그룹 직접합계

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대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
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이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서 G군은 부분군에 의해 생성되는 경우 사소한 교차점이 있는 두 개의 정규 부분군의 직접^[1][2] 합이라고 한다.추상 대수학에서, 그룹의 구성 방법은 벡터 공간, 모듈 및 기타 구조물의 총합으로 일반화할 수 있다. 자세한 내용은 모듈의 직접 합계를 참조하십시오.비종속적 하위집단의 직접적인 합으로 표현할 수 있는 집단을 분해능이라고 하며, 집단을 그렇게 직접적인 합으로 표현할 수 없다면 외설적 집단이라고 한다.null

정의

그룹 G는 다음과 같은 경우 두 부분군 H와₁ H의₂ 직접 합이라고^[1][2] 한다.

• 각 H와₁ H는₂ G의 정상적인 부분군이다.
• 부분군 H와₁ H에는₂ 사소한 교차점이 있다(즉, G의 ID$$ $요소{\displaystyle }$ e ${\displaystyle e}$만 공통으로 있음).
• G = <H₁, H₂>; 즉 G는 부분군 H와₁ H에₂ 의해 생성된다.

보다 일반적으로 G는 다음과 같은 경우 유한한 집합의 하위집단 {H_i}의 직접합이라고 한다.

• 각 H는_i G의 정규 부분군이다.
• 각 H는_i 하위 그룹 <{H_j : j ≠ i}>와 사소한 교차점을 가진다.
• G = <{H_i}>, 즉 G는 하위 그룹 {H_i}에 의해 생성된다.

G가 부분군 H와 K의 직접 합인 경우 G = H + K를 쓰고, G가 부분군 집합 {H_i}의 직접 합인 경우 G = oftenH를_i 쓰는 경우가 많다.느슨하게 말하면, 직접적인 합은 약한 부분군의 직접 생산물에 대해 이형성이 있다.null

특성.

G = H + K이면 다음과 같은 것을 증명할 수 있다.

• 모든 H in H, k in K에 대해 우리는 h k k = k h h를 가지고 있다.
• 모든 g in G에 대해, g = h ∗ k와 같은 독특한 h in H, k in K가 존재한다.
• 지수의 합이 취소되어 (H + K)/K가 H에 이형성이 된다.

위의 주장은 G = σH의_i 경우에 일반화할 수 있으며, 여기서 {H_i}은(는) 유한 부분군 집합이다.

• i ≠ j, 그러면 모든 h_i in H_i, h_j in H에_j 대해 h_i ∗ h_j = h ∗ h가_ji 있다.
• G의 각 g에 대해, H의_i 고유한 요소 집합이_i 존재하며, 다음과 같다.

g = h₁ ∗ h₂ ∗ ...∗ h_i ∗ ...∗ h_n

• 지수의 합계가 취소되어 ((IσH_i) + K)/K가 σH에_i 이형성이 된다.

각 g가 다음과 같이 고유하게 표현될 수 있는 직접 제품과의 유사성에 유의하십시오.

g = (h₁,h₂, ..., h_i, ..., h_n).

모든_i i ≠ j에_j 대해 h h_i h = h_j ∗ h이므로, 직접 합에 있는 원소의 곱셈은 직접 생산물의 해당 원소의 곱셈에 대해 이형성이므로 유한 부분군의 경우 σH는_i 직접 생산물 ×{H_i}에 이형성이 있다.null

직접 합계

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 고려할 때$,$ $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle H}$+ K ${\displaystyle G}$의 다른 하위 그룹 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 있는 경우$$ $하위{\displaystyle }$ 그룹 $H{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ $G$$}$의 직접적인 합계라고 말한다$.$

$아벨{\displaystyle }$ 그룹에서는 H ${\displaystyle H}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 분할할 수 있는 부분군이라면$$H {\$displaystyle$ H$}$은$$G {\$displaystyle$ G}의 직접 합이다$.$

예

• If we take ${\displaystyle G=\prod _{i\in I}H_{i}}$ it is clear that ${\displaystyle G}$ is the direct product of the subgroups ${\displaystyle H_{i_{0}}\times \prod _{i\not =i_{0}}$$H_{i$

• $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 아벨 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G$$}$의 분할할 수 있는 부분군 K$$$$${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ K}이(가) 있는 경우 G = K${\displaystyle }$+ ${\displaystyle H}$ ${\displaystystyle$ G$=K+H$와 같은$$ $다른$ 부분군 $K$가 있다$.$
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에도 벡터 공간 구조가 있으면 G {\$displaystyle G}$을(를) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 직접 합과 $지수{\displaystyle }$G/${\displaystyle K}$ ${\displaystystyle G/K}$에 대해 이형화된 또$$ 다른 하위 $공간{\displaystyle }$ K ${\displaystylease K}$로 작성할 수$$ 있다$.$

분해의 직접합산 균등화

유한집단을 강제할 수 없는 하위집단의 직접적인 합으로 분해할 때 하위집단의 내장은 독특하지 않다.예를 들어, 클라인 $그룹{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 4${\displaystyle {}_{}}$≅ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$× ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle V_{4}\cong C_{2}\time C_{2$}}: 다음과$$ 같은 것을 가지고 있다.

${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle ⟨}$( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle +}$ +${\displaystyle +}$ ( ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle ⟩}$, ${\displaystyle V_{4}=\langle (0,1)\angle +\langle (1,0) ,}$ 및

${\displaystyle V_{4}=\langle (1,1)\랑글 +\langle (1,0)\랑글 .}$

그러나 레맥-크룰-슈미트 정리에서는 유한군 G = σA_i = σB를_j 주어 각 A와_i B가_j 비합리적이고 외설적일 수 있는 경우, 두 합은 재주문 및 이형성까지의 조건이 동일하다고 기술하고 있다.null

리맥-크룰-슈미트 정리는 무한 그룹에 대해 실패하므로 무한 G = H + K = L + M의 경우 모든 부분군이 비독점적이고 외설적일지라도 H가 L이나 M에 이형성이 있다고 단정할 수 없다.

무한 집합에 대한 총합에 대한 일반화

G가 무한(아마도 헤아릴 수 없는) 부분군 집합의 직접 합인 경우 위의 속성을 설명하려면 더 많은 주의가 필요하다.null

g가 그룹 집합의 데카르트 제품 π{H_i}의 요소인 경우 g를_i 제품에서 g의 ih 요소가 되게 한다.그룹 {H_i}({H_Ei}로 표기됨) 집합의 외부 직접 합은 π{H_i}의 하위 집합이며, 여기서 σ_E{H_i}의 각 요소 g에 대해 g는_i ID e ${\displaystyle {H_{}}_{}}$ i ${\$$H_{i}}}$는 g의_i 한정된 수를 제외한 모든 수(동일하게는 g의_i 한정된 수만이 정체성이 아니다).외부 직접 합에서 그룹 연산은 일반적인 직접 생산에서와 같이 점으로 곱한 것이다.null

이 하위 집합은 실제로 그룹을 형성하며, 유한 집합의 그룹 {H_i}에 대해 외부 직접 합은 직접 생산물과 동일하다.null

G = σH이면_i G는 σ_E{H_i}에 대해 이형성이다.따라서 어떤 의미에서는 직접합은 "내부" 외부직접합이다.G의 각 원소 g에 대해 고유한 유한 집합 S와 g = π {h_i : i ∈ S}과 같은 고유한 집합 {h_i ∈ H_i : i ∈ S}이 있다.

참고 항목

• 직합
• 코프로덕트
• 자유상품
• 위상 그룹의 직접 합계

참조