하드와이거 정리

적분 기하학(기타 기하학적 확률론)에서, Hadwiger의 정리는 ${\displaystyle {}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ .${\displaystyle \mathb {R} ^{n}.$$}}$ 휴고 하드와이거에 의해$$ 증명되었다.

소개

가치평가

$K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}$에 있는 모든 콤팩트 볼록 세트의 집합으로$$ 두십시오.$}$ A valuation is a function ${\displaystyle v:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle v(\varnothing )=0}$ and for every ${\displaystyle S,T\in \mathbb {K} ^{n}}$ that satisfy ${\displaystyle S\cup T\in \mathbb {K} ^{n},}$

하우스도르프 측정기준에 대해 연속적인 경우, 평가를 연속적인 평가라고 한다.A valuation is called invariant under rigid motions if ${\displaystyle v(\varphi (S))=v(S)}$ whenever ${\displaystyle S\in \mathbb {K} ^{n}}$ and ${\displaystyle \varphi }$ is either a translation or a rotation of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.$$}$

퀘르매스 적분자

Quermassinteals $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$: ${\displaystyle Kn\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$은(는) Steiner의 공식을 통해 정의된다$$.

여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 유클리드 공이다.For example, ${\displaystyle W_{o}}$ is the volume, ${\displaystyle W_{1}}$ is proportional to the surface measure, ${\displaystyle W_{n-1}}$ is proportional to the mean width, and ${\displaystyle W_{n}}$ is the constant ${\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(B)$$.}$

${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 도${\displaystyle n}$ - j${\displaystyle ,}${\$displaystyle n-j,}$의 동질적인 평가값이다.

성명서

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 모든 연속 $평가{\displaystyle }$ v ${\displaystyle v}$은(는) 경직된 동작에서 불변하는 것으로 나타낼 수 있다.

코롤라리

$경직$된 ${\displaystyle {}^{}}$에서 불변하고 동질적인 도 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$\mathb{K} ^{n}$에 대한$$ 모든$$ 연속 평가 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $v$$}$은 ${\displaystyle W_{}}$ -${\displaystyle j_{}}$. ${\displaystyle W_{n-j}$의 배수다.$}$

참고 항목

• 민코스키 기능
• 기능 설정 – 세트에서 숫자로 기능

참조

하드와이거의 정리에 대한 설명과 증거는 다음에서 찾을 수 있다.

• Klain, D.A.; Rota, G.-C. (1997). Introduction to geometric probability. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X. MR 1608265.

베이팡 첸에 의해 초급적이고 자급자족적인 증명이 주어졌다.

• Chen, B. (2004). "A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem". Geom. Dedicata. 105: 107–120. doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46. MR 2057247.