아티야-보트 고정점 정리

수학에서 미카엘 아티야와 라울 보트가 1960년대에 입증한 아티야-보트 고정점 정리는 M에 타원 콤플렉스를 사용하는 부드러운 다지관 M을 위한 렙체츠 고정점 정리의 일반적인 형태다.이것은 벡터 번들에 타원형 미분 연산자로 이루어진 시스템으로, 원래의 렙체츠 고정점 정리에 나타나는 부드러운 미분형에서 생성된 드 럼 콤플렉스를 일반화한다.

공식화

그 아이디어는 렙체츠 숫자에 대한 올바른 대체물을 찾는 것인데, 고전적인 결과에서는 매끄러운 매핑의 고정된 점의 정확한 기여를 계산하는 정수다.

$M\displaystyle f\colon M\to M.}$

직관적으로 고정점은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ M$\time$ M$}$의 대각선(ID 매핑의 그래프$)$과 f 그래프의 교차점이며, 따라서 렙체츠 번호는 교차로 번호가 된다.아티야-보트 정리는 LHS가 전지구 위상학(생체학) 계산의 결과여야 하며, RHS는 f의 고정점에서 국부 기여의 합계를 구해야 하는 방정식이다.

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M}$에서 코드수를 계산하면 f와 대각선 그래프의 횡단성 가정은 고정점 집합이 0차원임을 보장해야 한다$.$M이 폐쇄 다지관이라고 가정하면 교차점 세트가 유한하여 기대 공식의 RHS로서 유한 합계가 발생함을 보장해야 한다.추가 필요한 데이터는 벡터 번들 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 타원 복합체, 즉 번들 맵과 관련된다.

${\displaystyle \varphi _{j}\colon f^{-1}(E_{j})\to E_{j}}$

각 j에 대해, 섹션의 결과 지도가 타원형 복합체 $T$의 내형성을 발생시킨다$.$ 그러한 내형성 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은 렙체츠 숫자를 가지고$$ 있다.

$L(T),}$

정의에 따르면 타원 복합체의 호몰로학에서 등급이 매겨진 각 부분에 대한 추적의 교대 합이다.

그 정리의 형태는 그때에 있다.

${\displaystyle L(T)=\sum _{x}\left(\sum _{j}-1)^{j}\mathrm {trace}\,\varphi _{j,x}\right)/\delta (x)}$

Here trace ${\displaystyle \varphi _{j,x}}$ means the trace of ${\displaystyle \varphi _{j}}$ at a fixed point x of f, and ${\displaystyle \delta (x)}$ is the determinant of the endomorphism ${\displaystyle I-Df}$ at x, with ${\displaystyle Df}$ the derivative of f (the non-vani이것의 표지는 전횡의 결과물이다.외부 합계는 고정점 x를 초과하고, 내부 합계는 타원 복합체에서 지수 j를 초과한다.

아티야-보트 정리를 부드러운 미분 형태의 데 람 콤플렉스에 전문화하면 원래의 렙체츠 고정점 공식이 산출된다.아티야-보트 정리의 유명한 적용은 리 집단 이론에서 웨일 문자 공식의 간단한 증거다.^{[clarification needed]}

역사

이 결과의 초기 역사는 아티야-싱어 지수 정리와 얽혀 있다.과거에 사용했던 대체명 우즈홀 고정점 정리(고정점 고립의 경우를 적절하게 참조)^[1]에서 제안된 것처럼 다른 입력도 있었다.1964년 우즈 홀에서 열린 한 회의에서는 다양한 그룹이 모였다.

아이클러는 고정점 이론과 자동 형태 사이의 상호작용을 시작했다.시무라는 1964년 우즈홀 컨퍼런스에서 보츠에게 이를 설명함으로써 이 발전에 중요한 역할을 했다.^[2]

아티야는 다음과 같이 말한다.^[3]

[회의]...Bott와 나는 홀로모르픽 지도의 렙체츠 공식의 일반화에 관한 시무라 추측에 대해 배웠다.많은 노력 끝에 우리는 이런 유형의 일반적인 공식[...]이 있어야 한다고 우리 자신을 납득시켰다.

타원형 콤플렉스를 위한 버전으로 안내되었다.

회의에도 함께 참석한 윌리엄 풀턴의 기억 속에서 가장 먼저 증거를 낸 사람은 장 루이 베르디에였다.

교정쇄

대수 기하학의 맥락에서, 이 진술은 대수학적으로 폐쇄된 분야에 걸쳐 부드럽고 적절한 변종에 적용된다.아티야-보트 고정점 공식의 이 변형은 콘디레브 & 프리코드코(2018)가 이 공식의 양쪽을 적절하게 선택한 범주형 트레이스로 표현함으로써 증명되었다.

참고 항목

• 병잔류식

메모들

참조

• 이것은 타원형 복합체의 내형성 렙체츠 수를 계산하는 정리를 말한다Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1966), "A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators", Bulletin of the American Mathematical Society, 72 (2): 245–50, doi:10.1090/S0002-9904-1966-11483-0.
• 아티야, 마이클 F.;Bott, 라울(1967년),"A렙셰츠 고정 포인트 공식 타원 단지를", 수학 연보, 두번째 시리즈, 86(2):374–407, doi:10.2307/1970694, JSTOR 1970694와 아티야, 마이클 F.;Bott, 라울(1968년),"렙셰츠 고정 포인트 공식 타원 단지형:.II. Applications", Annals 수학의, 두번째 시리즈, 88년(3):451–491, doi:10.2307/1970721, JSTOR 1970721.이러한 교정을, 그 결과의 일부 응용 프로그램은 이전의 종이에 발표한다.

• Kondyrev, Grigory; Prikhodko, Artem (2018), "Categorical Proof of Holomorphic Atiyah–Bott Formula", J. Inst. Math. Jussieu: 1–25, arXiv:1607.06345, doi:10.1017/S1474748018000543

외부 링크

• Tu, Loring W. (December 21, 2005). "The Atiyah-Bott fixed point theorem". The life and works of Raoul Bott.
• Tu, Loring W. (November 2015). "On the Genesis of the Woods Hole Fixed Point Theorem" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 1200–1206.