첫 번째 변동

응용수학 및 변동의 미적분학에서 함수 J(y)의 첫 번째 변동은 함수 h를 함수 h에 매핑하는 $\delta J(y)$ 선형 함수 $\delta J(y)$ $\delta J(y)$ ) $\delta J(y)$ 로 정의된다.

\delta J(y,h)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {J(y+\varepsilon h)-J(y)}{\varepsilon }}}}}}=\왼쪽.{\frac {d}{d\varepsilon }J(y+\varepsilon h)\오른쪽 _{\barepsilon =0}

여기서 y와 h는 함수, ε은 스칼라다. 이것은 그 기능의 Gateaux 파생상품으로 인식된다.

예

의 첫 번째 변동 계산

J(y)=\int _{a}^{b}y'dx.

위의 정의에서,

J(y,h)&=\왼쪽.{\frac {d}{d\varepsilon }J(y+\varepsilon h)\right _{\barepsilon =0}\&=\왼쪽.{\frac {d}{d}{d\varepsilon }}}}{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\premy }}+\varepsilon h^{\primy }}\right _{\barepsilon =0}\&=\\\\\\\\\\\\좌측면).{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right _{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}{\frac {d}{d\varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right _{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}(yh^{\premy }}+y^{}}{\premy }}}\prime }h+2\varepsilon hh^{\premy }}}\right _{a}^{b}(yh^{}}})\clineerged}

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