,n_{y}=1$ n $n_{x}=1,n_{y}=2$ = $n_{x}=1,n_{y}=2$ , $n_{x}=1,n_{y}=2$ = $n_{x}=1,n_{y}=2$ {\ $displaystyle n_{x}=$ 1, $n_{y}=2$ 와 동일한 에너지를 갖는다. 이러한 상황을 퇴보라고 하며 정확히 두 개의 퇴보된 파장 기능이 에너지 수준이 두 배로 퇴보한다고 하는 것과 같은 에너지를 가지고 있는 경우를 말한다. 퇴보성은 시스템의 대칭성에서 기인한다. 위의 경우 길이 중 두 개가 같으므로 시스템은 90° 회전과 관련하여 대칭이다.

더욱 복잡한 벽 모양

벽이 임의의 형태를 갖는 상자 안의 양자-기계 입자의 파동 기능은 벽에서 파동 기능이 소멸되는 경계 조건에 따라 헬름홀츠 방정식에 의해 주어진다. 이러한 시스템은 해당 동적 당구대가 통합 불가능한 벽 모양에 대한 양자 혼돈 분야에서 연구된다.

적용들

수학적인 단순성 때문에 상자 모델의 입자는 입자가 두 개의 높은 잠재적 장벽 사이의 낮은 전기 전위의 좁은 영역에 갇히는 더 복잡한 물리적 시스템의 대략적인 해결책을 찾기 위해 사용된다. 이러한 양자웰 시스템은 광전자공학에서 특히 중요하며 양자웰 레이저, 양자웰 적외선 광검출기, 양자결합 스타크 효과 변조기 등의 장치에 사용된다. 또한 크로니그-페니 모델에서 격자를 모형화하는 데 사용되며 자유 전자 근사치를 가진 유한한 금속을 위해 사용된다.

결합 폴리에네

β-carotene은 결합 폴리에네이다.

결합 폴리에네 시스템은 상자 안의 입자를 사용하여 모델링할 수 있다.^{[citation needed]} 전자 결합 시스템은 폴리에겐의 한 종단점에서 다른 종단까지의 총 결합 거리와 길이가 같은 1차원 박스로 모델링할 수 있다. 이 경우 각 π 결합의 각 전자 쌍은 에너지 수준에 해당한다. n과_f n의_i 두 에너지 수준 간의 에너지 차이는 다음과 같다.

{\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2}^{2}}:{8mL^{2}}:

지상국 에너지인 n과 최초의 흥분상태인 n+1의 차이는 시스템을 흥분시키는 데 필요한 에너지에 해당한다. 이 에너지는 특정한 파장을 가지고 있으며, 따라서 빛의 색은 다음에 의해 관련된다.

\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}

이 현상의 일반적인 예는 β-카로틴에 있다.^{[citation needed]} β-카로틴(CH₄₀₅₆)^[10]은 주황색과 분자 길이가 약 3.8nm(사슬 길이는 약 2.4nm에 불과하지만)인 결합 폴리에네이다.^[11] β-카로틴의 높은 결합 수준 때문에 전자는 분자의 길이에 걸쳐 분산되어 하나의 상자 안에 1차원 입자로 모델링할 수 있다. β-카로틴은 결합 중에 탄소 탄소-탄소 이중 결합이 11개 있다.^[10] 각각의 이중 결합은 2개의 β-카로틴을 포함하고, 따라서 β-카로틴은 22 β-전자를 가지고 있다. 에너지 레벨당 2개의 전자가 있으면 β-카로틴은 에너지 레벨 n=11에서 박스 안의 입자로 취급할 수 있다.^[11] 따라서 전자를 다음 에너지 수준으로 자극하는 데 필요한 최소 에너지는^[11] 다음과 같이 n=12(전자 질량이 9.109 × 10⁻³¹^[12] kg임을 호출) 계산할 수 있다.

\Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {(12^{2}-11^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}

에너지에 대한 파장의 이전 관계를 사용하여 Planck의 상수 h와 광속의 c:

\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}=0.00000084{\text{m}=840{\text{nm}}}

이는 β-카로틴이 주로 적외선 스펙트럼에서 빛을 흡수하므로 사람의 눈에는 흰색으로 보일 것임을 나타낸다. 그러나 관측된 파장은 450nm로 상자 안의 입자가 이 시스템에 대한 완벽한 모델이 아님을 나타낸다.^[13]

퀀텀웰 레이저

상자 모델의 입자는 다른 두 반도체 층 사이에 있는 하나의 반도체 "웰" 물질로 구성된 레이저 다이오드인 양자 웰 레이저에 적용될 수 있다. 이 샌드위치의 층은 매우 얇기 때문에(일반적으로 중간 층은 약 100 å 두께), 양자 구속 효과는 Ob가 될 수 있다.제공되었다. ^[14]양자 효과가 더 나은 레이저 다이오드를 만들기 위해 이용될 수 있다는 생각은 1970년대에 시작되었다. 양자웰레이저는 1976년에 R에 의해 특허를 받았다. 딩글과 C. H. 헨리.^[15]

구체적으로는 양자 우물 동작은 유한 우물 모델에서 입자로 나타낼 수 있다. 두 가지 경계 조건을 선택해야 한다. 첫째는 파동 기능이 연속적이어야 한다는 것이다. 흔히 두 번째 경계조건은 파동함수의 파생조건으로 선택되지만, 양자우물의 경우 경계 양쪽에서 질량이 달라야 한다. 대신 두 번째 경계 조건을 선택하여 $(1/m)d\phi /dz$ (1 $(1/m)d\phi /dz$ / $(1/m)d\phi /dz$ ) d $(1/m)d\phi /dz$ / $(1/m)d\phi /dz$ z $(1/m)d\phi /dz$ 로서 입자 유량을 보존하는데 $(1/m)d\phi /dz$ 이는 실험과 일치한다. 상자 안의 유한웰 입자에 대한 해법은 반드시 숫자로 풀어서 양자 우물 내부의 사인함수인 파동함수와 장벽의 기하급수적으로 붕괴함수라는 결과를 낳아야 한다.^[16] 이러한 전자의 에너지 수준의 정량화는 양자 우물 레이저가 기존의 반도체 레이저보다 더 효율적으로 빛을 방출할 수 있게 한다.

양자점은 크기가 작기 때문에 특정 반도체의 대량 특성을 나타내지 않고 정량화된 에너지 상태를 나타낸다.^[17] 이 효과는 양자 구속이라고 알려져 있으며 양자 우물 레이저와 같은 양자 점의 수많은 응용을 가져왔다.^[17]

프린스턴 대학의 연구원들은 최근 쌀 한 톨보다 크지 않은 양자 우물 레이저를 만들었다.^[18] 이 레이저는 두 개의 양자점을 통과하는 하나의 전자에 의해 작동된다; 이중 양자점. 전자는 마이크로파 영역에서 광자를 방출하는 동안 더 높은 에너지의 상태에서 더 낮은 에너지의 상태로 이동한다. 이 광자들은 거울에서 튕겨져 나와 한 줄기 빛, 즉 레이저를 만든다.^[18]

양자웰레이저는 빛과 전자의 상호작용을 크게 기반으로 한다. 이 관계는 디 브로글리 파장과 입자를 상자에 포함하는 양자역학 이론의 핵심 요소다. 이중 양자점은 과학자들이 전자의 움직임을 완전히 통제할 수 있게 해 결과적으로 레이저 빔을 생산하게 한다.^[18]

양자점

양자점은 극히 작은 반도체다.^[19] 그것들은 전자가 "점"을 벗어날 수 없다는 점에서 양자 구속을 표시하므로 입자-in-a-box 근사치를 사용할 수 있다.^[20] 그들의 행동은 3차원 입자-in-a-box 에너지 정량화 방정식으로 설명할 수 있다.^[20]

양자점의 에너지 간격은 그 발란스와 전도 밴드 사이의 에너지 간격이다. 이 에너지 격차 $\Delta E(r)$ $\Delta E(r)$ ( $\Delta E(r)$ ) ${\displaystyle \Delta$ E( $r)}$ 은 벌크 $E_{\text{gap}}$ E $E_{\text{gap}}$ 갭 {\ $displaystyle$ E_ ${\text$ {gap $}}}$ 에 $E_{\text{gap}}$ 전자와 홀에 에너지를 주는 에너지 방정식 파생 입자-in-a-box의 격차와 동일하다 $\Delta E(r)$ .^[20] 이는 m $m_{e}^{*}$ $m_{e}^{*}$ ${\$ 과 $m_{e}^{*}$ ( $m_{h}^{*}$ ) m h $m_{h}^{*}$ {\ $displaystyle m_{$ h}^{*}}}은 전자와 홀의 유효질량이고 $m_{h}^{*}$ $r$ $r$ 은 $r$ 점의 반지름이며, $h$ $h$ 은 $h$ Plank의 상수이다.^[20]

[\displaystyle \Delta E(r)=E_{\text{gap}}}+\왼쪽({\frac {h^{2}}:{8r^{2}}:}\오른쪽)\왼쪽({\frac {1}{m_{e}^{*}}}}+{\frac {1}{1}{m_{h}^}}}}}}\오른쪽)}

따라서 양자점의 에너지 간격은 "상자의 길이", 즉 양자점의 반지름의 제곱에 반비례한다.^[20]

밴드 갭의 조작은 에너지가 파장에 반비례하기 때문에 빛의 특정 파장의 흡수와 배출을 가능하게 한다.^[19] 양자점이 작을수록 대역 간격이 커 파장은 짧게 흡수된다.^[19]^[21]

서로 다른 크기의 양자점을 합성하기 위해 서로 다른 반도체 물질이 사용되어 서로 다른 파장의 빛을 방출한다.^[21] 보통 가시광선 지역에서 빛을 발산하는 소재를 자주 사용하고 그 크기를 미세 조정하여 특정 색상이 발산되도록 한다.^[19] 양자점을 합성하는 데 사용되는 대표적인 물질은 카드뮴(Cd)과 셀레늄(Se)이다.^[19]^[21] 예를 들어 흥분 후 2나노미터 CdSe 양자점의 전자가 이완되면 푸른 빛이 방출된다. 마찬가지로 4나노미터 CdSe 양자점에서도 붉은 빛이 방출된다.^[22]^[19]

양자점은 형광 염료, 트랜지스터, LED, 태양 전지, 광학 탐침을 통한 의료 영상 촬영 등 다양한 기능을 가지고 있다.^[19]^[20]

양자점의 한 가지 기능은 근적외선(NIR) 영역에서 빛을 발산하는 독특한 능력 때문에 실현 가능한 림프절 매핑에 사용하는 것이다. 림프절 매핑은 외과의사들이 암세포의 존재 여부와 위치를 추적할 수 있게 해준다.^[23]

양자점은 밝은 빛의 방출, 다양한 파장에 의한 흥분, 빛에 대한 내성이 다른 물질에 비해 높아 이러한 기능에 유용하다.^[23]^[19]

상대론적 효과

Dirac 방정식을 통해 상대론적 영향을 고려한다면 확률밀도는 노드에서 0으로 되지 않는다.^[24]

참고 항목

양자역학의 역사
유한전위 우물
델타 함수 전위
상자 안의 가스
링 안의 입자
전위 대칭의 입자
양자 조화 진동자
반고리 전위 우물
구성 일체형(통계 역학)
구성 일체형(통계 역학), 2008. 이 위키 사이트는 다운되었다. 2012년 4월 28일 웹 아카이브에서 이 문서를 참조하십시오.

참조

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참고 문헌 목록

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외부 링크

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