마스터 방정식

물리학, 화학 및 관련 분야에서 마스터 방정식은 주어진 시간에 상태의 확률적 조합에 있는 것으로 모델링될 수 있는 시스템의 시간 진화를 설명하기 위해 사용되며 상태 간의 전환은 전환율 매트릭스에 의해 결정된다. 방정식은 시스템이 각각 다른 상태를 차지할 확률의 미분 방정식 집합이다.

소개

마스터 방정식은 연속 시간 변수 t와 관련하여 이산 상태 집합의 각각을 점유할 시스템의 확률의 시간 진화를 설명하는 현상학적 1차 미분 방정식 집합이다. 마스터 방정식의 가장 친숙한 형태는 행렬 형식이다.

{\dfrac {d{\vec {P}}{dt}=\mathbf {A}{\vec{P},}

여기서 ${\vec {P}}$ → ${\$ 은 ${\vec {P}}$ (는) 열 벡터(여기서 i는 state i를 $,$ A {\ $displaystyle$ \ $mathbf$ {A $}}$ 은(는) 연결 행렬이다 $\mathbf {A}$ . 국가들 간의 연결이 이루어지는 방식에 따라 문제의 차원이 결정된다; 그것은 다음 중 하나이다.

d차원 시스템(여기서는 d가 1,2,3,...), 어떤 주(州)라도 정확히 2d 가장 가까운 이웃과 연결되어 있는 경우
각 상태 쌍이 연결될 수 있는 네트워크(네트워크 속성에 표시됨).

연결이 시간 독립적인 속도 상수일 때 마스터 방정식은 운동 방식을 나타내며, 프로세스는 마르코비안(상태 i에 대한 모든 점핑 시간 확률 밀도 함수는 지수함수로 연결 값과 동일한 비율)이다. 연결이 실제 시간(예: 매트릭스 $\mathbf {A}$ ${\$ 에 따라 달라지는 경우( $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} (t)$ : 매트릭스 A $displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A}$ })에 따라 달라지면 $\mathbf {A}$ 프로세스가 정지되지 않고 마스터 방정식이 읽힌다. $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} (t)$

{\dfrac {d{\vec {P}}{dt}=\mathbf {A}(t){\vec {P}}.}

연결부가 다중 지수 점프 시간 확률 밀도 함수를 나타내는 경우 프로세스는 세미 마코비안이며, 운동 방정식은 일반화된 마스터 방정식이라고 하는 정수-차동 방정식이다.

{\dfrac {d{\vec {P}}{dt}=\int_{0}^{t}\mathbf {A}(t-\tau ){\vec(\tau)}{\vec(\tau )d\tau .}

$\mathbf {A}$ A {\ $displaystyle \mathbf$ { $A}도$ 생사를 나타낼 수 있으며 $\mathbf {A}$ , 이는 확률이 주입(생년)되거나 시스템에서 추출(사망)된다는 것을 의미하며, 이때 공정은 평형 상태가 아니다.

시스템의 매트릭스 및 속성에 대한 자세한 설명

$\mathbf {A}$ 속도(운동 속도 또는 반응 속도라고도 함)를 설명하는 행렬이 A ${\$ 가) 되도록 $\mathbf {A}$ 하십시오. 항상 그렇듯이 첫 번째 첨자는 행을 나타내고, 두 번째 첨자는 열을 나타낸다. 즉, 소스는 두 번째 첨자에 의해, 목적지는 첫 번째 첨자에 의해 주어진다. 이것은 예상과는 정반대지만 기술적으로는 편리하다.

각 주(州) k의 경우, 점령 확률의 증가는 다른 모든 주에서 k에 대한 기여도에 따라 달라지며, 다음과 같이 주어진다.

\sum _{\ell _}A_{k\ell }P_{\ell }

여기서 $P_{\ell }$ ${\$ 은 $\ell$ 는) 시스템이 $\ell$ $\ell$ 상태일 확률이며 $P_{\ell }$ , $\mathbf {A}$ A ${\$ 은(는) 전환 속도 상수의 그리드로 채워진다 $\mathbf {A}$ . 마찬가지로 $P_{k}$ $P_{k}$ ${\$ 은(는) $P_{\ell },$ $P_{\ell },$ 상태 P $\$ , {\ $displaystyle$ P_ ${\ell }$ 의 점령에 $P_{k}$ 기여한다.

\sum _{\ell }A_{\ell k}P_{k}}

확률론에서 이것은 통합 마스터 방정식이 채프만-콜모고로프 방정식을 준수하면서 연속 시간 마르코프 과정으로 진화를 식별한다.

equation = k의 항이 합계에 나타나지 않도록 마스터 방정식을 단순화할 수 있다. 이를 통해 $\mathbf {A}$ ${\$ 주 대각선이 정의되지 $\mathbf {A}$ 않았거나 임의 값이 할당되었더라도 계산할 수 있다.

{\dplaystyle {\frac {dP_{k}}}{dt}=\sum }{\ell }(A_{k\ell }P_{\ell }})=\sum \ell \neq k}(A_{k\ell }P_{\ell }\ell }}}}++A_{kk}P_{k}=\sum _{\ell \neq k}(A_{k\ell }P_{\ell }-A_{\ell k}P_{k}).}

최종적인 평등은 라는 사실에서 비롯된다.

{\displaystyle \sum _{\ell ,k}(A_{\ell k}P_{k}}={\frac {d}}{dt}\sum _{\ell }}(P_{\ell }}=0})

확률 P ${\$ 에 대한 합은 1을 산출하기 $P_{\ell }$ 때문에 상수함수다. 이는 모든 ${\vec {P}}$ P ${\vec {P}}$ → ${\$ 특히 일부 k의 경우 $P_{\ell }=\delta _{\ell k}$ $P_{\ell }=\delta _{\ell k}$ $P_{\ell }=\delta _{\ell k}$ = $P_{\ell }=\delta _{\ell k}$ k ${\$ k $})$ 에 대해 유지되어야 하기 때문에 우리는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

\sum _{\ell }(A_{\ell k})=0\qquad \all k.

이것을 이용하여 우리는 대각선 요소를 다음과 같이 쓸 수 있다.

A_{kk}=-\sum _{\ell \neq k}(A_{\ell k})\Rightarrow A_{kk}P_{k}=-\sum _{\ell \neq k}(A_{\ell k}P_{k})

.

종합방정식은 각 항이 평형상태에서 별도로 사라지는 경우 상세 균형을 나타낸다. 즉, 평형확률 ${\$ 및 $\pi _{k}$ $\pi _{\ell }$ ${\$ _ ${\ell }$ .

A_{k\ell }\pi _{\ell }=A_{\ell k}\pi _{k}.

이러한 대칭 관계는 Onsager 호혜적 관계로서 미시적 역학(마이크로시적 역학성)의 시간 가역성을 바탕으로 증명되었다.

마스터 방정식의 예

고전, 양자역학, 다른 과학의 많은 물리적인 문제들은 마스터 방정식의 형태로 축소될 수 있기 때문에 문제를 크게 단순화시킬 수 있다(수학적 모델 참조).

양자역학에서 린드블라드 방정식은 밀도 행렬의 시간 진화를 설명하는 마스터 방정식의 일반화다. 린드블라드 방정식은 흔히 마스터 방정식으로 언급되지만, 확률의 시간 진화(밀도 행렬의 대각선 원소)뿐만 아니라 시스템 상태 사이의 양자 일치(밀도 비대각 원소)에 대한 정보를 포함하는 변수(비대각선 원소)를 지배하기 때문에 통상적인 의미로는 하나가 아니다. 매트릭스(matrix(매트릭스)

마스터 방정식의 또 다른 특별한 경우는 연속 확률 분포의 시간 진화를 설명하는 Fokker-Planck 방정식이다.^[1] 분석 처리에 저항하는 복잡한 마스터 방정식은 시스템 크기 확장 등의 근사 기법을 사용하여 이 형태(다양한 근사치 아래)로 주조할 수 있다.

확률론적 화학 운동학은 아직 마스터 방정식의 또 다른 예다. 화학 마스터 방정식은 하나 이상의 종의 분자 수가 작을 때(100개 또는 1000개 분자 순서) 화학 반응을 모형화하는 데 사용된다.^[2] 화학 마스터 방정식은 DNA 손상 신호인 풍갈 병원체 칸디다 알비칸과 같은 매우 큰 모델에 대해서도 처음으로 해결되었다. ^[3]

양자 마스터 방정식

양자 마스터 방정식은 마스터 방정식의 개념을 일반화한 것이다. 양자 마스터 방정식은 단순한 확률 집합에 대한 미분 방정식 시스템(밀도 행렬의 대각선 요소만 구성함)이 아니라, 외부 대각선 요소를 포함한 전체 밀도 행렬에 대한 미분 방정식이다. 대각선 요소만 있는 밀도 행렬은 고전적인 랜덤 공정으로 모델링될 수 있으므로, 그러한 "일반적인" 마스터 방정식은 고전적인 것으로 간주된다. 비대각 원소는 본질적으로 양자 역학인 물리적 특성인 양자 일관성을 나타낸다.

레드필드 방정식과 린드블라드 방정식은 마르코비안으로 가정된 대략적인 양자 마스터 방정식의 예들이다. 특정 용도에 대한 보다 정확한 양자 마스터 방정식으로는 폴라론 변환 양자 마스터 방정식과 VPQME(변수 폴라론 변환 양자 마스터 방정식)가 있다.^[4]

행렬의 고유값과 시간 진화에 대한 정리

$\mathbf {A}$ ${\$ 가) 충족되기 $\mathbf {A}$ 때문에

\sum _{\ell _}A_{\ell k}=0\qquad \forall k

그리고

A_{\ell k}\geq 0\qquad \forall \ell \neq k,

다음과 같은 것을^[5] 보여줄 수 있다.

$\mathbf {A}$ ${\$ 의 그래프가 강하게 $\mathbf {A}$ 연결된 경우 정확히 1개의 고유값을 갖는 고유 벡터가 있다.
$다른$ 모든 고유값 $\lambda$ ${\$ $displaystyle$ $\$ $lambda$ $}$ 은 $\lambda$ $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ 는 $)$ $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ > $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ λ $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ $i$ $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ ⁡ $i$ i i i $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ i i $0>\operatorname {Re} \lambda \geq 2\operatorname {min} _{i}A_{ii}$ i $i$ { { { $\$ \ $\$ \ \ \ $\$ \ \ { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { $A_{{ii$
0이 아닌 고유값을 가진 $v$ 모든 $고유$ 벡터 v $v$ 은(는) $\sum _{i}v_{i}=0$ $\sum _{i}v_{i}=0$ $\sum _{i}v_{i}=0$ $\sum _{i}v_{i}=0$ = $\sum _{i}v_{i}=0$ ${\displaystyle \sum$ \sum $_{i}v_{i}=0}$ .

이것은 국가의 시간 진화에 중요한 결과를 가져온다.

참고 항목

참조

^ Honerkamp, Josef (1998). Statistical physics : an advanced approach with applications ; with 7 tables and 57 problems with solutions. Berlin [u.a.]: Springer. pp. 173. ISBN 978-3-540-63978-7.
^ Gupta, Ankur; Rawlings, James B. (Apr 2014). "Comparison of Parameter Estimation Methods in Stochastic Chemical Kinetic Models: Examples in Systems Biology". AIChE Journal. 60 (4): 1253–1268. doi:10.1002/aic.14409. ISSN 0001-1541. PMC 4946376. PMID 27429455.
^ Kosarwal, Rahul; Kulasiri, Don; Samarasinghe, Sandhya (Nov 2020). "Novel domain expansion methods to improve the computational efficiency of the Chemical Master Equation solution for large biological networks". BMC Bioinformatics 21. doi:10.1186/s12859-020-03668-2. PMC 7656229.
^ McCutcheon, D.; Dattani, N. S.; Gauger, E.; Lovett, B.; Nazir, A. (25 August 2011). "A general approach to quantum dynamics using a variational master equation: Application to phonon-damped Rabi rotations in quantum dots". Physical Review B. 84 (8): 081305R. arXiv:1105.6015. Bibcode:2011PhRvB..84h1305M. doi:10.1103/PhysRevB.84.081305. hdl:10044/1/12822. S2CID 119275166.
^ Keizer, Joel (1972-11-01). "On the solutions and the steady states of a master equation". Journal of Statistical Physics. 6 (2): 67–72. doi:10.1007/BF01023679. ISSN 1572-9613.

van Kampen, N. G. (1981). Stochastic processes in physics and chemistry. North Holland. ISBN 978-0-444-52965-7.
Gardiner, C. W. (1985). Handbook of Stochastic Methods. Springer. ISBN 978-3-540-20882-2.
Risken, H. (1984). The Fokker-Planck Equation. Springer. ISBN 978-3-540-61530-9.

외부 링크

Timothy Jones, 양자 광학 파생 (2006)

[1] Honerkamp, Josef (1998). Statistical physics : an advanced approach with applications ; with 7 tables and 57 problems with solutions. Berlin [u.a.]: Springer. pp. 173. ISBN 978-3-540-63978-7.

[2] Gupta, Ankur; Rawlings, James B. (Apr 2014). "Comparison of Parameter Estimation Methods in Stochastic Chemical Kinetic Models: Examples in Systems Biology". AIChE Journal. 60 (4): 1253–1268. doi:10.1002/aic.14409. ISSN 0001-1541. PMC 4946376. PMID 27429455.

[3] Kosarwal, Rahul; Kulasiri, Don; Samarasinghe, Sandhya (Nov 2020). "Novel domain expansion methods to improve the computational efficiency of the Chemical Master Equation solution for large biological networks". BMC Bioinformatics 21. doi:10.1186/s12859-020-03668-2. PMC 7656229.

[McCutcheon-4] McCutcheon, D.; Dattani, N. S.; Gauger, E.; Lovett, B.; Nazir, A. (25 August 2011). "A general approach to quantum dynamics using a variational master equation: Application to phonon-damped Rabi rotations in quantum dots". Physical Review B. 84 (8): 081305R. arXiv:1105.6015. Bibcode:2011PhRvB..84h1305M. doi:10.1103/PhysRevB.84.081305. hdl:10044/1/12822. S2CID 119275166.

[5] Keizer, Joel (1972-11-01). "On the solutions and the steady states of a master equation". Journal of Statistical Physics. 6 (2): 67–72. doi:10.1007/BF01023679. ISSN 1572-9613.

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