지오데식 다지관

수학에서 완전한 다지관(또는 지질학적으로 완전한 다지관) M은 리만 다지관인데, 어느 지점 p에서 시작해도 어느 방향을 따라 무한히 "직선"을 따라갈 수 있다. 좀 더 공식적으로, p 지점에서의 지수 지도는 p 지점의 전체 접선 공간인 TM에_p 정의된다.

동등하게 최대 지오데틱 $\ell {\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell \colon I\to$ M$\}.$ $여기$서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은 R ${\\$의 개방된 간격이며$,$ 지오데틱은 "정속"으로 매개변수화되기 때문에 transversality까지 고유하게 정의된다. $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 최대값이기$$ 때문에 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$은(는) $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 끝을 ∂M 지점에$$ 매핑하고$$, $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$의 길이는 이러한 점 사이의 거리를 측정한다$$. 다지관은 $지질학적$으로 완전하다. 만약 그러한 지오데틱${\displaystyle }$$\$ {\$displaystyle \ell$}에$$대해 $우리$는${\displaystyle }$I =${\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle }$- ∞${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ){\$displaystyle$ I$=(-\infty,\infty )}$를 가지고 있다$.$

예시 및 비예시

유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 구 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 토리 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$자연 리만 측정 기준 포함)은 모두 완전한 다지각이다.

모든 콤팩트한 리만 다지관과 모든 동질 다지관은 지질학적으로 완전하다. 모든 대칭 공간은 지리학적으로 완전하다.

모든 유한차원 경로연계 리만 다지관은 지리학적으로 완전하게 되어 있으며, 또한 완전한 미터 공간이다. 사실, 지오데틱의 완전성과 미터법의 완전성은 이 공간과 동등하다. 이것이 홉프-리노우 정리의 내용이다.

비예시

비완전 다지관의 간단한 예는 구멍 난 평면 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}\mathrm{}}$∖${\displaystyle }${ 0 ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathb {R} ^{2}\백슬래시 \lbrace 0\rbrace }$ $$(유도 메트릭 포함)에 의해 제시된다. 출발지로 가는 지오디컬은 전체 실선에서 정의될 수 없다. 홉프-리노우 정리에 의해, 우리는 대안적으로 그것이 완전한 미터법 공간이 아니라는 것을 관찰할 수 있다: 원점으로 수렴되는 평면의 모든 순서는 구멍이 난 평면에서 비결합 코치 시퀀스다.

비지오디컬적으로 완전한 사이비 리만(리만니아는 아님) 다지관이 존재한다. 그 예로는 클리프톤-폴 토러스 등이 있다.

중력을 사이비-리만 기하학의 관점에서 기술한 일반상대성이론에서, 지리학적으로 불완전한 공간의 많은 중요한 예들이 발생하는데, 예를 들어, 비회전 미충전 블랙홀이나 빅뱅을 가진 우주론 등이 있다. 그러한 불완전성이 일반상대성이론에서 상당히 일반적이라는 사실은 펜로즈-에 나타나 있다.호킹의 특이점은 이론이다.

참조

• O'Neill, Barrett (1983). Semi-Riemannian Geometry. Academic Press. Chapter 3. ISBN 0-12-526740-1.