미세하게 생성된 아벨 그룹

In abstract algebra, an abelian group ${\displaystyle (G,+)}$ is called finitely generated if there exist finitely many elements ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ in ${\displaystyle G}$ such that every ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle G}$ can be written in the form ${\displaystyle x=}$${\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots +n_{s}x_{s}}$ for some integers ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$. In this case, we say that the set ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}$ is a generating set of ${\displa$$ystyle G}$ 또는$$ that $x{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $생성$ G ${\displaystyle G$

모든 유한한 아벨 집단은 미세하게 생성된다.미세하게 생성된 아벨리아 집단은 완전히 분류될 수 있다.

예

• 정수$({\displaystyle Z}$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$) ${\$는 정밀하게 생성된 아벨 그룹이다$.$
• 정수 modulo $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$\},$${\displaystyle }$(${\displaystyle Z}$/${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle \}}$+${\displaystyle }$) ${\$오른쪽)은 유한$($정확하게 생성된) 아벨 그룹이다.
• 미세하게 많은 미세하게 생성된 아벨리아 집단의 직접적인 합은 다시 미세하게 생성된 아벨리아 집단이 된다.
• 모든 격자는 완벽하게 생성된 자유 아벨리아 그룹을 형성한다.

다른 예는 없다(이형성까지).특히 그룹 유한하게 생성하지 않은 경우:[1]만약 x1,…,)n{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}는 합리적인 숫자, 자연수를 고르k{k\displaystyle}모든 denominators에 coprime, 1/k{\displaystyle 합리적인 숫자의{\displaystyle \left(\mathbb{Q},+\right)}(Q,+).1$/k}$은(는) $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}에$$의해 생성할 수 없음$$$.$0이 아닌 합리적 숫자의 그룹$$$({\displaystyle Q{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}\cdot }$) ${\$도 정확히 생성되지 않는다.덧셈${\displaystyle (R\mathbb{}}$,${\displaystyle }$+ ) 아래에 있는 실수의 그룹$({\$과 곱셈 아래에 0이 아닌 실수의 그룹$($도 정확하게 생성되지 않는다$$.^[1][2]

분류

미세하게 생성된 아벨리아 집단의 기본 정리는 유한 아벨리아 집단의 기본 정리의 두 가지 형태를 일반화하면서 두 가지 방법으로 진술할 수 있다.그 정리는, 두 형태 모두, 주요한 이상적인 영역에 걸쳐서 정밀하게 생성된 모듈에 대한 구조 정리에 일반화되며, 이것은 다시 더 많은 일반화를 인정한다.

일차 분해

1차 분해 공식은 미세하게 생성된 모든 아벨리아 그룹 G는 1차 순환 그룹과 무한 순환 그룹의 직접적인 합에 대해 이형성이 있다고 명시한다.1차 순환 집단은 그 질서가 프라임의 힘인 집단을 말한다.즉, 미세하게 생성되는 모든 아벨 집단은 형태 집단에 이형성이 있다.

${\displaystyle \mathb {Z} ^{n}\oplus \mathb {Z} _{q_1}}\cdots \oplus \oplus \mathb {Z} _{q_{t},}$

여기서 n ≥ 0은 순위이고, 숫자 q₁, ..., q는_t (꼭 구별되는 것은 아님) 소수들의 힘이다.특히 G는 n = 0인 경우에만 유한하다.n, q₁, ..., q의_t 값은 G에 의해 고유하게 결정되는 (지수를 재배열하는 최대) 즉, 그러한 분해로서 G를 나타내는 방법은 하나뿐입니다.

이 진술의 증명은 유한 아벨리아 집단에 대한 기본 정리를 사용한다: 모든 유한 아벨리아 집단은 일차 순환 집단의 직접적인 합이다.G의 비틀림 부분군을 tG로 표시한다.Then, G/tG is a torsion-free abelian group and thus it is free abelian. tG is a direct summand of G, which means there exists a subgroup F of G s.t. ${\displaystyle G=tG\oplus F}$, where ${\displaystyle F\cong G/tG}$. Then, F is also free abelian.tG는 미세하게 생성되고 tG의 각 원소는 순서가 유한하므로 tG는 유한하다.유한 아벨 그룹에 대한 기본 정리에 의해 tG는 일차 순환 그룹의 직접 합으로 쓸 수 있다.

불변 인자 분해

우리는 또한 형태에 대한 직접적인 합으로 미세하게 생성된 아벨 그룹 G를 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathb {Z} ^{n}\oplus \mathb {Z} _{k_1}}\cdots \oplus \oplus \mathb {Z} _{k_{u},}$

여기서 k는₁ k를₂ 나누고, k 등을₃ k까지_u 나눈다.다시 말하지만, 순위 n과 불변 요인₁ k, ..., k는_u G(여기서 고유한 순서가 있음)에 의해 고유하게 결정된다.계급과 불변 인자의 순서에 따라 이형성까지의 집단이 결정된다.

등가성

이러한 문장은 중국 나머지 정리의 결과로 동일하며, 이는 j와 k가 동일할 경우에만$$ Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}{\mathbb{}}_{}}$ Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 의미한다.

역사

근본적인 정리에 대한 역사와 공신은 집단 이론이 잘 확립되지 않았을 때 증명되었다는 사실 때문에 복잡하고, 따라서 초기 형태는 본질적으로 현대의 결과와 증명들이 특정 사례에 대해 진술되는 경우가 많다.간단히 말하면,의 한정된 사건의 초기 형태(가우스는 1801년)harv 오류에:노 타깃:CITEREFGauss1801( 도와 주),의 한정된 사건(크로네커 1870년)harv 오류에서 증명되었듯이:노 타깃:CITEREFKronecker1870( 도와 주), 그리고group-theoretic 측면에서(프로베니우스 &, Stickelberger 1878년)harv 오류에:노 타깃:CITEREFFrobeniusStickelberger1878(이라고 말했다 증명되었다.help). 미세하게 제시된 사례는 스미스의 정상적인 형태에 의해 해결되며, 따라서 (Smith 1861년) 자주 인정되지만,^[3] 미세하게 생성된 경우는 (Poincaré 1900) harv 오류로 인정되기도 한다: 대상이 없음: CITREFPoincaré1900 (도움말); 세부 사항은 다음과 같다.

그룹 이론가 라슬로 푸흐스는 다음과 같이 말한다.^[3]

유한 아벨리아 집단에 대한 근본적인 정리에 관한 한, 그 기원을 추적하기 위해 얼마나 오랜 시간을 거슬러 올라가야 하는지는 명확하지 않다……그 근본적인 정리를 현재 형태로 공식화하고 증명하는 데 오랜 시간이 걸렸다...

유한abelian 그룹에 대한 근본적인 정리 레오폴트 크로네커에 의해(크로네커 1870년)harv 오류에서 증명되었듯이:노 타깃:CITEREFKronecker1870( 도와 주), 비록group-theoretic 차원에서는 말하지 않고는group-theoretic proof,[4]사용하고 크로네커 증거를 현대적인 발표[5](스틸웰. 2012년)에서, 5.2.2항 크로네커 정리, 176–177 주어진다..이것은 2차 형태를 분류한 디스퀴지스 산술래(1801)의 칼 프리드리히 가우스의 초기 결과를 일반화했다; 크론커는 가우스의 이 결과를 인용했다.이 정리는 1878년 페르디난드 게오르크 프로베니우스와 루트비히 스틱벨베르거에 의해 집단의 언어로 명시되고 증명되었다.^[6][7]또 다른 집단 이론적 공식은 1882년 크로네커의 학생인 유겐 네토가 주었다.^[8][9]

abelian 그룹의 유한한 프레젠테이션으로 정수 매트릭스 해당한다(이 유한하게 제시된 모듈들 교장 이상적인 영토 generalizes)유한하게 제시되abelian 그룹에 대한 근본적인 정리 헨리 존 스티븐 스미스에 의해(스미스 1861년)[3]에, 그리고 유한하게 제시했다abelian를 분류하는 것에 스미스 정규형은 증명되었다. gro유피에스항공

미세하게 생성된 아벨 그룹들에 대한 근본적인 정리는 (Poincaré 1900) harv 오류에서 앙리 푸앵카레에 의해 증명되었다: 대상 없음: CITREFPoincaré1900 (도움말) 매트릭스 증명(주요 이상영역으로 일반화)을 사용하여.이것은 단지의 호몰로지, 특히 단지의 차원에 대한 베티 번호와 비틀림 계수를 계산하는 맥락에서 이루어졌다. 여기서 베티 번호는 자유 부분의 순위에 해당하고 비틀림 계수는 비틀림 부분에 해당한다.^[4]

크로네커의 증거는 (Noeter 1926) harv error: no targeter: CRATREFNoeer1926 (도움말)^[4] 에미 노에더에 의해 정교하게 생성된 아벨리아 집단으로 일반화되었다.

코롤러리

다르게 서술된 근본적인 정리는 미세하게 생성된 아벨리아 집단은 유한 계급의 자유 아벨리아 집단과 유한 아벨리아 집단의 직접적인 합이며, 각각 이소모르피즘에까지 고유한 집단이라고 말한다.유한 아벨리아 그룹은 G의 비틀림 부분군일 뿐이다.G의 순위는 G의 비틀림 없는 부분의 순위로 정의된다. 이것은 위의 공식에서 n의 숫자일 뿐이다.

근본적인 정리의 한 가지 중요한 점은 미세하게 생성되는 토션 없는 아벨리안 집단은 모두 자유 아벨리안이라는 것이다.여기서 미세하게 생성된 조건은 $필수적$이다: Q ${\$은(는) 비틀림이 없지만 자유 아벨리안은 아니다$$.

미세하게 생성된 아벨리안 그룹의 모든 부분군 및 요소 그룹은 다시 미세하게 생성된다.미세하게 생성된 아벨리아 집단은 집단 동형식과 함께 아벨리아 집단의 범주의 세레 하위 범주인 아벨리아 범주를 형성한다.

최종 생성되지 않은 아벨 그룹

유한한 등급의 모든 아벨리아 그룹이 정확히 생성되는 것은 아니며, 순위 1 $그룹{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$은(는) 하나의$$ counterrexample이며, Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 직접 합이 다른$$ 그룹이다.

참고 항목

• 요르단-요르단 작곡 시리즈뮐더 정리(Hölder organization)는 비아벨라의 일반화다.

메모들

참조