일반화 호칭 다항식

수학에서 다항식 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle p_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{p_{n}(z)\}}$은 다항식 생성 함수가 다음과 같은 형식을 취할 경우 일반화된 호칭 표현을 갖는다$$.

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\PSI(zg(w))=\sum _{n=0}^{\infit }p_{n}(z)w^{n}}}}}$

여기서 생성 함수 또는 커널 $K{\displaystyle (z}$, w${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(z,w)}$이(가) 영상 시리즈로 구성됨$$

${\displaystyle A(}$ ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle w^{}}$ $displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{$n=0}^{$n}w^{n}}\quad },$ ${\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="A(w)=\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n\; w^n\; \backslash quad"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ef7d9d007228d16caa0380c870ea908dfde38b56"\; style="vertical-align:\; -3.005ex;\; width:19.711ex;\; height:6.843ex;"\; papago-attr-id="24">}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystystyle a_{0}\neq$ 0$}$

그리고

${\displaystyle \mathrm{\psi }}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ∞${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ $displaystyle \Psi (t)=\sum \{n=0}^{n}\psi _{n}^{n}\quad }$ 및 모든$$ $\psi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $≠$ 0 ${\displaystystyle$ \$ps$\{$n}\n$}

그리고

${\displaystyle g}$( ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle w_{}}$ $displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{$n=1}^{\$infit$ }${\displaystyle \mathrm{g\_}}$${n}w^{n}\nites },$$$g$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$≠.${\displaystystyle g_{1$}\$nq.}$

위와 같이 볼 때 ${\displaystyle p_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle p_{n}(z)}$이(가) 도 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 다항식임을 나타내는 것은 어렵지 않다$.$

보아스-벅 다항식은 약간 더 일반적인 다항식이다.

특례

• $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle g(w)=w}$의 선택은 브렌케 다항식의 클래스를 제공한다$$.
• $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$를 선택하면 다항식의 셰퍼 시퀀스가 나타나는데$$, 다항식의 경우 뉴턴 다항식과 같은 일반적인 차이 다항식이 포함된다.
• $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle g(w)=w}$ 및$$ $\psi {\displaystyle \mathrm{}(t}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$의 조합 선택은 다항식의 호칭 시퀀스를 제공한다$$.

명시적 표현

일반화된 호칭 다항식에는 명시적 표현이 있다.

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\psi _{k}h_{k}.}$

상수는

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{0_}g_{j_{1}g_{1}g_{{j_2}}\cdots g_{j_{k}}}}}}$

여기서 이 합계는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 모든 구성에 $걸쳐{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyle k+1}$ 부분으로$$ 확장된다$.{\displaystyle }$ 즉, 합은 다음과 같은$$ {$}$ {\$displaystyle$\{$j\}$ 전체에 걸쳐 확장된다.

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

호칭 다항식의 경우, 이것은 공식으로 간주된다.

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}}}{k!}}.}$

재귀관계

마찬가지로 커널 $K{\displaystyle (z}$, w${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(z,w)}$을(를) $w)$로 쓸 수 있는$$ ${\displaystyle {필요}_{}}$하고도 충분한 조건이며, $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ = 1 ${\displaystyle g_{1}=1}$인 $경우$$$$.$

${\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}=c(w)}+{\frac {zb(w)}{w}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}}}}}}}$

여기서 $b{\displaystyle (w}$) ${\displaystyle b(w)}$ 및$$ $c{\displaystyle (w)}$ ${\displaystyle c(w)}$에 전원 시리즈가 있음

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{w}}}{d}}{d}}}}{n=1+(w)\sum _{n=1}^{n=1}b_{n}w^{n}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{1}{1A(w)}}{dw}A(w)=\sum _{n=0}^{\inflit }c_{n}w^{n}}.}$

대체

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\p_{n}(z)w^{n}}}}}$

즉시 재귀 관계를 부여하다.

${\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}$

브렌케 다항식의 특수한 경우, $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle g(w)=w}$이(가) 있고, ${\displaystyle \mathrm{따라서<img\; alt="g(w)=w"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c880d2f9b7c0ac2102ae4ead07b51b64606b2094"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.352ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="87">}}$ ${\displaystyle {bn}_{}}$= 0 ${\displaystyle b_{n}=0}$이$($가) 모두 있어 재귀 관계를 상당히 단순화한다.

참고 항목

• q-multi-nomials

참조

• Ralph P. Boas Jr. R.Creighton Buck, 분석 기능의 다항식 확장 (Second Printing Corrected), (1964) New York, Springer-Verlag, Berlag, Publishers Inc.의회 도서관 카드 번호 63-23263.
• Brenke, William C. (1945). "On generating functions of polynomial systems". American Mathematical Monthly. 52 (6): 297–301. doi:10.2307/2305289.
• Huff, W. N. (1947). "The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t)". Duke Mathematical Journal. 14 (4): 1091–1104. doi:10.1215/S0012-7094-47-01483-X.