길레스피 알고리즘

확률론에서 길레스피 알고리즘(또는 때때로 두브길레스피 알고리즘)은 반응률을 알 수 있는 확률 방정식 시스템의 통계적으로 정확한 궤적(가능한 해법)을 생성한다.조셉 L. 두브 등이 1976년 댄 길레스피가 발표한 (서클 1945년)에 의해 창조되었고, 1977년 제한된 연산력을 사용하여 화학적 또는 생화학적인 반응 시스템을 효율적이고 정확하게 시뮬레이션하는 데 사용하는 논문에서 대중화되었다(가연적 시뮬레이션 참조).^{[citation needed]}컴퓨터가 빨라지면서 알고리즘은 점점 더 복잡한 시스템을 시뮬레이션하는 데 이용되고 있다.이 알고리즘은 시약의 수가 적고 개별 분자의 위치와 행동을 계산적으로 추적할 수 있는 세포 내의 반응을 시뮬레이션하는 데 특히 유용하다.수학적으로 역동적인 몬테카를로 방식의 변형이며, 키네틱 몬테카를로 방식과 유사하다.그것은 컴퓨터 시스템 생물학에 많이 사용된다.^{[citation needed]}null

역사

알고리즘으로 이어진 과정은 몇 가지 중요한 단계를 인식한다.1931년 안드레이 콜모고로프는 점프에 의해 진행되는 확률적 과정의 시간 진화에 해당하는 미분 방정식을 도입하였는데, 오늘날에는 콜모고로프 방정식(마코프 점프 과정)으로 알려져 있다(간체화된 버전은 자연과학에서는 마스터 방정식으로 알려져 있다).콜모고로프 방정식이 확률을 (적절한) 해결책으로 인정하는 조건을 발견한 사람은 1940년 윌리엄 펠러였다.그의 정리 I(1940년 작품)에서 그는 다음 점프까지의 시간이 기하급수적으로 분포되었고 다음 사건의 확률은 비율에 비례한다는 것을 확립한다.이와 같이 그는 확률적 과정과 콜모고로프의 방정식의 관계를 확립했다.이후 두브(1942년, 1945년)는 펠러의 솔루션을 순수점프 공정의 경우를 넘어 확장시켰다.이 방법은 데이비드 조지 켄달(1950년)이 맨체스터 마크 1 컴퓨터를 이용해 컴퓨터에 구현했고 이후 모리스 바틀렛(1953)이 전염병 발생에 대한 연구에 사용했다.길레스피(1977)는 물리적 인수를 이용하여 다른 방식으로 알고리즘을 얻는다.null

알고리즘 뒤의 아이디어

전통적인 연속적이고 결정론적인 생화학적 비율 방정식은 세포 반응을 정확하게 예측하지 못한다. 그들은 수백만 개의 분자의 상호작용을 필요로 하는 대량 반응에 의존하기 때문이다.그것들은 일반적으로 결합된 일반적인 미분 방정식의 집합으로 모델링된다.대조적으로, 길레스피 알고리즘은 모든 반응이 명시적으로 시뮬레이션되기 때문에 반응제가 거의 없는 시스템의 이산적이고 확률적인 시뮬레이션을 허용한다.단일 길레스피 시뮬레이션에 해당하는 궤적은 마스터 방정식의 해법인 확률 질량 함수의 정확한 표본을 나타낸다.null

알고리즘의 물리적 근거는 반응 용기 내의 분자의 충돌이다.충돌이 빈번하지만 적절한 방향과 에너지와의 충돌은 드물다고 가정한다.그러므로 길레스피 틀 내의 모든 반응은 최대 두 개의 분자를 포함해야 한다.세 개의 분자를 포함하는 반응은 극히 드문 것으로 가정되며, 일련의 이항 반응으로 모델링된다.반응환경이 잘 혼합된 것으로 추정되기도 한다.null

알고리즘.

최근의 검토(Gillespie, 2007)는 세 가지 서로 다르지만 동등한 공식, 즉 직접적, 첫 번째 대응 및 첫 번째 가족 방법의 개요를 제시하는데, 이 두 가지 방법은 전자의 두 가지 경우가 후자의 특별한 경우다.직접적·최초적 리액션 방법의 공식화는 수학적으로 기능인 이른바 '가소성 화학 운동학의 기본 전제'에 대해 통상적인 몬테카를로 역행 단계를 수행하는 데 중점을 두고 있다.

p(\tau ,j {\boldsymbol {x}},t)=a_{j}({\boldsymbol {x}})\exp(-\tau \sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}}))

,

$a$ 서 $a$ 용어는 $a$ 각각 ${\boldsymbol {x}}$ ${\$ 인 기본 반응의 성향 함수로, ${\boldsymbol {x}}$ 종들의 벡터가 계산된다.▼ $\tau$ $\tau$ 변수는 다음 반응(또는 체류 시간)까지의 시간이며 t {\displaystyle $t}$ 은 현재 $t$ 이다 $t$ $.$ To paraphrase Gillespie, this expression is read as "the probability, given ${\boldsymbol {X}}(t)={\boldsymbol {x}}$ , that the system's next reaction will occur in the infinitesimal time interval $[t+\tau ,t+\tau +d\tau ]$ , and will be of stoichiometry correspondi $ng$ ${\displaystyle$ j} $th$ reaction $j$ "에 대한 ng.이 공식은 $\tau$ $\tau$ 이 $\tau$ (가) 기하급수적으로 분포된 랜덤 변수임을 암시함으로써 직접 및 첫 번째 반응 방법에 대한 창을 $j$ 하며, j{\ $displaystyle$ j}은 " $a_{j}({\boldsymbol {x}})/\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})$ $a_{j}({\boldsymbol {x}})/\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})$ a $a_{j}({\boldsymbol {x}})/\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})$ ( $a_{j}({\boldsymbol {x}})/\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})$ ) $a_{j}({\boldsymbol {x}})/\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})$ / $a_{j}({\boldsymbol {x}})/\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})$ $a_{j}({\boldsymbol {x}})/\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})$ ( $a_{j}({\boldsymbol {x}})/\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})$ ) ${\displaystystyle a_$ "이다 $j$ . ${j}({\\symbol{x}})/\sum _{j}a_{j}({\symbol{x}}}}}".$

따라서 몬테카를로 생성법은 단순히 $[0,1]$ , $[0,1]$ $[0,1]$ ${\displaystyle [0,1]$ 에 $r_{{2}}$ $[0,1]$ $r_{1}$ 1 ${\$ 및 $r_{2}$ $r_{2}$ ${\$ }}의 유사수치를 그려 계산하는 것이다.

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

=

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

(

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

x

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

)

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

r

\tau ={\frac {1}{\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})}}\log \left({\frac {1}{r_{1}}}\right)

){\

{

1}{\sum _{j}a_{j}({\symbol{x}}})}}}}\log \leftphtml\frac

{1

}{r_{1

그리고

j=

the smallest integer satisfying

\sum _{j'=1}^{j}a_{j'}({\boldsymbol {x}})>r_{2}\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})

.

이 생성법을 소저 시간과 다음 반응에 활용하면, 직접 방법 알고리즘은 길레스피에 의해 다음과 같이 명시된다.

1.  $t=t_{0}$ =  $t=t_{0}$  0  ${\$ 과 $t=t_{0}$ (와) 시스템  ${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{0}$  x ${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{0}$ =  ${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{0}$   ${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{0}$   ${\$  2 ${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{0}$ .With the system in state  ${\boldsymbol {x}}$  at time  $t$ , evaluate all the  $a_{j}({\boldsymbol {x}})$  and their sum  $\sum _{j}a_{j}({\boldsymbol {x}})$  3. Effect the next reaction by replacing  ${\disp$  $레이스타일 t\leftarrow$  t $+\tau }$ 과 $t\leftarrow t+\tau$ ( ${\boldsymbol {x}}\leftarrow {\boldsymbol {x}}+\nu _{j}$ )  ${\boldsymbol {x}}\leftarrow {\boldsymbol {x}}+\nu _{j}$   ${\boldsymbol {x}}\leftarrow {\boldsymbol {x}}+\nu _{j}$  +  $\$  j {\ $displaystyle {\putsymbol {x}\\puthymbol {\x}+\nu _{j}$ 4 ${\boldsymbol {x}}\leftarrow {\boldsymbol {x}}+\nu _{j}$ ) 4.원하는 대로 $({\boldsymbol {x}},t)$ (  $({\boldsymbol {x}},t)$ ,  $({\boldsymbol {x}},t)$ )  ${\displaystyle({\boldsymbol {x},t)}$ 을(를) 기록하십시오.1단계로 돌아가거나 시뮬레이션을 종료하십시오.null

이 알고리즘 제품군은 계산적으로 비용이 많이 들고 따라서 다음 반응 방법(Gibson & Bruck), 타우 리핑(tau-leaping), 결정론적 동작으로 풍부한 반응제를 모델링하는 하이브리드 기법을 포함하여 많은 수정과 어댑테이션이 존재한다.적응된 기법은 일반적으로 알고리즘이 마스터 방정식에 연결될 때 알고리즘 뒤의 이론의 정확성을 손상시키지만, 상당히 개선된 시간 계산에 대해 합리적인 실현을 제공한다.알고리즘의 정확한 버전에 대한 계산 비용은 반응 네트워크의 연결 등급에 의해 결정된다.약하게 결합된 네트워크에서, 다른 반응에 의해 영향을 받는 반응의 수는 작은 상수에 의해 제한된다.강하게 결합된 네트워크에서, 단일 반응 발사는 원칙적으로 다른 모든 반응에 영향을 미칠 수 있다.약하게 연결된 네트워크에 대해 일정한 시간 배율을 갖는 알고리즘의 정확한 버전이 개발되어, 반응 채널이 매우 많은 시스템의 효율적인 시뮬레이션이 가능해졌다(Slepoy Thompson Plimpton 2008).무작위 생화학적 사건의 비 마르코비안 특성을 지연과 함께 설명하는 일반화된 길레스피 알고리즘은 (Cai 2007)뿐만 아니라 Bratsun et al. 2005에 의해 독자적으로 Barrio et al. 2006에 의해 개발되었다.자세한 내용은 아래 인용된 기사를 참조하십시오.null

라마스와미 외 연구진이 독자적으로 개발한 부분확대형성.(2009, 2010)와 Indurkhya 및 Beal(2010)은 (더 많은) 반응의 수보다는 네트워크상의 화학종 수에 비례하는 계산원가가 있는 알고리즘의 정확한 버전군을 구성할 수 있다.이러한 공식화는 약하게 연결된 네트워크에 대해 일정한 시간 확장까지 계산 비용을 줄일 수 있으며, 강하게 연결된 네트워크에 대해서는 종 수에 따라 최대 선형적으로 확장될 수 있다.지연에 대한 반응을 위한 일반화된 길레스피 알고리즘의 부분적 확장형 변종도 제안되었다(Ramaswamy Sbalzarini 2011).부분확대 방법의 사용은 기본적인 화학 반응, 즉 최대 두 개의 서로 다른 반응 물질과의 반응으로 제한된다.모든 비원소 화학반응은 네트워크 크기의 선형적(반응 순서에 따라) 증가를 희생하여 일련의 기본적인 화학반응으로 균등하게 분해될 수 있다.null

예

AB 조광기를 형성하기 위한 A와 B의 가역적 결합

간단한 예는 길레스피 알고리즘이 어떻게 작동하는지 설명하는 데 도움이 될 수 있다. $A$ 와 $B$ 의 두 가지 유형의 분자 체계를 생각해 보자.이 시스템에서 $A$ 와 $B$ 는 역방향으로 결합하여 $AB$ 조광기를 형성하며, A와 B는 역방향으로 반응하여 $AB$ 조광기를 형성하거나 $AB$ 조광기가 $A$ 와 $B$ 로 분리된다.주어진 단일 $B$ 분자와 반응하는 주어진 단일 A 분자에 대한 반응 속도 상수는 $k_{\mathrm {D} }$ D ${\$ 이고 $k_{\mathrm {D} }$ $AB$ 조광기 분해에 대한 반응 속도는 $k_{\mathrm {B} }$ ${\$ 이다 $k_{\mathrm {B} }$

If at time t there is one molecule of each type then the rate of dimer formation is $k_{\mathrm {D} }$ , while if there are $n_{\mathrm {A} }$ molecules of type $A$ and $n_{\mathrm {B} }$ molecules of type $B$ , the rate of dimer formation is $k_{\mathrm {D} }n_{\mathrm {A} }n_{\mathrm {B} }$ $k_{\mathrm {D} }n_{\mathrm {A} }n_{\mathrm {B} }$ . If there are $n_{\mathrm {AB} }$ dimers then the rate of dimer dissociation is $k_{\mathrm {B} }n_{\mathrm {AB} }$ .

총 반응률, $R_{\mathrm {TOT} }$ $R_{\mathrm {TOT} }$ $R_{\mathrm {TOT} }$ $R_{\mathrm {TOT} }$ ${\$ 은(는) t에 의해 주어진다.

$R_{\mathrm {TOT}}=k_{\mathrm {D}{n_{\mathrm {A}{n_{\mathrm {B}+k_{\mathrm {B}{n_{\mathrmatrm {AB}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그래서 우리는 이제 두 가지 반응을 가진 간단한 모델을 묘사했다.이 정의는 길레스피 알고리즘과는 무관하다.우리는 이제 길레스피 알고리즘을 이 시스템에 적용하는 방법을 설명할 것이다.null

알고리즘에서 우리는 다음 반응까지의 시간을 계산하고, 다음 반응 중 어떤 것이 가능한 반응인지를 결정하는 두 단계로 시간을 앞당긴다.반응은 완전히 랜덤하다고 가정하므로, 한 번에 t의 반응률이 R $R_{\mathrm {TOT} }$ $R_{\mathrm {TOT} }$ $R_{\mathrm {TOT} }$ ${\$ $TOT$ $R_{\mathrm {TOT} }$ 인 경우, 다음 반응이 발생할 때까지 시간 Δt는 평균 $1/R_{\mathrm {TOT} }$ 1/ ${\displaystyle$ 1/ $R_{\mathrmatrm$ {TOT $}}}}}}}$ 을 갖는 지수 분포함수에서 추출한 난수이다 $1/R_{\mathrm {TOT} }$ 따라서 t에서 t + Δt로 시간을 앞당긴다.null

시간의 함수로서 숫자

A

분자(검은 곡선)와

AB

조광기의 그림.우리가 시간 t=0에서 10

A

와 B 분자로 시작했듯이,

B

분자의 수는

항상

A 분자의 수와 같기 때문에 보이지 않는다.

이 반응이 $B$ 분자에 $결합$ 하는 A 분자일 확률은 단순히 이런 유형의 반응으로 인한 총 비율의 분율이다.

반응이 $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ + $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ )일 확률 $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ / $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ $P({\ce {{A}+ B -> AB}})=k_{D}n_{A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}$ ${\$ -> $AB})=k_{D}n_{{$ D}n_{}}} $A}n_{B}/R_{{\ce {TOT}}}}}}$

다음 반응이 $AB$ 조광기 분리일 확률은 단지 1에서 그것을 뺀 것이다.So with these two probabilities we either form a dimer by reducing $n_{\mathrm {A} }$ and $n_{\mathrm {B} }$ by one, and increase $n_{\mathrm {AB} }$ by one, or we dissociate a dimer and increase $n_{\mathrm {A} }$ and $n_{\mathrm {B} }$ $n_{\mathrm {B} }$ ${\$ 을(를) 하나씩 $n_{\mathrm {B} }$ 줄이고 n $n_{\mathrm {AB} }$ ${\$ { $AB}}}$ 을(를) 하나씩 $n_{\mathrm {AB} }$ 줄인다.null

이제 우리 둘 다 t + Δt까지 시간이 앞당겨졌고, 단 한 번의 반응을 보였다.길레스피 알고리즘은 우리가 원하는 기간 동안(즉, 많은 반응에 대해) 시스템을 시뮬레이션하는 데 필요한 만큼 이 두 단계를 반복할 뿐이다.The result of a Gillespie simulation that starts with $n_{\mathrm {A} }=n_{\mathrm {B} }=10$ and $n_{\mathrm {AB} }=0$ at t=0, and where $k_{\mathrm {D} }=2$ and $k_{\mathrm {B} }=1$ , is sho오른쪽의 wn이러한 파라미터 값의 경우 평균적으로 $n_{\mathrm {AB} }$ $n_{\mathrm {AB} }$ $n_{\mathrm {AB} }$ ${\$ 의 $n_{\mathrm {AB} }$ $다이머$ 와 A와 $B$ 의 디머가 있지만, 이러한 값을 둘러싼 분자 변동의 수가 적기 때문에 큰 차이가 난다.길레스피 알고리즘은 종종 이러한 변동이 중요한 시스템을 연구하는데 사용된다.null

그것은 두 가지 반응을 보이는 간단한 예에 불과했다.리액션이 더 많은 복잡한 시스템도 같은 방식으로 처리된다.모든 반응률은 각 시간 단계에서 계산해야 하며, 비율에 대한 부분적인 기여도와 동일한 확률로 선택한 반응률을 계산해야 한다.그 후 이 예에서와 같이 시간이 앞당겨진다.null

추가 읽기

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