고정점 정리

Fixed-point theorem

수학에서 고정점 정리는 F에 대해 일반 용어로 나타낼 수 있는 일부 조건 하에서 함수 F가 적어도 하나의 고정점(F(x) = x를 갖는 점)을 갖는다는 결과물이다.[1] 이런 종류의 결과는 수학에서 가장 일반적으로 유용한 것들 중 하나이다.[2]

수학적 분석에서

바나흐 고정점 정리는 그것이 충족될 경우, 함수를 반복하는 절차가 고정점을 산출한다는 것을 보장하는 일반적인 기준을 제공한다.[3]

이와는 대조적으로 브루워 고정점 정리는 비구축적 결과로서, n차원 유클리드 공간에서 닫힌 단위공에서 그 자체로 이어지는 어떤 연속적인 기능도 고정점을 가져야 한다고 말하지만 [4]고정점을 찾는 방법에 대해서는 기술하지 않는다(Speerner의 보조정리도 참조).

예를 들어 코사인 함수는 [-1,1]에서 연속되어 [-1, 1]에 매핑되므로 고정점이 있어야 한다. 이는 코사인 함수의 스케치된 그래프를 검토할 때 명확하다. 고정점은 코사인 곡선 y = cos(x)가 선 y = x를 교차하는 곳에서 발생한다. 숫자적으로 고정점은 대략 x = 0.739085133231516(이 x 값에 대해 x = cos(x)).

대수적 위상에서 나온 렙체츠 고정점 정리[5](및 닐슨 고정점 정리)[6]는 어떤 의미에서는 고정점을 셀 수 있는 방법을 주기 때문에 눈에 띈다.

바나흐 고정점 정리 및 더 나아가서 바나흐 고정점 정리에는 여러 가지 일반론이 있다; 이것들은 PDE 이론에 적용된다. 무한 차원 공간에서의 고정점 정리를 참조하십시오.

프랙탈 압축의 콜라주 정리는 많은 영상의 경우, 어떤 시작 영상에 반복적으로 적용할 때 원하는 영상에 빠르게 수렴되는 함수에 대한 비교적 작은 설명이 존재함을 증명한다.[7]

대수학 및 이산수학에서

크나스터-타르스키 정리는 완전한 격자 위에 있는 어떤 주문 보존 기능도 고정점을 가지고 있으며, 실제로 가장 작은 고정점을 가지고 있다고 기술하고 있다.[8] 부르바키-도 참조위트 정리.

그 정리는 정적 프로그램 분석의 한 형태인 추상적 해석에 응용이 있다.

람다 미적분학의 일반적인 주제는 주어진 람다 식의 고정된 점을 찾는 것이다. 모든 람다 식에는 고정된 점이 있으며, 고정된 점 결합기는 람다 식을 입력하여 출력하는 "기능"이다.[9] 중요한 고정점 결합기는 재귀적 정의를 제공하는 데 사용되는 Y 결합기이다. 콤비네이터다.

프로그래밍 언어의 변혁적 의미론에서 크나스터-타르스키 정리의 특별한 경우는 재귀적 정의의 의미론을 확립하는 데 사용된다. 고정점 정리를 「동일한」함수(논리적인 관점에서)에 적용하고 있지만, 이론의 전개는 상당히 다르다.

계산가능성 이론에서 클레네의 재귀 정리를 적용함으로써 재귀함수의 동일한 정의를 제시할 수 있다.[10] 이러한 결과는 동등한 이론이 아니다; 크나스터-타르스키 정리는 변이적 의미론에서 사용되는 것보다 훨씬 강력한 결과물이다.[11] 그러나 Church-Turing 논문에 비추어 볼 때 그들의 직관적 의미는 같다: 재귀적 기능은 특정 기능의 가장 덜 고정된 지점으로 묘사될 수 있다.

고정점을 찾기 위해 함수를 반복하는 위의 기법은 집합 이론에서도 사용될 수 있다. 정상 기능에 대한 고정점 보조정리기는 서수에서 서수까지 엄격히 증가하는 모든 함수는 하나의 (실제로 많은) 고정점을 가지고 있다고 말한다.

포셋의 모든 폐쇄 운영자는 고정된 지점이 많다. 이는 폐쇄 운영자에 관한 "폐쇄 요소"이며, 이러한 요소들이 폐쇄 운영자가 애초에 정의되었던 주요 원인이다.

원소의 수가 홀수인 유한 집합에 대한 모든 비자발에는 고정점이 있다. 보다 일반적으로 유한 집합에 대한 모든 비자발에는 원소의 수와 고정점 수가 동일한 패리티를 가진다. 돈 자기에르는 이러한 관측을 이용하여 페르마의 두 제곱합에 대한 정리를 일목요연하게 증명해 보였는데, 그 중 하나는 하나의 고정점만 가지고 있음을 쉽게 보여줄 수 있고, 다른 하나는 주어진 소수점(1모드 4)의 각 표현에 대해 고정점을 가지고 있다는 것을 다음과 같이 기술했다. 두 칸의 합 첫 번째 비자발성은 홀수 수의 고정점을 가지기 때문에 두 번째도 고정점을 가지며, 따라서 원하는 형태의 표현은 항상 존재한다.[12]

고정점 정리 목록

각주

  1. ^ Brown, R. F., ed. (1988). Fixed Point Theory and Its Applications. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-5080-6.
  2. ^ Dugundji, James; Granas, Andrzej (2003). Fixed Point Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
  3. ^ Giles, John R. (1987). Introduction to the Analysis of Metric Spaces. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35928-3.
  4. ^ Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis: 주요 원칙과 그 적용, Springer, 1995.
  5. ^ Solomon Lefschetz (1937). "On the fixed point formula". Ann. of Math. 38 (4): 819–822. doi:10.2307/1968838.
  6. ^ Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (2003). Schmidt, Asmus L. (ed.). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.
  7. ^ Barnsley, Michael. (1988). Fractals Everywhere. Academic Press, Inc. ISBN 0-12-079062-9.
  8. ^ Alfred Tarski (1955). "A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications". Pacific Journal of Mathematics. 5:2: 285–309.
  9. ^ Peyton Jones, Simon L. (1987). The Implementation of Functional Programming. Prentice Hall International.
  10. ^ 커틀랜드, N.J. 연산성: 1980년 캠브리지 대학 출판부의 재귀적 기능 이론에 대한 소개. ISBN 0-521-29465-7
  11. ^ 프로그램 검증의 기초, 제2판, 자크 로크스와 커트 시버, 존 와일리 & 선스, ISBN 0-471-91282-4, 제4장, 정리 4.24쪽 83쪽은 변절 의미론에서 사용되는 것이고, 크나스터-타스키 정리는 90페이지의 연습 4.3~5로 증명하기 위해 주어진다.
  12. ^ Zagier, D. (1990), "A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares", American Mathematical Monthly, 97 (2): 144, doi:10.2307/2323918, MR 1041893.

참조

외부 링크