적분 기하학

수학에서, 적분 기하학은 그 공간의 대칭군 아래의 기하학적 공간에 대한 측정 이론이다.보다 최근에는, 그 의미는 한 기하학적 공간의 함수 공간에서 다른 기하학적 공간의 함수 공간으로 불변(또는 등가변) 변환의 관점을 포함하도록 확대되었다.그러한 변환은 종종 라돈 변환과 그 일반화 같은 적분 변환의 형태를 취한다.

고전적 맥락

적분 기하학은 기하학적 확률론의 특정 진술을 다듬기 위한 시도로 처음 등장했다.루이스 산탈로와[1] 빌헬름 블라슈케의^[2] 초기 작품은 이와 관련이 있었다.그것은 평면 곡선의 길이를 랜덤 선과 교차하는 숫자의 기대치로 표현한 크로프톤의 고전적인 정리로부터 따랐다.여기서 '랜덤'이라는 단어는 정확한 대칭성을 고려해야 하는 것으로 해석되어야 한다.

평면의 아핀 그룹이 작용하는 선의 샘플 공간이 있습니다.이 공간에는 대칭군 하의 불변 확률 측도가 요구됩니다.만약 이 사례에서와 같이, 우리가 그러한 유일한 불변 측도를 찾을 수 있다면, 그것은 '랜덤 라인'이 무엇을 의미하고 그 측도에 대한 기대가 적분이 되는지를 정확하게 공식화하는 문제를 해결한다.(예를 들어, '원의 랜덤 코드'라는 문구를 사용하여 일부 역설(예: 버트랑의 역설)을 구성할 수 있습니다.)

그러므로 우리는 이러한 의미에서 적분 기하학이 클라인의 에를랑겐 프로그램의 맥락에서 확률 이론(콜모고로프에 의해 공리화된)의 적용이라고 말할 수 있다.이론의 내용은 효과적으로 Lie 그룹의 균질한 공간에 대한 불변(원활한) 측정과 미분 ^[3]형식의 적분 평가의 내용이다.

매우 유명한 사례는 버폰의 바늘 문제입니다: 판자로 만들어진 바닥에 바늘을 떨어뜨리고 바늘이 균열을 통과할 확률을 계산합니다.일반화하면, 이 이론은 기하학적 문제와 발생적 문제와 관련된 다양한 확률적 과정에 적용된다.확률 기하학을 참조하십시오.

적분 기하학의 이 형태에서 가장 흥미로운 이론 중 하나는 유클리드 환경에서 하드와이거의 정리이다.그 후, Hadwiger형 정리는 다양한 환경, 특히 은둔자 기하학에서 평가 이론의 고급 도구를 사용하여 확립되었다.

적분 기하학의 최근 의미는 시구르두르 헬가손과^[4][5] 이스라엘 ^[6]겔판드이다.보다 구체적으로 라돈 변환을 모델로 한 적분 변환을 다룬다.여기서 기본 기하학적 입사 관계(Crofton의 경우 선 위에 있는 점)는 입사 그래프에 풀백으로 구성된 적분 변환의 부위로 더 자유롭게 볼 수 있다.

메모들

추가 정보

• Sors, Luis Antonio Santalo, Luis A.산타로적분 지오메트리 및 지오메트리 확률.케임브리지 대학 출판부, 2004.이론의 체계적 설명과 주요 결과의 편집.
• 랑게뱅, 레미Buffon에서 오늘날의 지오메트리까지 일체형 지오메트리.제23권 SMF, 2016년크로프톤 공식과 그 일반화에 초점을 맞춘 보다 기본적인 설명.
• Shushurin, S.F (2001) [1994], "Integral geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press