그린버그-헤이스팅스 세포 오토마톤

Greenberg-Hastings Cellular Automaton(약칭).GH 모델)은 James M의 이름을 딴 3상태 2차원 셀룰러 오토마톤(abbrev CA)입니다.Greenberg와 Stuart ^[1]Hastings는 흥분성 ^[2]미디어를 모델링하도록 설계되었으며, CA 모델의 장점 중 하나는 계산의 용이성입니다.이 모델은 ^[2]컴퓨터를 사용하지 않고 간단한 "손" 계산을 통해 꽤 잘 이해할 수 있습니다.또 다른 장점은 적어도 이 경우 반복적인 ^[3]행동을 초래하는 초기 조건을 특징짓는 정리를 증명할 수 있다는 것이다.

비공식적인 설명

일반적인 2차원 셀 ^[1]오토마톤과 마찬가지로 직사각형 격자 또는 "셀"의 체커보드 패턴을 고려합니다.범위는 유한할 수도 있고 무한할 수도 있습니다.각 셀에는 일련의 "네이버"가 있습니다.가장 단순한 경우, 각 셀에는 4개의 네이버가 있습니다.이 네이버는 특정 ^[2]셀의 바로 위 또는 아래 또는 왼쪽 또는 오른쪽에 있는 셀입니다.

이렇게: b는 모두 a의 이웃입니다.a는 각 b의 네이버 중 하나입니다.

b b b a b b

각 "시간" t=0,1,2,3,....에서, 각 셀은 일반적으로 "syslog"(또는 "syscurable media", "syscury"(흥분성 매체 참조), "syscury"(^[2]소화성 매체 참조)라고 하는 세 가지 "상태" 중 하나가 할당됩니다.모든 셀에 대한 상태 할당은 t = 0에 대해 임의이며, 이후 각 셀의 상태는 다음 ^[2]규칙에 의해 결정됩니다.

(1) t시점의 cell이 들뜬 상태이면 t+1시점의 cell은 내화상태이다.

(2) 시간 t에서 cell이 내화 상태이면 시간 t+1에서 휴지 상태에 있다.

(3) 특정 셀이 시각 t에 휴지 상태이고, 그 인접 셀 중 적어도 하나가 시각 t에 들뜬 상태일 경우, 해당 셀은 시각 t+1에 들뜬 상태이며, 그렇지 않을 경우(시각 t에 들뜬 이웃이 없음) 시각 t+1에 휴지 상태를 유지한다.

이러한 방식으로 전체 세포 그리드는 t = 0의 초기 상태에서 t = 1의 상태로 이동한 다음 t = 2, 3, 4 등의 상태로 진행되어 매번 다양한 상태의 세포 패턴을 생성한다.

이 모델에 의해 나타날 수 있는 행동의 두드러진 예는 벨루소프-자보틴스키 반응의 첫 번째 애니메이션을 참조하십시오.세 가지 상태는 다른 색으로 표시됩니다.

수학적 설명

GH 모델을 보다 수학적으로 설명하려면 정사각형 셀 $C_{i,j}$ (\ $displaystyle C_{i,j$ 그리드의 가장 단순한 경우를 고려합니다. $t=0,1,2,...$ t $=$ , $t=0,1,2,...$ , $t=0,1,2,...$ , $t=0,1,2,...$ . $t=0,1,2,...$ {\ $displaystyle$ t = $t=0,1,2,...$ 0 , 1, 2, $...$ } 셀 $t=0,1,2,...$ $,$ j \style $C_{i,$ j $C_{i,j}$ }의 $상태$ 는 $S_{i,j}^{t}\in \{0,1,2\}.$ , $S_{i,j}^{t}\in \{0,1,2\}.$ t $S_{i,j}^{t}\in \{0,1,2\}.$ { $S_{i,j}^{t}\in \{0,1,2\}.$ , $S_{i,j}^{t}\in \{0,1,2\}.$ , 2 $}$ 입니다.{ $displaystyle S_{i$ , $j}^{t}\in$ \ ${0$ , 1, $\$ }. 각 셀에 네이버가 있는 한 네이버의 유형은 $중요$ 하지 $S_{i,j}^t \in \{0,1,2\}.$ 않습니다 $.$ 정사각형 그리드(육각형과 반대)에서는 4개 또는 8개의 셀이 정상적으로 동작합니다.진화 규칙은 다음과 같습니다. $S_{i,j}^{t}=2$ $S_{i,j}^{t}=1$ $S_{i,j}^{t}=1$ t $S_{i,j}^{t+1}=2$ $=$ $S_{i,j}^{t}=1$ {{ $i$ $S_{i,j}^{t+1}=2$ j}^{t $}=$ 1}이면 $S_{i,j}^{t}=1$ Si,j t + $S_{i,j}^{t+1}=2$ $S_{i,j}^{t}=1$ $=$ { $displaystyle S_{i,j}^t+$ $S_{i,j}^{t+1}=0.$ }=2 $}$ 이고, Si이면 j t $S_{i,j}^{t+1}=2$ $S_{i,j}^{t}=2$ { $displaystyle S_{i,j}^{$ t} $= 2$ { $displaystyle$ S $S_{i,j}^{t}=2$ $S_{i,j}^{t+1}=0.$ = 1 $S_{i,j}^{t+1}=0.$ $S_{i,j}^{t+1}=0.$ 、} $S_{i,j}^{t}=0$ $S_{i,j}^{t}=0$ t $=$ $0$ ({ $displaystyle$ $S_$ ${i,j}^{t}=$ $S_{i',j'}^{t}=1$ }) 및 $S_{i',j'}^{t}=1$ j $S_{i,j}^{t+1}=1$ $S_{i',j'}^{t}=1$ 1(일부 $C_{i',j'},$ 셀 $C_{i',j'},$ $、$ j 、 j $C_{i',j'},$ j _ $displaystyle$ C $_$ { i , $j$ $}^{$ t } $=$ 1 $S_{i',j'}^{t}=1$ }일 경우, $S_{i,j}^{t+1}=1$ $S_{i',j'}^{t}=1$ $S_{i,j}^{t+1}=1$ 입니다 $C_{i',j'},$ $S_{i,j}^{t+1}=1$ $S_{i,j}^{t+1}=0.$ $}$ ^[1]^[2]

위너와 로젠블루스의 모델과의 관계

GH 모델은 같은 목적을 위해 앞서 개발된 Wiener와 Rosenblueth의 획기적인 모델과 종종 비교되지만, 후자는 CA가 아니기 때문에 유추는 정확하지 않다.예를 들어 " 근육세포의 조직, 근육 세포조직의 구성, 구성 요소들의 반응성, 구성 요소, 구성 요소들의 반응성, 반응성, 반응성, 구성 요소들의 반응의 반응성, 상기 화학성, 상기시간자극성 매체입니다."그러나 이 발언조차 오해의 소지가 있다.원고를 주의 깊게 읽으면, 시간, 매체, 상태 어느 쪽도 불연속임을 알 수 있다.이것은 시간과 매체에 관해 즉시 명백하다.하지만 위너와 로젠블루스는 "섬유의 특정 영역이 존재할 수 있는 세 가지 조건이 있다"고 말한다.그들은 이것들을 "활성", "회복" 및 "휴식" 상태로 명명합니다.그러나 다음 단락에서는 숫자 1의 정지 상태, 숫자 0의 활성 상태 및 실제 라인에서 열린 간격(0,1)의 내화 상태를 식별하여 이를 세분화합니다.주어진 시간에 주어진 지점에 할당된 번호를 "에포치 번호"라고 합니다.따라서 "상태 공간"은 간격 [0,1]입니다.그리고 다음 단락에서는 "..자유롭게 움직이는 모든 파도 전선 뒤에는 복구 프로세스가 이루어지는 고정 폭의 대역이 있을 것입니다."따라서 파동은 에폭 번호가 0인 점의 부드러운 곡선인 "전면"으로 구성되며, 그 다음에는 에폭 번호가 0,1인 점의 내화 영역, 일정한 폭의 점(속도에 따라 다름)과 에폭 번호가 1인 점의 나머지 영역을 남긴다.이것은 세포 자동과는 거리가 멀고, 더 정확히는 "기하학" 모델이라고 불립니다.

더 나아가서 다음과 같이 기술되어 있다.

"흥분성 미디어의 자동 모델은 [9]와 [10]에서 조사되었습니다.이들 모델은 Wiener의 매체에서 분리된 아날로그 모델입니다.(인용어인 "9"와 "10"은 GH와 다릅니다.)

많은 작가들이 와이너-로젠블루이스 모델을 세포 오토마톤이라고 불렀습니다.Google Scholar에 의해 이 명칭이 명기된 최초의 논문은 다음과 같습니다.^[6]그러나 위에서 설명한 바와 같이, Wiener-Rosenblueth 매체의 연속성은 아래에 설명된 GH에 대한 정리만큼 패턴의 지속성에 대한 정밀한 정리를 아직 허용하지 않았다.한편, 각 모델의 성질상 에 제시된 이론의 증명은 에 제시된 것보다 명확하지 않지만, ^[3]에 제시된 증명과 유사한 몇 가지 이론이 언급되어 있다.

Wiener 및 Rosenblueth의 모델과 유사한 모델에 기초한 자주 인용되는 컴퓨터 연구도 참조하십시오.

완화곡선 생성

첫 번째 조건이 무한대로 가는 들뜬 셀의 절반(1's)과 이 절반의 내화 셀(2s)로 구성되어 있는 경우, 4셀 근방과 사각 그리드에 대해 흥미로운 동작이 관찰된다.나머지 세포는 ^[2]t=0일 때 정지합니다.

다음과 같이 합니다.

................................................................... ....00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.... ....00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.... ....00000000000000000001111111111111111111111111111111111111111.... ....00000000000000000002222222222222222222222222222222222222222.... ....00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.... ....00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.... ...................................................................

생성되는 나선형을 ^[2]볼 수 있습니다.이 나선형은 "수작업으로" 몇 번 패턴을 앞으로 따라가면 쉽게 볼 수 있습니다.컴퓨터는 필요 없습니다.

정리

(^[2]n-상태 모델도 고려)에서 설명한 바와 같이, 초기 1의 세트가 유한한 경우, 모든 개별 셀은 시작 시에 다음 패턴 중 하나를 가진 4개의 인접 셀 중 적어도 1개의 정사각형이 존재하는 경우에만 사이클 0,1,2,0을 통해 영원히 진동합니다.

1 2       2 0       0 1                     0 0       1 1       2 2

반사나 회전을 할 수도 있습니다.이 패턴들은 주변환경에 의해 사라지지 않는다.이 결과에서 가장 흥미로운 것은 "유일한 가정" 부분입니다.이러한 패턴이 t = 0에 존재하지 않으면 경계 영역에서 패턴은 결국 모든 ^[2]0에 안착합니다.의 증명서의 주요 도구는 이 모델에 대해 불변임을 나타내는 "감기 번호"입니다.

위에 언급된 정리의 쉬운 결과 중 하나는 처음에 "추출" 셀이 없다면 패턴은 (전체 그리드가 유한하든 무한하든) 어떤 경계 영역에서도 사라지게 된다는 것이다.흥분성 매체의 이러한 특성은 앞서 위너와 로젠블루스의 ^[4]논문에서 발견되었으며, 이 지역에 "구멍"이 있으면 유지되지 않습니다.

메모들

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레퍼런스

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R. Durrett과 J. Steif, Greenberg-Hastings 모델에 대한 일부 엄격한 결과, Journal of Theological Probability vol 4 (1991) , 669–690.
S. 울프람, A New Kind of Science, 2003, 1013페이지.

외부 링크

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