함수(수학)

호 길이 함수에는 정류 가능한 곡선의 벡터 공간인 C

C([0,1],\mathbb {R} ^{3})

,

C([0,1],\mathbb {R} ^{3})

1 ] ,

C([0,1],\mathbb {R} ^{3})

3

)

의

C([0,1],\mathbb {R} ^{3})

공간(\

style

C

([0,1],\mathbb {R}

^{

3})

이 있으며 실제 스칼라를 출력합니다.이것은 비선형 함수의 예입니다.

리만 적분은 a에서

b

까지 리만 적분이 가능한 [

a,

b

]

에

정의

된 함수의 벡터 공간 위의 선형 함수이다.

수학에서, 함수(명사로서)는 특정한 종류의 함수이다.용어의 정확한 정의는 하위 필드(및 작성자)에 따라 달라집니다.

선형대수에서는 벡터 $공간$ V({ $displaystyle$ V})에서 $V$ 스칼라 필드(즉, 이중 $V^{*}$ V $V^{*}$ {\ $displaystyle$ V $V^{*}$ ^[1]로의 선형 매핑인 선형 형식과 동의어입니다.
기능분석 및 관련 분야에서는 $X$ 에서 $X$ 실수 또는 복소수 ^[2]^[3]분야로 매핑하는 $것$ 을 더 일반적으로 말합니다.함수해석학에서 선형함수라는 용어는 선형형태의 ^[3]^[4]^[5]동의어이다. 즉, 스칼라값 선형맵이다.작성자에 따라 이러한 매핑은 선형으로 간주될 수도 $있고$ 전체 공간 X에 정의될 수도 있습니다 $.\$ $display style$ X .}
컴퓨터 과학에서, 이것은 함수를 인수로 받아들이거나 반환하는 고차 함수, 즉 함수와 동의어이다.

이 기사는 주로 18세기 초에 변분법의 일부로서 생겨난 두 번째 개념에 관한 것이다.보다 현대적이고 추상적인 첫 번째 개념은 선형이라는 이름으로 별도의 기사에서 자세히 논의된다.세 번째 개념은 고차 함수에 대한 컴퓨터 과학 기사에 자세히 설명되어 있습니다.

$공간 X가$ 함수의 공간인 경우, 함수는 "함수의 기능"^[6]이며, 일부 오래된 저자는 실제로 "함수의 기능"을 "함수의 기능"으로 정의한다.그러나 $X가$ 공간이라는 사실은 수학적으로 필수적이지 않기 때문에 이 오래된 정의는 ^{[citation needed]}더 이상 보편화되지 않습니다.

이 용어는 주어진 함수를 최소화하는(또는 최대화하는) 함수를 검색하는 변동 미적분학에서 유래합니다.물리학에서 특히 중요한 응용은 동작을 최소화하는(또는 최대화하는) 시스템의 상태, 즉 라그랑지안의 시간 적분을 찾는 것이다.

세부 사항

이중성

매핑

x_{0}\mapsto f(x_{0})

is a function, where

x_{0}

is an argument of a function

f.

At the same time, the mapping of a function to the value of the function at a point

f\mapsto f(x_{0})

는 함수입니다.

x_{0}

서 x 0

(\

은

x_{0}

파라미터입니다.

f $\displaystyle$ f가 $f$ 벡터 공간에서 기본 스칼라 필드까지의 선형 함수일 $경우$ 위의 선형 맵은 서로 이중이며, 함수 분석에서는 둘 다 선형 함수라고 합니다.

확정적분

다음과 같은 통합

f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots)\;\mu(\mathrm {d} x)

특별한 부류의 기능들을 형성합니다.

H

(디스플레이 스타일

H

)

가

H

실제 값인

경우

함수

f를

f

실수에 매핑합니다.예를 들면 다음과 같습니다.

양의 $함수$ 그래프 아래 영역 f $\displaystyle$ f $f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}f(x)\;\mathrm {d}x$
$L^{p}$ $L$ p $L^{p}$ \ $displaystyle$ L $^{p}$ 세트 $L^{p}$ $E의$ 함수의 표준 $\displaystyle f\mapsto \left(\int _{E} f ^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}$
2차원 유클리드 공간에서의 곡선의 길이 $f\mapsto \int _{x_{1}}{\displayrt {1+f'(x)^{2}}\;\mathrm {d} x$

내부 제품 공간

내부 제품 $공간$ X $,\style$ X $,\$ style X 및 고정 ${\vec {x}}\in X,$ X $,\display x$ ${\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ y ${\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ →\ $display$ style { $y}\map$ to $\vec {x}\cd {y}$ 로 ${\vec {x}}\in X,$ ${\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ ${\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ 된 지도는 $XAL$ 에서 $선형$ 함수입니다 $.$ $x$ ${\vec {x}},$ ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ y $→$ {\ $displaystyle {x}\cdot {vec {y}}$ 이 ${\vec {y}}$ ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ $($ 가) ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ ${\vec {y}}$ {displaystyle $}$ 은 X의 벡터 부분 공간 $,$ {\ $displaystyle$ X $,}$ 은 $X,$ 함수의 늘 공간 또는 커널 또는 x ${\vec {x}},$ {displaystyle ${x}$ 의 ${\vec {x}},$ 직교 보형 { $\{{\vec {x}}\}^{\perp }.$ }은 $\{{\vec {x}}\}^{\perp }.$ x $\{{\vec {x}}\}^{\perp }.$ 의 벡터 부분 공간입니다 $\{{\vec {x}}\}^{\perp }.$ $ystyle \{\vec {x}\}^{\perp }}.}.$

예를 들어 $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ g $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 2 $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ ( [ $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ - $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ , $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ $){$ $display$ $style$ g $\in$ L $^{2$ } ( [ - \ $pi$ $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ , \ $pi$ ])}의 $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 내부곱을 취하면 $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 의 $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 공간 $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ ( [ - $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ , $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ \ $pi ])$ 에 (선형)함수가 정의됩니다.

\displaystyle f,g\rangle =\int _{-\pi,\pi ]}{\bar {f}}g}

지역

함수의 값을 입력 곡선의 작은 세그먼트에 대해 계산한 다음 합산하여 총 값을 찾을 수 있는 경우 함수를 로컬이라고 합니다.그 이외의 경우는, 비로컬이라고 불립니다.예를 들어 다음과 같습니다.

F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}y(x)\;\mathrm {d}x

로컬에 있는 동안

F(y)=frac {{x_{0}^{x_{1}y(x)\;\mathrm {d}x}{\int _{x_{0}{1}{+[y(x)^{2}}\;\mathrm {d}x}x}x

로컬이 아닙니다.이는 질량 중심 계산과 같이 방정식의 분자와 분모에서 적분이 별도로 발생할 때 일반적으로 발생합니다.

함수 방정식

기존의 용법은 함수 방정식, 즉 함수 간의 방정식을 말할 때도 적용된다. 함수 간의 $F=G$ F $F=G$ （ $displaystyle$ F = $G$ ） being $F=G$ an 、 being 、 being being being 、 being being 、 being being being 、 being being being 、 being being being the the the the the the the the an the the the the the the the the the an the the the the the the이러한 방정식에서는 가법 $지도$ f\ $displaystyle$ f가 $f$ 코시의 함수 방정식을 만족시키는 변수 중 하나라고 하는 변수 미지의 집합이 여러 개 있을 수 있습니다.

f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {모든 }}x,y

파생상품과 통합

함수 도함수는 라그랑주 역학에서 사용된다.즉, 투입함수가 소폭 변화할 때 기능이 어떻게 변화하는지 정보를 담고 있다.

리처드 파인만은 양자역학의 역사 공식에 대한 그의 요약에서 함수 적분을 중심 아이디어로 사용했습니다.이 사용법은 일부 함수 공간을 차지하는 적분을 의미합니다.

「」를 참조해 주세요.

선형 형식 – 벡터 공간에서 해당 스칼라 분야로의 선형 맵
최적화(수학)
텐서 – 기하학적 응용 프로그램을 사용하는 대수적 객체

레퍼런스

^ Lang 2002, 페이지 142 harvnb 오류: 타깃 없음: CITREFLang 2002 (도움말) "E를 교환 링A 위의 빈 모듈로 합니다.우리는 A를 그 자체보다 1등급의 무료 모듈로 본다.E의 이중 모듈^∨ E는 모듈 Hom(E, A)을 의미합니다.그 요소는 기능이라고 불립니다.따라서 E 위의 함수는 A-선형 지도 f : E → A이다."
^ Kolmogorov & Fomin 1957, 페이지 77 "규범 선형 공간 R에 정의된 숫자 함수 f(x)는 함수라고 불립니다.함수 f(x)는 f(αx + βy) = αf(x) βf(y)일 때 직선이라고 한다.여기서 x, y δR 및 α, β는 임의의 수이다.
^ ^a ^b Wilansky 2013, 페이지 7. sfn 오류: 대상 없음: CITEREFWilansky 2013(도움말)
^ Axler (2015) harvts 오류: 대상 없음: CITREFAxler2015 (도움말) 페이지 101, § 3.92
^ Khelemskii, A.Ya. (2001) [1994], "Linear functional", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
^ Kolmogorov & Fomin 1957, 페이지 62-63 "공간 R 위의 실제 함수는 공간¹ R(실제 선)에 대한 R의 매핑입니다.따라서, 예를 들어, R을¹ R로ⁿ 매핑하는 것은 n개의 변수의 일반적인 실수치 함수이다.공간 R 자체가 함수로 구성되어 있는 경우, R의 원소의 함수는 보통 함수라고 불립니다."

Axler, Sheldon (December 18, 2014), Linear Algebra Done Right, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer (published 2015), ISBN 978-3-319-11079-0
Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1957). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Dover Books on Mathematics. New York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626.
Lang, Serge (2002), "III. Modules, §6. The dual space and dual module", Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 142–146, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
Wilansky, Albert (October 17, 2008) [1970]. Topology for Analysis. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.
Sobolev, V.I. (2001) [1994], "Functional", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
nLab의 선형 함수
nLab의 비선형 함수
Rowland, Todd. "Functional". MathWorld.
Rowland, Todd. "Linear functional". MathWorld.

[LangAlgebra2002DefFunctional-1] Lang 2002, 페이지 142 harvnb 오류: 타깃 없음: CITREFLang 2002 (도움말) "E를 교환 링A 위의 빈 모듈로 합니다.우리는 A를 그 자체보다 1등급의 무료 모듈로 본다.E의 이중 모듈^∨ E는 모듈 Hom(E, A)을 의미합니다.그 요소는 기능이라고 불립니다.따라서 E 위의 함수는 A-선형 지도 f : E → A이다."

[KolmogorovDefFunctionalOnLinearSpace-2] Kolmogorov & Fomin 1957, 페이지 77 "규범 선형 공간 R에 정의된 숫자 함수 f(x)는 함수라고 불립니다.함수 f(x)는 f(αx + βy) = αf(x) βf(y)일 때 직선이라고 한다.여기서 x, y δR 및 α, β는 임의의 수이다.

[FOOTNOTEWilansky20137-3] Wilansky 2013, 페이지 7. sfn 오류: 대상 없음: CITEREFWilansky 2013(도움말)

[Axler2015-4] Axler (2015) harvts 오류: 대상 없음: CITREFAxler2015 (도움말) 페이지 101, § 3.92

[EOFLinearFunctional-5] Khelemskii, A.Ya. (2001) [1994], "Linear functional", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[KolmogorovDefFunctionalAsMapDefinedOnSetOfFunctions-6] Kolmogorov & Fomin 1957, 페이지 62-63 "공간 R 위의 실제 함수는 공간¹ R(실제 선)에 대한 R의 매핑입니다.따라서, 예를 들어, R을¹ R로ⁿ 매핑하는 것은 n개의 변수의 일반적인 실수치 함수이다.공간 R 자체가 함수로 구성되어 있는 경우, R의 원소의 함수는 보통 함수라고 불립니다."

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