상자 안의 가스

양자역학에서, 상자 안의 양자 입자의 결과는 즉각적인 열화 충돌을 제외하고 서로 상호 작용하지 않는 많은 수의 분자가 들어 있는 상자인 상자 안의 양자 이상 기체의 평형 상황을 살펴보는 데 사용될 수 있다.이 간단한 모델은 고전적인 이상 기체뿐만 아니라 이상적인 질량 페르미 가스, 이상적인 질량 보세 가스 및 질량 없는 보세 가스로 취급될 수 있는 흑체 방사선(포톤 가스)과 같은 다양한 양자 이상 기체를 기술하는데 사용될 수 있는데, 이 기체는 보통 질량 없는 보세 가스로 취급될 수 있는데, 이 기체들은 보통 이 기체의 상호 작용에 의해 열화가 촉진된다고 가정한다.평형 질량의 광자

맥스웰-볼츠만 통계, 보즈-아인슈타인 통계 또는 페르미-디락 통계 중 하나의 결과를 사용하고, 매우 큰 상자의 한도를 고려했을 때, 토마스는-페르미 근사치(Enrico Fermi와 Llewelyn Thomas의 이름을 따서 명명)는 에너지 상태의 퇴화를 미분으로서, 그리고 주(州)에 대한 합계를 통합으로서 표현하기 위해 사용된다.이것은 칸막이 기능이나 그랜드 칸막이 기능을 사용하여 기체의 열역학적 특성을 계산할 수 있게 한다.이 결과는 질량이 큰 입자와 질량이 없는 입자에 모두 적용될 것이다.더 완전한 계산은 기사를 구분하는데 남겨질 것이지만, 이 글에는 몇 가지 간단한 예가 주어질 것이다.

토마스-페르미 국가 퇴화에 대한 근사치

상자 안의 질량과 질량이 없는 입자의 경우, 입자의 상태는 양자수 집합[n_x, n, n]에_yz 의해 열거된다.운동량의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle p={\frac {h}{2}L}{{\sqrt{n_{x}^{2}+n_{y}}^{2}+n_{z}^{2}}:\qquad \qquad n_{x},n_{y},n_{z}=1,2,3,\ldots }}$

여기서 h는 플랑크의 상수이고 L은 상자의 한 변의 길이다.입자의 각 가능한 상태는 양의 정수의 3차원 그리드에 있는 점이라고 생각할 수 있다.출발지로부터 어느 지점까지의 거리는

${\displaystyle n={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}}^{2}+n_{z}^{2}}={\frac {2Lp}{h}}}}}$

각 양자수 집합이 f 상태를 지정한다고 가정합시다. 여기서 f는 충돌에 의해 변경될 수 있는 입자의 내부 자유도 수입니다.예를 들어, 회전½ 입자는 각 스핀 상태당 하나씩 f=2를 가질 것이다.n의 큰 값의 경우 위의 방정식에서 모멘텀 크기가 p보다 작거나 같은 상태의 수는 대략적으로

${\displaystyle g=\왼쪽({\frac {f}{8}\오른쪽){\frac {4}{3}\pi n^{3}={\frac {4\pi f}{3}}}{\frac {Lp}{h}\오른쪽)^{3}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이는 양의 n을_i 가진 옥탄트만 고려되기 때문에 반경 n의 부피에 8을 나눈 것의 f배일 뿐이다.따라서 연속체 근사치를 사용하면 p와 p+dp 사이에 운동량이 큰 상태의 수는 다음과 같다.

${\displaystyle dg={\frac {\pi }{2}}~fn^{2}\,dn={\frac {4\pi fV}{h^{3}}}}~p^{2}\,dp}$

여기서 V=L은³ 상자의 부피다.토마스라고도 하는 이 연속체 근사치를 사용함에 있어 유의하십시오.페르미 근사치, n_i = 1인 지상 상태를 포함하여 저에너지 상태를 특성화하는 능력은 상실된다.대부분의 경우에 이것은 문제가 되지 않을 것이지만, 기체의 많은 부분이 지면 상태 또는 그 근처에 있는 보스-아인슈타인 응결을 고려할 때, 낮은 에너지 상태를 처리하는 능력이 중요해진다.

근사치를 사용하지 않고 에너지 ε을_i 가진 입자의 수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi(\varepsilon _{i})}}}$

여기서 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 상태 i와

β = 1/kT_B, 볼츠만의 상수_B k, 온도 T, 화학적 전위 μ. (맥스웰-볼츠만 통계, 보스-아인슈타인 통계, 페르미-디락 통계 참조)

토머스 사용페르미 근사치, E와 E+dE 사이에 에너지가 있는 dN_E 입자의 수는 다음과 같다.

${\displaystyle dN_{E}={\frac {dg_}{E}{\Phi (E)}}$

$여기$서 d ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$E}$은 E와 E+dE 사이에 에너지가 있는 상태의 수입니다.

에너지 분배

이 글의 이전 섹션에서 도출된 결과를 사용하여 이제 상자 안의 가스에 대한 일부 분포를 결정할 수 있다.For a system of particles, the distribution ${\displaystyle P_{A}}$ for a variable ${\displaystyle A}$ is defined through the expression ${\displaystyle P_{A}dA}$ which is the fraction of particles that have values for ${\displaystyle A}$ between ${\displaystyle A}$ and ${\displa$$ystyle A+dA}$

${\displaystyle P_{A}~dA={\frac {dN_{A}}{N}}}={\frac {dg_{{N}}}={\frac}{dg_{{{}}}}}}}A}{{N\Phi _{A}}}}$

어디에

• ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$$}$과(와) $A{\displaystyle }$+ d A $사이의$A ${\$$displaystyle A}$에 대한 값을 갖는 입자 수
• ${\$$A$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과(와) $A{\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A}$ ${\daystyle A+dA}$ 사이의 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 값이 있는 상태 수
• ${\displaystyle {\mathrm{\phi }}_{}^{}}$ ${\displaystyle A_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $\Phi _{A}^{-1$$},$ 값이$A$인 상태가 입자에 의해 점유될$$ 확률
• ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ N$\},$ 총 입자 수입니다.

그 다음은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{A}{A}~dA=1}$

모멘텀 분포 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}${\$displaystyle P_{p}$의 경우$,$ $p{\displaystyle }${\$displaystyle p}$과(와) $p{\displaystyle }$+ d ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle$ p$+dp}$ 사이에 모멘텀 크기가 있는 입자의 비율은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle P_{p}~dp={\frac {Vf}{{N}}{{h^{3}\Phi _{p}}{p^{2}dp}$

에너지 분배 P ${\displaystyle E_{}}$ ${\$의 경우$$$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E$$}$과 E + d $E{\displaystyle }${\$dE} 사이$에 에너지가 있는 입자의 비율은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle P_{E}~dE=P_{p}{\frac {dp}{dE}~dE}$

상자 안의 입자(그리고 자유 입자의 경우에도), 에너지 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$과(와) 모멘텀 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 사이의 관계는 거대하고 질량이 없는 입자에 대해 다르다$$.거대한 입자라면

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}$

질량이 없는 입자들을 위해

$[\displaystyle E=pc}$

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은 입자의 질량이고 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은 빛의 속도다.이런 관계들을 이용해서

• 거대한 입자라면
  $${\displaystyle {\displaystyle}{2}dg_{E}&=\quad \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}\오른쪽){\frac {2}{\sqrt{\pi }}}~{3/2}E^{1/2}}:dE\\\\\\\\\\frac {2}P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~{\frac {\beta ^{3/2}E^{1/2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}}$$

  
  여기서 λ은 기체의 열파장이다.
  $${\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\h^{2}\beta }{2\pi m}}}}}}}}$$

  
  이것은 중요한 수량인데, λ이 입자간 거리${\displaystyle }$(${\displaystyle {V\mathrm{}}^{}/N{}^{}}$) 1${\displaystyle {}^{}}$/ 3 ${\$ 스타일 $(V/N)^{1/3}$의 순서로 되어 있을$$때 양자 효과가 지배하기 시작하고 가스는 더 이상 맥스웰-볼츠만 가스로 간주할 수 없기 때문이다.
• 무질량 입자용
  $${\displaystyle {\displaystyle}{2}dg_{E}&=\quad \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}\right){\frac {1}{1}2}}~\베타 ^{3}E^{2}~dE\\\\\\\\frac {1}{1}{3}E\\\\frac \precH00}P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}}$$

  
  여기서 λ은 질량이 없는 입자의 열파장이다.
  $${\displaystyle \Lambda ={\frac {ch\beta }{2\,\pi ^{1/3}}}}$$

  

구체적인 예

다음 절에서는 일부 특정 사례에 대한 결과의 예를 제시한다.

매시브 맥스웰-볼츠만 입자

이 경우:

${\displaystyle \Phi(E)=e^{\beta(E-\mu )}}}$

N을 위한 에너지 분배 기능 통합 및 해결

${\displaystyle N=\왼쪽({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}\오른쪽)\,\,\,e^{\beta \mu }}}}}$

원래의 에너지 분배 기능으로 대체하는 것은

${\displaystyle P_{E}~dE=2{\sqrt {\frac {\beta ^{3}{\pi }}}~e^{-\beta E}~dE}$

Maxwell-Boltzmann 분포에 대해 고전적으로 얻은 동일한 결과.이상적인 기체에 관한 기사의 고전적인 부분에서 더 많은 결과를 찾을 수 있다.

메시브 보세-아인슈타인 입자

이 경우:

${\displaystyle \Phi(E)={\frac {e^{\beta E}{z}-1}$

여기서 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$. ${\displaystyle z=e^{\mu }}$

에너지 분배 기능을 통합하고 N에 대한 해결은 입자 번호를 제공한다.

${\displaystyle N=\왼쪽({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}\오른쪽){\textrm {Li}_{3/2}(z)}$

여기서 Li_s(z)는 다로그함수다.다변량 용어는 항상 양수여야 하며 실제여야 하며, 즉, 다변량 용어의 값이 0에서 1로 증가함에 따라 값이 0에서 2(3/2)으로 변경됨을 의미한다.온도가 0으로 떨어지면서 λ은 점점 더 커지게 되고, 마침내 λ은 임계값 λ에_c 도달하게 되며, 여기서 z=1과

${\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\lambda _{\rm{c}^{3}}\오른쪽)\제타(3/2),}$

여기서 $\zeta {\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \zeta (z)}$은 리만 제타 함수를 나타낸다.λ = λ이_c 임계 온도인 온도.이 임계 온도 이하의 온도에서는 입자 수에 대한 위의 방정식은 해법이 없다.임계 온도는 보스-아인슈타인 응축수가 형성되기 시작하는 온도다.문제는 위에서 언급한 바와 같이 연속적인 근사치에서 지상 상태가 무시되었다는 점이다.그러나, 위의 입자 수에 대한 방정식은 흥분 상태의 보손 수를 오히려 잘 표현하고, 따라서 다음과 같은 것으로 밝혀졌다.

${\displaystyle N={\frac {g_{0}z}{1-z}+\왼쪽({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}\오른쪽)\operatorname {Li} _{3/2}(z)}$

여기서 추가된 항은 지면 상태의 입자 수입니다.지상 주의 에너지는 무시되었다.이 방정식은 영온으로 유지될 것이다.이상적인 보세 가스에 관한 글에서 더 많은 결과를 찾을 수 있다.

질량이 없는 보세-아인슈타인 입자(예: 흑체 방사선)

질량이 없는 입자의 경우 질량이 없는 에너지 분배 기능을 사용해야 한다.이 기능을 주파수 분배 기능으로 변환하는 것이 편리하다.

${\displaystyle P_{\nu }~d\nu ={\frac {h^{3}}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}\nu ^{2}}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu }$

여기서 λ은 질량이 없는 입자의 열파장이다.스펙트럼 에너지 밀도(단위 주파수당 단위 부피당 에너지)는 다음과 같다.

${\displaystyle U_{\nu }~d\nu =\왼쪽({\frac {N\,h\nu }{V}\오른쪽)P_{\nu }~d\nu ={\frac {4\pi fh\nu ^{3}}{c^{3}}{\frac {1}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm{B}T}-100~d\nu .}$

다른 열역학적 매개변수는 거대한 입자의 경우와 유사하게 도출될 수 있다.예를 들어, N에 대한 주파수 분포 함수의 통합과 해결은 다음과 같은 입자의 수를 제공한다.

${\displaystyle N={\frac {16\,\pi V}{c^{3}h^{3}\beta ^{3}\,\mathrm {Li}_{3}\{3}}\{3}\mathrm {Li}\{{\mu_{\rm}}}}}}}T}\오른쪽).}$

가장 흔한 질량이 없는 보세 가스는 검은 몸에 있는 광자 기체다."상자"를 검은 신체 공동으로 받아들이면서, 광자들은 계속해서 벽에 의해 흡수되고 다시 방출되고 있다.이럴 때는 광자의 수가 보존되지 않는다.보세-아인슈타인 통계 도출에서 입자 수에 대한 구속이 제거되면 이는 사실상 화학적 전위(μ)를 0으로 설정하는 것과 같다.더욱이 광자는 두 개의 스핀 상태를 가지고 있기 때문에 f의 값은 2이다.스펙트럼 에너지 밀도는 그 다음이다.

${\displaystyle U_{\nu }~d\nu = {\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\rm}{B}T}-1~d\nu }}}}$

블랙바디 방사선의 플랑크의 법칙에 대한 스펙트럼 에너지 밀도일 뿐이다.Wien 분포는 고온 또는 저밀도 플랑크의 분포에 근접한 질량이 없는 Maxwell-Boltzmann 입자에 대해 이 절차를 수행하면 복구된다는 점에 유의하십시오.

특정 상황에서 광자와 관련된 반응은 광자의 수(예: 발광 다이오드, "흰색" 캐비티)를 보존하는 결과를 가져올 것이다.이 경우 광자 분포 함수는 0이 아닌 화학 전위를 포함한다.(헤르만 2005)

또 다른 질량 없는 보세 가스는 데비예 모델에 의해 열 용량에 의해 주어진다.이 모델은 박스에 있는 포논의 기체를 고려하며, 포논의 속도가 광속보다 적고, 박스의 각 축에 대해 최대 허용 파장이 있다는 점에서 광자의 발달과는 다르다.이것은 위상공간을 통한 통합을 무한대로 수행할 수 없다는 것을 의미하며, 결과가 다변량(polylogarithms)으로 표현되는 대신 관련 데비예 함수로 표현된다.

거대한 페르미-디락 입자(예: 금속의 전자)

이 경우:

${\displaystyle \Phi(E)=e^{\beta(E-\mu )}+1.\,}$

에너지 분배 기능을 통합하여

${\displaystyle N=\왼쪽({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}\오른쪽)\왼쪽[-{\textrm {Li}_{3/2}(-z)\오른쪽]}}$

여기서 다시 Li_s(z)는 다로그함수, λ은 열 드 브로글리 파장이다.이상적인 페르미 가스에 관한 기사에서 더 많은 결과를 찾을 수 있다.페르미 가스의 용도는 자유 전자 모델, 백색 왜성 이론, 그리고 일반적으로 퇴보 물질에서 발견된다.

참고 항목

• 고조파 트랩의 가스

참조

• Herrmann, F.; Würfel, P. (August 2005). "Light with nonzero chemical potential". American Journal of Physics. 73 (8): 717–723. Bibcode:2005AmJPh..73..717H. doi:10.1119/1.1904623. Retrieved 2006-11-20.
• Huang, Kerson (1967). Statistical Mechanics. New York: John Wiley & Sons.
• Isihara, A. (1971). Statistical Physics. New York: Academic Press.
• Landau, L. D.; E. M. Lifshitz (1996). Statistical Physics (3rd Edition Part 1 ed.). Oxford: Butterworth-Heinemann.
• Yan, Zijun (2000). "General thermal wavelength and its applications". Eur. J. Phys. 21 (6): 625–631. Bibcode:2000EJPh...21..625Y. doi:10.1088/0143-0807/21/6/314.
• Vu-Quoc, L, Configuration Integrated (통계 역학), 2008. 이 위키 사이트는 다운되었다. 2012년 4월 28일 웹 아카이브에서 이 기사를 참조하십시오.